ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ПРАВИЛО ОБХОДА ЛАНДАУ В ПРОБЛЕМЕ ЦИКЛОТРОННОГО РЕЗОНАНСА В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

ТИМОФЕЕВ А. В., ЧУЛКОВ Г. Н.

1. В неоднородном магнитном поле обмен энергией между электро­магнитными колебаниями и заряженными частицами локализован в ок­рестности резонансной точки, где частота колебаний совпадает с цикло­тронной. Процессы, происходящие в этой области, столь сильно влияют на состояние частиц, что последствия резонансного циклотронного взаи­модействия ощущаются на значительных расстояниях от резонансной точки (информация о резонансном взаимодействии переносится частица­ми вдоль магнитного поля вследствие их теплового движения). В резуль­тате связь электрического поля колебаний с вызываемыми им токами становится нелокальной и соответственно волновое уравнение интеграль­ным. Это вполне естественно, так как обсуждаемая задача принадлежит к классу задач о распространении колебаний в неоднородной дисперги­рующей среде.

Решение интегрального уравнения представляет значительные труд­ности, однако обычно реальный интерес представляет не точный вид ре­шения в окрестности резонансной точки, а значения коэффициента по­глощения колебаний в резонансной области и коэффициента отражения от нее. В [1], где рассматривались колебания, распространяющиеся вдоль магнитного поля при 7Я0||Н0, было показано, что для вычисления коэффициентов поглощения и отражения колебаний можно применить упрощенный подход. А именно, использовать для тензора диэлектриче­ской проницаемости выражение, полученное в однородном случае, когда’ тензор является довольно простым алгебраическим или дифференциаль­ным, а не интегральным оператором, учитывая в нем зависимость маг­нитного поля от координат параметрически. Такое упрощение, строго говоря, законно лишь на достаточно больших расстояниях от резонанс­ной точки. Поэтому для сшивки решений, задаваемых по разные стороны от нее, следует рассмотреть аналитическое продолжение волнового урав­нения на плоскость комплексного переменного 5 (координата вдоль V#о) и обходить резонансную точку в комплексной плоскости в соответ­ствии с правилом обхода Ландау.

В [2] возможность использования упрощенного подхода при К Н0 была подтверждена прямым решением интегрального уравнения в пред­положении, что коэффициент поглощения мал по сравнению с единицей. В настоящей работе показано, что такой подход можно использовать при произвольной величине коэффициента поглощения вне зависимости от направления векторов Н0, 7Я0 и к (волновой вектор)

Существенное упрощение тензора диэлектрической проницаемости при переходе к комплексным значениям координаты вполне понятно.

1 Наш анализ не охватывает случая УЯо-*-Н», когда возможность жсподьзованжя правила обхода Ландау очевидна.

5 Фважка плазмы, вып. 1 129

Действительно, если смещение с оси 1т $ =»0 происходит в соответствии с правилом обхода Ландау, то оно эквивалентно переходу к нарастающим колебаниям с инкрементом ч=о> Iт $/£. (Мы принимаем, что магнитное поле, а вместе с ним и электронная циклотронная частота, меняются по линейному закону шДз) =ш.0(1—$/£).) Рассматриваются электронные

Циклотронные колебания с ш=гсй)ео, зависящие от времени по закону

Ехр (—ш£)' Если амплитуда колебаний возрастает с инкрементом ч, то на состояние плазмы в данный момент времени влияют электрические поля, отдельные временным интервалом, не превышающим по порядку величины ч“1. Иными словами, в случае нарастающих колебаний фазовая

Память частиц охватывает интервал вре­мени порядка - р1. Если этот интервал окажется малым по сравнению с време­нем прохождения электрона через резо­нансную зону б£, то эффекты фазовой памяти станут несущественными и для тензора диэлектрической проницаемости можно будет использовать локальное вы­ражение. Поскольку (см., например, [*■ *• 4]), то для соответствующего радиуса обхода бз по­ручаем выражение бз«(рЕЬ)ч здесь Ре — Средний ларморовский радиус электронов.

К ухудшению фазовой памяти приво­дят и случайные воздействия — кулонов - ские соударения, немонохроматичность колебаний. В [2] было показано, что пра­вило обхода Ландау можно использовать при наличии в плазме случайных воздей­ствий достаточно высокой интенсивности. В настоящей работе предполагалось, что случайные воздействия отсутствуют. Есте­ственно, что правило обхода Ландау оста­ется справедливым и в промежуточном случае. Однако было бы невер­ным на этом основании считать, что правило обхода Ландау можно использовать при любых условиях и что поэтому обсуждаемая проблема вообще отсутствует. Действительно, в настоящей работе предполагается, что размеры системы неограниченно велики и поэтому каждый электрон проходит через резонансную зону лишь один раз. Полученные результа­ты можно использовать и для систем конечного размера, если в них фаза циклотронного вращения «сбивается» стохастически за одно прохожде­ние электрона по системе. Между тем в [3] показано, что в ограниченных системах при отсутствии случайных воздействий правило обхода Ландау оказывается справедливым лишь, если амплитуда колебаний не слишком мала. Правило обхода Ландау нельзя использовать и в том случае, если резонансная точка приближается к экстремуму магнитного поля на рас­стояние Д 5где Ьх определяется соотношением #о(5)=#о(1=1:

±5*/^!*) (см. [4]). Напомним, что в настоящей работе предполагается ли­нейный закон изменения магнитного поля. В силу малого размера резо­нансной зоны ~(рвЬ)4* такая аппроксимация в большинстве случаев яв­ляется законной.

Наконец, отметим еще одно предположение, использованное нами. Мы считаем, что электроны в пределах резонансной зоны движутся вдоль магнитного поля равномерно. Если распределение электронов по энерги­ям в достаточной степени размыто, то для большинства электронов это предположение является вполне разумным. Однако оно заведомо наруша­ется для небольшой части электронов, останавливающихся в пределах

Резонансной зоны. В Приложении показано, что наличие ускорения не влияет на возможность использования правила обхода Ландау.

2. Рассмотрим электромагнитные колебания, распространяющиеся по плазме, помещенной в неоднородное магнитное поле. Введем декартову систему координат с осью ОZ, параллельной Н0, ось ОХ направим так, чтобы Vtfo находился в плоскости X0Z. В дальнейшем нам понадобится

/

Также вспомогательная система координат, повернутая на угол ij>=H0V#0 относительно оси О У (см. рис. 1).

Как отмечено выше, при учете эффектов пространственной дисперсии связь между электрическим полем колебаний и вызываемым им током является нелокальной и соответствующий оператор диэлектрической про­ницаемости интегральным. Так, найример, та часть я-компоненты плот­ности тока, которая вызывается z-компонентой электрического поля вол­ны, имеет вид

/==УI <*3v/.(v)J Dk, Ex(k,)X

(1)

X (/п2(X)-2(1-cos 2Ф)()/п+1 (X)) | dxexp(-i<Ms, т)-шЖкг).

— оо

Это выражение получено стандартным методом интегрирования по тра­екториям. При его выводе электрическое поле представлено в виде

Ех(т, T) =Ex(S)Ex])(—I(Dt+Ikyy+Ikqq)

И для Ex(S) использовано разложение в интеграл Фурье:

£,(*) = (2л) J Dk. Ех(К,) exp {ik, s).

В (1) введены обозначения К^к, sin 1|>—Л, cos 1|>,

Kt=K, cos 1|>+&, sin |), cp=arctg (&„/&*), X=KxvJ(Oe,

Значок «перпендикулярно» отмечает величины, ортогональные к Н0:

Фп($, т) =Лпт+бт2, Ля=й)—mo.(s) — Ktuly 6=<oz;Icos $/2L,

Jn — функция Бесселя индекса П.

Используя одно из определений интеграла вероятности

TOC o "1-5" h z j Dx exp (-гд. т-.бт*) 4'W^N/2 W *> • (2)

— oo

Представляем (1) в виде

^ Dk. E.(k.)AnX

N™ — oo

X(Й)~'hWExp(-i0)t+&r). (3)

Здесь

A" = (w)

0

— 2 (1—cos 2ф) (X) /»+! (A.) J.

Функция распределения электронов по скоростям предполагается макс­велловской.

3. Как показано в [1—4], заряженные частицы эффективно обменива­ются энергией с колебаниями в области, где выполняется условие |s|< <max(LЙ, z;*/<i); (Lvt cos ^/ю)'7*). Эту область и имеет смысл называть ре­зонансной. Вне ее I An/2(i6)v,| >1 и для справедливо асимптотиче­

Ское представление

Lk(I+W+-) (~Т<ат8І<іг)’

Mv-

Mi+~K+-)+2Exp{~R) (~т<агг§<-т)-

(2лУЫ К j Аk, Ex{k,)AnX

Х(х+5(^)‘ехр(^)) Е^~ш+ікг)-

Здесь величина 5—1 Для у*<0 при л<аг£$<Зя/2 и для і7*>0 при Зл/2< <аг£$<2я. Вне этих секторов £=0.

Если в скобках в (5) оставить лишь первое слагаемое і/Дя, то выра­жение для /** примет такой же вид, как и в случае однородного поля. При этом зависимость магнитного поля от координат будет учитываться пара­метрически. Происхождение второго слагаемого выяснено в [1, 4]. При его интерпретации максвелловское распределение электронов по скоростям удобно представить в виде набора пучков, движущихся вдоль магнитного поля с различными скоростями у*. Каждый пучок, проходя через резо­нансную зону, обменивается энергией с колебаниями, при этом в нем возбуждаются электрические токи. Эти токи переносятся вместе с пучка­ми вдоль магнитного поля. Поскольку фаза тока совпадает с фазой коле­баний в момент прохождения пучка через резонансную зону, а скорости пучков различны, то в одну и ту же точку приходят токи с различными значениями фазы. Очевидно, что интерференция должна приводить к их взаимному уничтожению. Для того чтобы выяснить, на каком расстоянии от резонансной точки это происходит, необходимо проанализировать за­
висимость интеграла

1= J^.exp(-igfl + ^l)

— оо

От координаты S (Дп=й)—rc<ц,(s) — Ktvt). Такой анализ был произведен в [1, 4]. Оказалось, что вне сектора —7ji/8<argS<—Л/8 (см. рис. 2) инте­грал / становится экспоненциально малым на расстояниях порядка (р.£)ч' От резонансной точки, т. е. практически сразу вне резонансной зоны. Одна­ко в секторе — 7n/8<args<—я/8 интеграл не убывает, а растет с увели­чением |s|. Этот результат означает, что мы можем пренебречь вторым слагаемым в скобках в (5), если при нахождении решения будем обходить резонансную точку на достаточно большом расстоянии в верхней полу­плоскости комплексного переменного S. Поскольку в нашем случае D(D,/Ds<0, то правило обхода совпадает с правилом обхода Ландау. Сле­дует отметить, что при переходе от максвелловского распределения частиц по скорости к распределениям с меньшим разбросом радиус обхода 6s воз­растает. Например, для распределений вида F0{Vt)=CexР (—M(Ut—V0)2/2T) Имеем 6S^V0(L/(D)4,(M/Tyu.

Пренебрегая в (5) вторым слагаемым в скобках и интегрируя по Dvz, Приводим /» к виду

Пшт—т

Ху( (-^г) ) eip (-iat+ikr). (6)

Предположим теперь, что радиус обхода бs превышает также | КгЫ /(д(Т/т)'ь. В этом случае для интеграла вероятности в (6) может быть использовано асимптотическое представление (2). Оставляя в нем два первых слагаемых, приводим /** к виду

/„ = У [АЛа>-п^))]И+к, гТ/т{ы-п(о^))г)ЕЛт)е-ш. т /Lmi

--- (7)

Здесь величина Ап через посредство своего аргумента (см. выше) явля­ется дифференциальным оператором, действующим на Ех{Г). Отметим, что при резонансе на основной гармонике электронной циклотронной частоты и при Я<1 выполняется приближенное равенство Ля«1.

Выражение, аналогичное (7), может быть получено и для остальных составляющих плотности тока /«*. В [*] с помощью тензора диэлектриче­ской проницаемости, соответствующего (7), было найдено, что коэффи­циент поглощения колебаний на основной гармонике циклотронной часто­ты при Н0 JT V Но равен

Ti=l—ехр (—2Г), (8)

Где

Г=я/4Wc T/Mc2N±KN2(QN)~1 (iV4-2g*-l)2 (N±2+Q-I)~'В~

B= (iVx24-iV*4-2g—3) sin 0 cos <p sin 1|>4- (N±*—G+2) cos 0 cos 1|>,

Q= (cDp./o))1, N=kc/(dy 0=kHo.

Условия, использовавшиеся в [2], при получении (8) сводятся к выпол­нению одного из двух неравенств: Г<1 или L>(J/m)f/* <o(Af)z cos-11|>, где A*=min ((Д©)"1, (Tv/M)-'UK'*Li)Y Дю — ширина спектра колебаний, v — частота кулоновских соударений. Второе неравенство необходимо для обо­
снования возможности использования правила обхода Ландау. Оно озна­чает, что интенсивность случайных воздействий должна быть достаточно высокой. Однако из результатов, полученных в настоящей работе, следует, что на самом деле выражение (8) можно использовать при любой интен­сивности случайных воздействий.

ПРИЛОЖЕНИЕ

При получении (1) мы предполагали, что электроны движутся вдоль магнитно­го поля равномерно. Рассмотрим теперь, останется ли справедливым правило обхода Ландау при ускоренном движении электронов. Будем считать для простоты, что все электроны движутся с одинаковым ускорением А. В этом случае в выражении (1) необходимо произвести замену: Фп-*Фп=Дпт+бт2+ет3, где б=в-А*а/2, е=<ла/6£.

1т Х

Рис. 3. Контур интегри­рования С% при Ьп>0. Тонкие линии - линии действительной фазы подынтегрального вы­ражения

В отличие от процедуры, использованной выше, удобно сначала вычислить интеграл по <**¥. При этом получаем

^ 01

/«=------- —----- V Г (1.1)

Тою (2я)1/1 АшЛ *

Где <*хехр(»&п*+^(я:)), (©-»©• (*))/®,

V (Х) - ф* (х+г73а) -1 (х+хг/2а)2, а=*.£, Р-»Ага/2©2, д—Ткяг/2та>2.

Преобразуем /п тройным интегрированием по частям:

TOC o "1-5" h z 7хх=/»}-——X1 [(72.) Та) 1 2л

П«* О»

Где дается (7) и

* <**

Г йжехр(1Ълх) -£^-вхр(*Чж)). (1.3)

о

Интеграл (1.3) удобно вычислить методом перевала. Предположим сначала, что ускорение отсутствует: р«>а—0. Значение интеграла (1.3) определяется начальной

Точкой интервала интегрирования х=0 ж тремя точками перенала: Хх=d„ei;T/e, Хг=

/ ®2 71

=dne5l"/e, Х3=d„e3i*/2t где Dn = ^ j. Линии уровни функции exp(Ibr,X-^F(X))

При Ьп>0, Im Ь„=0 и контур интегрирования С изображены на рис. 3. Точка х=0 дает вклад в интеграл, пропорциональный 1 /Ьпч а точка Ху - пропорциональный exp (-Bndn/2). В результате получаем, что Т<|/п|°°1/Ьп3, и поэтому, как следует из (1.2), /***/2с - Аналогичным образом можно показать, что это приближенное ра­венство справедливо во всей верхней полуплоскости комплексного переменного S<*>Bn. Однако в некоторой части нижней полуплоскости, а именно в секторе -7я/8< <Arg S-N/8 (см. рис. 2), интеграл Тп растет при |«|-*«>. В этой области Гп^ехр (|Bndn/2). Таким образом, наш анализ подтверждает вывод, сделанный в основном тексте.

Учтем теперь влияние ускорения. Ош* входит лишь в параметр р=&га/2й>2. Естественно предположить, что А~еФ/тЬ где Ф - электрический потенциал, V - размер плазмы. Обычно в плазме Еф~Г, поэтому Ф~крвг/ь'<£1. Следовательно, учет слагаемых, пропорциональных р, в показателе экспоненты F(X) приведет к сдвигу точек перевала на малую величину порядка Такой сдвиг не меняет оценок,

Проведенных выше. Что касается предэкспоненциадьного множителя, то здесь учет ускорения приводит к малым несущественным добавкам, которыми можно прене­бречь. В результате мы приходим к заключению, что наличие ускорения не препят­ствует возможности использования правила обхода Ландау.