ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

К ТЕОРИИ «ЖЕЛОБКОВОЙ» НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ В АМБИПОЛЯРНЫХ ЛОВУШКАХ ТИМОФЕЕВ А. В

Введение

Неустойчивость, связанную с неоднородностью магнитного поля откры­тых ловушек, принято называть желобковой. Это название сохраняется и для неустойчивости амбиполярных открытых, ловушек, хотя из-за большой длины последних, в них неустойчивые колебания не имеют вида желобков, вытянутых вдоль магнитного поля. Колебания обычно можно считать «желобковыми» лишь в пределах сравнительно коротких концевых частей амбиполярной ловушки, в то время как в протяженной центральной части они переходят в альфвеновские, распространяющиеся вдоль оси системы [1]. К концевым частям мы относим запирающие концевые ловушки, пе­реходные области от центральной части к концевым ловушкам, термо­барьеры и т. д. Длина концевых частей составляет 1/10—1/100 от всей длины ловушки. Центральная часть однородна по длине. Ее протяжен­ность может достигать сотен метров (в проектах термоядерных реакторов).

Ввиду вышесказанного при анализе устойчивости амбиполярных лову­шек фактически приходится рассматривать альфвеновские колебания цен­тральной части ловушки. Влияние концевых частей из-за их малого раз­мера можно учесть через граничные* условия. С помощью такого подхода двумерное дифференциальное волновое уравнение в настоящей работе сведено к одномерному интегральному. (Исходное волновое уравнение яв­ляется двумерным, так как амбиполярная ловушка неоднородна по длине (по координате z, см. выше), а плотность плазмы спадает с радиусом. Мы используем цилиндрическую систему координат с осью ОZ, направленной вдоль магнитного поля.) Показано также, что при достаточно больших значениях инкремента интегральное волновое уравнение переходит в зна­чительно более простое — дифференциальное. Полученные уравнения используются для анализа « желоб ковых» колебаний концевых ловушек, стабилизированных за счет эффектов конечного ларморовского радиуса ионов [2]. В таком режиме, как известно, появляется ветвь колебаний с отрицательной энергией, которая может раскачиваться за счет диссипа­ции энергии колебаний (см., например, [3]). Показано, что в случае амби­полярных ловушек раскачка вызывается оттоком энергии в центральную часть ловушки посредством возбуждения альфвеновских колебаний.

1. Интегральное уравнение альфвеновских колебаний плазмы в амбиполярной ловушке

Альфвеновские колебания аксиально-симметричных систем описывают­ся волновым уравнением

TOC o "1-5" h z 1 Д dib 1—Тг /игГ+ш! г Дп0 _ ...

— — S-F- + ——S$+-------------------------------------------------------- — — ^=0 (1)

Г Дг дг г3 V* п0 дг

Где tf5 = ---cp; ф*=ф(г, Z) exp (—Mt+ImQ) — электрический потенциал;

ГО)

/1 д2

£ —f3 I тгт <*> (о>—тюл) + -т-г); У л — альфвеновская скорость; ©я — угло-

VA* Dz2 F

Вал скорость градиентного — ларморовского дрейфа; Ги(г, г) — плотность плазмы; Тг=(г^гв)1тЛнг — характерный инкремент желобковой неустой­чивости; — средняя энергия частиц сорта «;»; 1Я — характерный мас­штаб изменения магнитного поля. Координата Ъ отсчитывается от средней плоскости ловушки.

Уравнение (1) пригодно для описания колебаний плазмы, давление которой мало по сравнению с давлением магнитного поля. Оно может быть получено методом, использованным в [4], где считалось, что поперечное электрическое поле Е±*=(ЕГу £е, 0) потенциально, а продольное Е„=

Дф го)

= (0,0, Ех) включает непотенциальную составляющую Ег = — -—Ь — Аг.

02 С

В случае высокотемпературной плазмы ввзду ее большой продольной про­водимости можно положить £*=0. Это условие позволяет выразить А г

Через <р. Отметим, что для желобковых колебаний ^ — = 01 уравнение

(1) переходит в уравнение, полученное в [2, 5].

В настоящей работе будут рассматриваться низкочастотные колебания,

Со/к

-у— < 1; 1К — дли­на каждой из концевых частей; 2/ц — длина центральной части; индекс «к» отмечает величины, относящиеся к концевым частям; «ц» — к цен­тральной). При их анализе удобно проинтегрировать (1) по концевой час­ти (для определенности рассматриваем правую концевую часть)

£.1> (»•)= ъ ~ ♦ (г, *) I (2)

Где

^ 1 (I с (I ^1—тг р л тТк2+а>2 г Йп0к

К------- ~т~ *^к ~т~ ' з *^к ' Тг 2 з *

Г аг аг г3 У**2 пол аг

1

*)’* = —^©(а-шл), под ф(г) понимаем значение ф(г, Ъ) в концевой

У лк

Г 1 ^ ^

Ловушке, Ьт -------- г —- + —тп.

Г (1г (1г

В исходном уравнении (1) считалось, что силовые линии являются прямыми, параллельными 02. Это приближение оправдано для ловушек с малым пробочным отношением или для приосевой области ловушек с произвольным пробочным отношением. Однако если в общем случае при усреднении уравнения желобковых колебаний по концевой части интегри­ровать не по координате 2, а вдоль силовой линии, то мы получим то же самое уравнение (2). В нем г будет означать радиус в месте сопряжения концевой и центральной частей, т. е. в области, где силовые линии вы­прямляются.

За концевой ловушкой в области 2>/ц+/к обычно имеется разреженная плазма. В этой области альфвеновская скорость весьма велика, и возму-

Д

Щения вытягиваются вдоль магнитного поля — я|?(г, Г) |х>/ +, «0. Про-

2 Чк

Изводная — ф(г, 2) 1*-/ отлична от нуля и, как мы увидим ниже, может

Г— 0 2

Быть выражена через ф(г, 1п). Нахождение связи между ф(г, *ц) и

— яЬ (г, Ъ) I х.1 является нашей основной задачей. С этой целью рассмот­ри 4

Рим (1) в центральной части ловушки. Температура плазмы в централь­ной части сравнительно низка, и мы положим й)Лц=Гц=0. При этом (2)
принимает вид

1 Д ^ д 1—тг ^ . / (о г г Drioo.

~7i;s^+—s^+(ir:)^~dr'*=0' (3>

Где

М(£),+£)-

Решение уравнения (3) будем искать в виде ряда Фурье

Оо

I|>(r, z) = - Ј-tMr) + ^( ^«(r)cos (у-2) +Ч>-..(г)з1П ("У“2)) •

Па-1 Ц Ц

(4>

Уравнения для коэффициентов t|?nc(r), (г) получим, помножив (2) на

Пп / Пп

-J- Z и sin У—— Z J соответственно и проинтегрировав по интервалу

TOC o "1-5" h z 2Ч„Ц>„с(г) = (-1) ■"+' Lr 4-*(Г, Z) I (5)

I Ц И Z

^ц, яфп.(г) = (-1)Т1-^^£г>|)(г,2)|1_/ . (6)

*Ц

1 D „ D Ш —т2 „ / © 2 г drc0a

Лц / Лоц dr

2 , v 2.

В правых частях (5), (6) учтены свойства симметрии решений, разлагаю -

Пп / пп

—— Z J и sin У —— Z J соответственно.

С помощью функции Грина Сп>»(г, г0) уравнений (5), (6) представим их формальные решения в виде

2 .а

1|>»«(г)= J <FroG„,.(R,Ro) (—1)"+1 — £г-^ф(г, г) (7)

О ц

Гщ 2 Ф..(г)= J Dr„G„,.(r, r0) (-l)n-^-Јri{)(r,2) |,_,а, (8)

* In

где Гт — граничный радиус плазмы.

Теперь, используя (4), (7), (8), выразим для решения, симметричного Д дф по 2, 1|>(г, 1п) через — ^(г, г) |х_, , а для антисимметричного ——(г, Г) |х_, Оъ ц Дг ц

Через - ф (г, /ц). Подставляя полученные выражения в (2), окончательно находим

TOC o "1-5" h z Л О А

З’к I Л-„ (-у Со,. (Г, г.) + (г, г.)) — £г. х (г.) “ - — (г),

О п««1 4

(9)

9 2 Гщ у-£(т") I „(г, г„)(г0), (10)

Ц п—I Ц о

где обозначено х(г) “-т—ЧКг, г) 1Х_, ц.

С/ Ъ

Уравнения (9), (10) определяют радиальную зависимость симметрии ных и антисимметричных мод соответственно в концевых частях амбипо- лярной ловушки. Влияние центральной области приводит к тому, что уравнения становятся интегральными. Действительно, концевые части* расположенные у торцов системы, можно рассматривать как источники альфвеновских колебаний центральной области. Предположим, что на ка­ком-то из торцов колебания возбуждались точечно — на одной силовой линии. При распространении вдоль магнитного поля по центральной об­ласти колебания могут проникать на некоторое расстояние в поперечном направлении. Поэтому, вернувшись к источнику после отражения от дру­гого торца, колебания, вообще говоря, захватят все силовые линии. В ре­зультате возмущение в данной точке окажется связанным с возмущением во всем поперечном сечении концевой части амбиполярнон ловушки (см.

(9) , (10)).

Вид функции Грина, входящей в (9), (10), зависит от профиля плот­ности плазмы в центральной части амбиполярной ловушки. Для коротко­волновых возмущений, область локализации которых мала по сравнению с поперечным размером плазмы, профиль плотности может считаться ли­нейным. Функция Грина для этого случая была найдена в [6] :

✓"* /_ ^ Хап) ) Ко (ку (хвп Хо)) (£''>£о) 1

Х'Хо л|хц|гй) / I К0{ку{х, п-х))Ко(ку(х0-х, п)), (Х<х0).

(И)

Поскольку нами рассматриваются расстояния, малые по сравнению с по­перечным размером плазмы, в (18) введена плоская система координат Тп

(г, 0)-► (х, У);------ ► Агу, я.« — «резонансное» значение координаты, опре-

Г

ЛЛ 1 <^1оц

Деляемое условием й) = —- Улци,„); хц =--------------- -—; величины г, хц,

/ц Поц

VЛ,, и т. д. в (11) должны считаться постоянными. Выражение (11) отли-

—— ) от полученного в [6]. Этот множитель

Гй) /

Учитывает отличие уравнения (3) от уравнения, исследовавшегося в [6].

Уравнения (5), (6) имеют особенность в «резонансной» точке, где ве­личина 5П обращается в нуль. Поскольку функция Грина строится из ре­шений однородного уравнения, соответствующего (5), (6), то особенность появляется И у нее и£о(6)“*1п(1/£)).

5-*0

В [6] показано, что для однородных сингулярных уравнений типа (5),

(6) характерно отсутствие собственных функций с 1т ю^О. По этой при­чине у функции Грина отсутствуют полюса в верхней полуплоскости комплексной частоты. Место регулярных собственных функций занимают так называемые псевдоволны с непрерывным спектром ((й=кгУЛп(г)), аналогичные известным волнам Ван Кампена — Кэйза. В данном случае псевдоволны описывают колебания отдельных силовых линий, по каждой из которых возмущения бегут со своей скоростью. Псевдоволнам соответ­ствуют логарифмические особенности функции Грина.

Из-за наличия логарифмической особенности функции /£0(£), входящие в (И), многозначны. В соответствии с [6] в (И) под /£<>(§) понимается та ветвь этой функции, которая действительна при §>0, а для ее продол­жения на область £<0 используется правило обхода Ландау: /£о(6<0) =

/ Йп0

2. Дифференциальное уравнение для колебаний С большим инкрементом (7?ц/^Ац^> 1)

Выше мы показали, что нелокальность уравнений (9), (10) обусловле­на учетом колебаний, вернувшихся на торец ловушки после отражения от другого торца. Если колебания неустойчивы, причем их инкремент ^=1т со достаточно велик (^1ц/УАц> 1), то за время прохождения по ло­вушке амплитуда колебаний на данном торце возрастет настолько, что влияние вернувшегося сигнала будет пренебрежимо малым. (При распро­странении по центральной области амплитуда волнового пакета не меня­ется.) В этом случае систему можно считать неограниченной. Это прибли­жение приводит к значительному упрощению волнового уравнения, кото­рое из интегрального переходит в дифференциальное.

Рассмотрим для определенности колебания, связанные с левым торцом системы. Поскольку предполагается, что колебания убегают от торца, то

<9 / Ч| Т / , ч _

Примем — гКг, 2) |2==_г =-------------------------- — ф(г, — 1ц). Б результате аналог уравне -

Дъ ц УАЦ (г)

Ний (9), (10) приводится к виду

1 (1(1 1—т2 тгсТ2+со2 г (1п0к

Л* + —<12> /1 1

Где Зк=г31——-со(со—Т(ол) + ———£со 1 . Отметим, что использованное

VАк 1*У АЦ

Выше соотношение между г|)(г, —/ц) и — г|)(г, я) |2==_г не следует непосред -

Дz ц

Ственно из (3) и поэтому должно рассматриваться как эвристическое. Более строгий вывод уравнения (12) дан в приложении.

Учет колебаний, убегающих в центральную часть ловушки, привел к тому, что в уравнении (12) появилась мнимая часть, и оно перестало быть самосопряженным. Это вполне естественно, так как убегающие альфвенов - ские колебания уносят с собой энергию.

Общие волновые уравнения (9), (10) при Ч>УАц/1ц должны перехо­дить в упрощенное (12). Такое соответствие устанавливается довольно просто в предположении гт>Аа:>А:у“1, где Ах — характерный масштаб ко­лебаний по оси (радиусу). Рассмотрим, например, симметричную моду. В выражении (6), проинтегрировав дважды по частям, перенесем оператор Ьг на функцию Грина. Если выполнено указанное выше условие на Ах, то при интегрировании по Йг0(йх0) можно использовать соотношение 1 / УАц 2 1

СсСп со (Х, Х0) ~ -—- (------- —) ---------------------- б (х—х0). Интегрирование без труда вы -

|Хц| ГСО / Х—Хэп

Полняется благодаря наличию б-функции. При 7>УлцДц сумму по «П» можно заменить на интеграл по (1к2: ^ | Йк2. В результате, исполь -

П

Зуя (4), приходим к соотношению {гЬ(г, — гЬ(г, Г) 1 =0. То же

I Со дг ) г—о

Самое соотношение получается и для антисимметричных мод. Выражая с

ДоЬ

Его помощью в (9), (10) производную — через г|), приводим эти уравне­ния к (12).

Уравнение (12), как и (9), (10), определяет вид колебаний в конце­вых частях амбиполярной ловушки. В приложении показано, как решение (12) продолжить в центральную область. При этом для асимптотики воз­мущения получено следующее выражение:

“Ф('*»2) » С Йг0К0(куг — г01)0 {« (го)-^ехр-У

| Хц | Г СО / Л УАц(Го) 2 У АЦ Го) /

Введенные обозначения пояснены в приложении.

В теории желобковой неустойчивости часто используется так называе­мое локальное приближение, в котором все радиальные зависимости учи­тываются параметрически. Это приближение позволяет сравнительно простыми средствами выяснить физическую природу рассматриваемых ко­лебаний и оценить по порядку величины их частоту и инкремент. При ана­лизе устойчивости колебаний с отрицательной энергией мы также сначала будем использовать локальное приближение. В этом приближении уравне­ние желобковых колебаний имеет вид

Д2<ф 1 Дг2 V а

Здесь используется декартова система координат (см. предыдущий раз­дел); Ул — скорость ларморовского дрейфа, соответствующая сол; 1 1 Дп0

£ = — Г2; х = —------------ . Будем считать, что все величины, характеризую -

Г п0 дг

Щие невозмущенное состояние плазмы, меняются скачком при 2==Ь/ц и остаются постоянными внутри каждой из частей амбиполярной ловушки, причем в центральной части ^л=^=0. В этой области симметричное и ан­тисимметричное решения волнового уравнения соответственно даются вы­ражениями

Г|эС=А совС/Сцг),

8т(кцг),

Где Кц = -^—. В концевых частях решение, удовлетворяющее гранично -

V Ац

ДгЬ |

Му условию---------------------------- = 0, имеет вид

Дг 12=±(/ц+/к)

В СОБ (/ск2“Р/ск (1Ц+/к) ) ,

1

Где КК =------ (со (со—КуУл) —'кg)1/2 знак минус соответствует решению на

V Ак

Правом конце амбиполярной ловушки, плюс — на левом.

Как и в предыдущих разделах, будем рассматривать колебания, имею­щие вид желобка в пределах концевой части (кк1к<. 1). Для таких колеба­ний условие сопряжения решений при Г=±1ц приводит к следующему дисперсионному уравнению:

(14)

(^ц^ц)

Предположим, что в крайних ловушках сила тяжести имеет направле­ние, неблагоприятное для устойчивости (хк£<0). Предположим также, что выполняется условие {куУа)2>Ак^. Это условие означает, что в крайних частях, рассматриваемых изолированно, желобковая неустойчивость была бы стабилизирована эффектами конечного ларморовского радиуса. Урав­нение &к2=0 определяет частоты устойчивых желобковых колебаний край­них частей:

Ю = у (куУл±((куУлУ+АхкёУ1‘). (15)

Колебания с меньшей частотой (нижний знак в (15)) имеют отрицатель­ную энергию (см., например, [3]).

Предположим сначала, что инкремент колебаний достаточно велик Т^ц/^ац>1. В этом случае tg(A:цZц) ^(/сц/ц) ~г, и при выполнении ус­ловия (д<^куУл из (14) получаем следующее простое выражение для ча­стоты неустойчивых колебаний:

<*™%кё(-куУЛ1^г) (16)

' V АЦ&К '

Из (16) следует, что если эффекты ларморовского радиуса несущественны K,V„<Vан1УЛц1к, то неустойчивость является апериодической. Ее источник сосредоточен в концевых частях ловушки, а инерция определяется цент­ральной областью, причем лишь той ее частью 6Z~VAJ4, на которую ко­лебания успевают проникнуть за б£~7-1 — характерное время развития [1]. В режиме «стабилизации» за счет эффектов конечного ларморовского радиуса (/с„Ул> VAKl/VAnlK) неустойчивость приобретает характер неустой­чивости колебаний с отрицательной энергией, раскачивающейся за счет оттока энергии из концевых ловушек в центральную область. Если длина центральной части ловушки не слишком велика (/с„Ул)2^|хк£| VakIJVah%> То нарушается предполагавшееся выше выполненным условие ^Ln/VA„»1. Интересно отметить, что в этом случае эффекты конечного ларморовского радиуса должны стабилизировать возмущения, имеющие вид желобка в пределах всей ловушки.

Проанализируем теперь неустойчивые колебания с малым инкремен­том. Предположим, что одна из частот (15) совпадает с частотой «собст­венных» колебаний центральной ловушки, определяемой из условия 1()(±/ц)=0. Это значение частоты обозначим ю,, и будем искать решения (14), близкие к й)Дй)=й)в+бй)). Разложим знаменатель левой части (14),

Б со

А также правую часть этого равенства по------- < 1. После ряда простых

Ю.

Преобразований получаем

(6<а)г=±й, *7^* ((W*+4х«*)Л (17)

Где Ткг — In Для симметричных мод и Тсх=п^- для антисиммет-

Z / 1ц 1ц

Ричных. Из (17) следует, что при совпадении ш, с меньшей из частот (15) колебания оказываются неустойчивыми. Данная неустойчивость характер­на для ловушек с достаточно длинными концевыми частями, когда выпол­няется условие стабилизации «истинно» желобковых возмущений (&*=0):

У АЖ 2 1ц

1/— ) ^см* выше) * Эффективное укорочение кон-

VАЦ ' Ut

Цевых частей происходит за счет малой величины возмущения на концах ловушки.

Покажем теперь, что те же самые результаты можно получить из более точных уравнений, выведенных в двух предыдущих разделах. При рас­смотрении колебаний с достаточно большим инкрементом (к>Уац/£ц) сле­дует использовать уравнение (12). Помножим его на и проинтегрируем по частям. При этом находим, что частота коротковолновых (то>1) низко­частотных ((1)<А¥Ул**771Шл) колебаний приближенно равна (16).

Колебания с малым инкрементом описываются уравнением (2), пере­ходящим в (9) для симметричных мод ив (10) — для антисимметричных. Как и выше, помножим (2) на 1|>*. В правой части равенства выразим

Dib’ dib

Через----- для симметричных мод и — через i|> — для антисимметричных

Dz Oz

В соответствии с (4), (7), (8). Будем рассматривать коротковолновые ко­лебания, для которых функция Грина дается выражением (11). Поскольку альфвеновская скорость меняется с координатой Х (по радиусу), то воз­мущение определенной частоты при разных значениях Х может резони­ровать с различными пространственными гармониками по Oz. Для возму­щений с областью локализации Ах число резонансов равно Ап~пхцДх,

Где П -——, (O^Xttg/KyVz. С помощью (11) находим, что мнимая часть

Я Уац

F J • Г / 1 2 А** I. 11

Интеграла I Dr nfcL — по порядку величины равна (К±г0) ---- Т-гг-1^1,

J Dz in* лц KyVЛ

Где г0 — значение радиуса, на котором локализовано возмущение. Учиты-

К 2

Вая оценку интеграла от левой части (2) ~Дхг03—-- (©(ю—КуУа)— хк£) I я|>|2,

V Ак

Получаем

(18)

1 (№г 1КУЛп

Неоднородность профиля альфвеновской скорости в центральной части ловушки становится несущественной, если выполняется условие

У

Аог^Хц“1 — .При получении приведенной выше оценки для мнимои части 0)

ГТ

Г _

Интеграла | йггф£— в промежуточных операциях величина Дгс/хц была

О

1 У

Заменена на ДХп. При граничном значении Дд;------------ с учетом Дгс~1

Хц О)

Имеем Дгс/хц~Д:гй)/Т - Дальнейшие выкладки приводят к значению инкре­мента, по порядку величины совпадающему с (18).

Отметим, что неустойчивость плазмы с однородным профилем альфве­новской скорости в каком-то смысле аналогична неустойчивости пучка заряженых частиц с распределением по скоростям в виде б-функции, а не­устойчивость при диффузном распределении альфвеновской скорости — неустойчивости размытого пучка.

В настоящей работе предполагалось, что желобковые колебания край­них частей ловушки, взятых изолированно, были бы стабилизированы эф­фектами конечного ларморовского радиуса ионов. К аналогичной стабили­зации приводит эффект «выбывания высокоэнергичных частиц из колеба­ний» [8, 9]. Для описания такого режима во всех приведенных выше выражениях следует произвести замену й)л-*-бй)<, где б — доля «выбывших» частиц, о), — ионная циклотронная частота. Естественно, что после соответ­ствующих переопределений результаты, полученные выше, переносятся и на случай стабилизации, рассмотренный в [8, 9].

За обсуждение работы автор благодарен В. В. Арсенину.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Проанализируем вид колебаний в центральной области ловушки при Ч^>1ц/УАа. Как и в разделе 2, рассмотрим колебания, связанные с левым торцом. Переместим начало отсчета координаты Ъ в точку г=—1и и преобразуем (2) по Лапласу:

0

<і 1-т2 / © 2 г 6п

------- 5,— + — ~ '

Г Іт Ж-

Где

Ев

5р = г3((?~) +р2)’ ^(г)=

<?р(г)= + М>(»*)1«-о.

Д

Производную —-ф (г, г)|х—0 определяем из уравнения (1) для концевой части амби - Дъ

Полярной ловушки, интегрируя его по области -/н<г<0 и учитывая условие Д

---- *) |«—ік**0 (см. выше). В результате правую часть уравнения (П.1) пред -

Дъ

Ставим в следующем виде:

А Физика плазмы, вып. 3

Id D 1 -тг т2Г2 + й)2 г DnQK

TOC o "1-5" h z *.p -------- T" S"'P "7“ + — 5*.p + —71 I-------------- 3—»

T dr dr г3 УЛк2 п0к dr

5к р=г3 ( —~2 ю(й)-тй)л) - -7-) ;

^Ак *k /

в (П.2) под ф (г) понимается значение ф (г, z) при z=0, т. е. в концевой части ло­вушки.

Решение уравнения (П.1) с правой частью (П.2) можно найти с помощью функ­ции Грина, аналогично тому как это было сделано в предыдущем разделе (см. (7),

(8)):

ГТ

'Ы'О - J <*г„ G„,.(R, г0)(?,(г,). (П.3)

О

Для определения >(r, Z) следует произвести обратное преобразование Лапласа

1 С

Ур (г, Z) = -— Г Dp вР'фр (г). (П.4)

2Ni J С

Как известно, асимптотика интегралов вида (П.4) определяется особенностями подынтегрального выражения. В данном случае — это логарифмические особенности в точках p=±fw/V>Aц(го), p=±iw/ УЛц(г). В соответствии с [6, 7] особенности в точках ра=±1Ю/Улц(г) являются фиктивными. Они возникают из-за решения задачи методом преобразования Лапласа, при использовании которого считается, что в области Z<О возмущение обращается в нуль. Разложение ступенчатой функции в интеграл Фурье содержит все пространственные гармоники. Поэтому стационарный источник часто­ты ш, расположенный в точке с координатами r=»r0, z=0, будет создавать возмущения со всеми значениями фазовой скорости А>/кг, в том числе и не равными Уац(го). Таким возмущениям соответствуют особенности функции Грина при Р—±1ю/7ац(г). Однако на самом деле функция ф (г, z) непрерывно продолжается в область Z<О (см. предыдущий раздел) и, следовательно, возмущения с Kz**(ь/VAn(ra) должны отсутствовать. Принимая во внимание это обстоятельство, мы будем игнорировать осо­бенности в точках Р=±Ш/УЛц{г).

Обратимся теперь к особенностям в точках P*=*±Ia/VAЦ(г0). Значению р= I(ь / УЛц(го) соответствует волна, приходящая из бесконечности. При Im<D>0 ее амплитуда неограниченно нарастает в области z-*<». Чтобы исключить такие волны, наложим условие

QP{ro)Ршш-<«/гАц(гв)в0. (П.5>

Оно позволяет найти частоты собственных колебании и вид собственных функций в плоскости z=0. Продолжение решения в область z>0 определяется (П. З), (П.4). Его асимптотика при z-*<» имеет вид (13), где для функции Грина использовано коротко­волновое приближение (11); функция г|>(го), входящая в @P(r0), определяется урав­нением (1.5), совпадающим с (12).