Оптоэлектроника

Расчет стационарных состояний для одномерного потенциала

Рассмотрим одномерное пространство с координатой х и предположим, что огра­ничивающий потенциал V (х) таков, что У(х) > 0 во всем пространстве и V (х) —»0

При л; —> ±оо. В координатном представлении стационарное одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний может быть записано в виде:

--Г— 4т¥п(х) + И*) - Еп]у/„(х) = 0 (1.30)

2те ах

Стационарное уравнение Шредингера в координатном представлении

Напомним, что неизвестными являются собственные значения Еп и волновые функции стационарного состояния у/п. Для каждой величины Еп уравнение (1.30) является дифференциальным уравнением второго порядка. Мы можем показать, что решения этого уравнения являются непрерывными во всем пространстве рав­но, как и их первые производные. Эти два условия с учетом требования нормиров­ки всех физических состояний приводят к квантованию энергии, т. е к существова­нию дискретных энергетических уровней. Таким образом именно волновая природа волновых функций в сочетании с требованиями по интегрируемости и непрерывности приводят к квантовой природе энергетических уровней. Проиллюстрируем это утвер­ждение конкретным примером, который играет принципиальную роль в остальной части книги, а именно — примером квантовой ямы.