ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ «УБЕГАЮЩИХ» ЭЛЕКТРОНОВ В ТОКАМАКЕ ПО ЦИКЛОТРОННОМУ ПОГЛОЩЕНИЮ

ЗВОНКОВ А. К, СУВОРОВ Е. В., ТИМОФЕЕВ А. В., ФРАНМАН А. А.

1. В последнее время общепринятыми стали измерения профиля элек тронной температуры по циклотронному излучению из тороидальной, плазмы (см., например, [1—4]). Электронную температуру можно опре­делять также по коэффициенту циклотронного поглощения [5]. (Такие измерения ранее проводились на адиабатических ловушках [6, 7].) Если функция распределения отличается от равновесной максвелловской, то последний способ позволяет получить сведения о характере такого отли­чия, а в некоторых случаях и определить вид функции распределения. Эта возможность, в частности, существенна для плазмы в токамаках, где функция распределения электронов состоит из двух компонент — основ­ной с температурой в несколько кэВ и небольшой группы высокоэнергич­ных «убегающих» электронов, энергия которых может доходить по по­рядку величины до МэВ; функция распределения энергичной компонен­ты, вообще говоря, неизвестна. Даже небольшая добавка горячих частиц, может существенно изменить спектры циклотронного излучения из торо­идальной плазмы и тем самым сделать невозможным определение темпе-л ратуры основной компоненты (см., например, [8—10]).

Решение задачи об излучении и поглощении волн в тороидальной: плазме является однозначным, если известна функция распределения электронов. Обратная задача восстановления функции распределения электронов по излучению и поглощению волн в плазме является, строго говоря, некорректной. Наиболее простым приближенным способом ее ре­шения является теоретический расчет частотных зависимостей излучения: и поглощения волн для различных функций распределения и сопоставле­ние этих результатов с экспериментальными данными. С этой точки зре­ния представляют интерес расчеты циклотронного излучения при раз­личных параметрах горячей компоненты электронов [8—10].

Мы хотим обратить внимание на возможность определения парамет­ров горячей добавки к электронной функции распределения по коэффи­циенту поглощения электромагнитных волн с частотами, близкими к гармоникам электронной гирочастоты (го=гсй),). Зондирование плазмы при этом следует проводить в вертикальном направлении, вдоль линий В=сопз^ перпендикулярно тороидальному магнитному ролю. В этом слу­чае электромагнитные волны взаимодействуют с электронами строго фик­сированной энергии, которая определяется из условия

Жо« (1 — Ё! тсх) = ш (1)

(й)Р — гирочастота электронов с нулевой энергией, ю — частота зондирую­щего излучения, # — кинетическая энергия электрона, которая считается значительно меньше энергии покоя Тпсг). Меняя частоту зондирующего излучения, можно получать сведения об энергетическом спектре горячей компоненты.

2. Рассмотрим циклотронное поглощение нормальных волн, распрост­раняющихся поперек магнитного поля, в предположении, что распределе­ние электронов представляет собой сумму холодной и горячей компонент^

Причем плотность последней мала П^По. В таком приближении коэффи­циенты поглощения нормальных волн получены в [11] для произвольной функции распределения надтепловых частиц и при произвольном угле распространения относительно магнитного поля. В частном случае по­перечного распространения имеем:

/1т К я* 7,7. Я/ .

* 4 —ао О

Рх,(/.'(х)+г.—/.(X))!,

Х1 ’

Тде 1т К и К — мнимая и действительная части волнового числа, индекс / отмечает вид волны: От (обыкновенная), Ех (необыкновенная); П — номер циклотронной гармоники, Nj — показатели преломления нормальных волн, определяемые холодной плазмой; ^1=а)Р12/<*>*2, а)Р1 — плазменная час­тота горячей компоненты с концентрацией Пи /(у„, И±) — функция рас-

О»

Цределения горячих частиц С нормировкой2л | Йий ^(1и±и±{(иь У_1_)=1, /п —

-« о

Функция Бесселя аргумента Х==^си±1(д^ Гп — продольный коэффициент поляризации необыкновенной волны, который определяется холодной ком­понентой плазмы и вблизи циклотронных гармоник равен

Г„=д/п(га*-1-?), ?=<йр7шЛ

Тде й)р — плазменная частота холодной компоненты. Верхнее выражение в фигурных скобках относится к необыкновенной волне, нижнее — к обыкновенной. Выражения (2) написаны для слаборелятивистской функции распределения горячих частиц (иг1с2С 1).

Мнимая часть волнового числа 1т К связана с коэффициентом погло­щения (по мощности) Т соотношением

*П=1— ехр 21 1т Кй1^ , (3)

Где интеграл берется вдоль луча. Таким образом, измеряя поглощение нормальных волн, можно определить мнимую часть волнового числа, усредненную вдоль луча зрения. Однако, как легко видеть из выражения (2), знание 1т К не дает возможности однозначно восстановить вид функ­ции распределения горячих частиц плазмы. Чтобы тем не менее получить информацию о ней, рассмотрим функции распределения двух типов:

А) изотропные распределения И±)={(и); б) сильноанизотропные

Распределения, у которых разброс по продольным скоростям существен­но превышает разброс по поперечным скоростям[66] {&и{]^>Аи±). В послед­нем случае в резонансном условии (1) можно положить £Г=1 ти

В случае изотропной функции распределения в «дипольном» прибли­жении (х<1) из выражений (2) получаем:

/ 1тМ_____________ Я>/' <?■ / Ки- I

К } „ л*п! Г(га+7г) 2ш. I

«*(»*)

(4)

1тК Л'^І+Г«)* /Ку.г"-г 3 (її

К )„ 2-п1Г(п+'/,) Л^„*2о),/ СУ* <1(ог)

Где величина И, находится из резонансного условия и определяется вы­ражением

(—)г=2^^. (5)

С / П(Ов

Таким образом, измерения поглощения в случае изотропного распре­деления электронов позволяют определить производную ^ и восстано­вить функцию распределения энергичных частиц по скоростям.

В случае сильноанизотропного распределения имеем:

(нг) „г(NV2(^;) C42LtWr]../

(6>

Jlmk Nq,N (1+Г„)г / К 2"-2 Сг R F -I

Где И, определяется по-прежнему (5). Выражения в квадратных скобках являются своеобразными четными моментами поперечной скорости при фиксированной продольной скорости.

По аналогии со случаем максвелловского распределения введем эффек­тивную поперечную температуру, определив ее равенством

" / 2 Т П-1

2л Jdv±V'N ‘F(Vhv±)*= (л-1)! Ут("‘'*= (га-1)! • (7)

О

Эта температура, разумеется, имеет условный характер, и ее величина зависит не только от Иь но и от номера гармоники П.

Итак, в случае сильноанизотропной функции распределения горячих частиц из измеренного поглощения нормальных волн можно получить ин­формацию о произведении соответствующих степеней средней поперечной энергии на функцию распределения по продольным скоростям. Найти эф­фективную поперечную температуру можно, сравнив поглощение волн одного типа на различных циклотронных гармониках. Например, из (6)>

(7) легко получить

ImKn+i VT* ((n+l)2-g)"+,/’ 1

(n2-g)"-v’

Аналогичное соотношение, отличающееся только зависящим от W ко­эффициентом, получается и для необыкновенной волны. Таким образом, измерение частотных зависимостей коэффициентов циклотронного погло­щения позволяет получать информацию о параметрах горячей компонен­ты как в случае изотропной ее функции распределения, так и для резко анизотропного распределения (Ду,|»ДИ±), если знать, к какому из этих

Двух классов относится функция распределения горячих частиц. Этот во­

Прос можно решить исходя из тех же измерений, сравнив мнимые части волновых чисел нормальных волн на одной и той же частоте.

Для изотропной функции распределения

ImКвх_______________ Яш. (1+Г„)2 2м+3 / Nex 2"-3

Im Лог Пые—ы NOr2 2 Nor /

При анизотропном распределении (Дуц>Дух)

ImКвх 1 Гш. (1+Гп)2 / Nt ' 2"-3

Для гармоник с номером 2 можно принять NorДWe*~ 1, Гп=0. Отно­шения Im KeJIm Kor для обоих классов функций распределения пропор­циональны отстройке от гармоники гирочастоты, но коэффициенты про­порциональности различаются в 2тг+3 раза. Поскольку различие доста-

ТОЧНО велико ^уже Ш* ширп _________ . .

Можно надеяться на то, что удастся достаточно уверенно отнести функ­цию распределения горячих частиц к одному из этих двух классов.

В заключение сделаем несколько замечаний общего характера относи­тельно предложенного выше метода диагностики.

А) Для интерпретации результатов измерений частотных зависимостей поглощения нормальных волн необходимо знать с высокой точностью / Д В &

( —- <-------- абсолютную величину магнитного поля на линии зондиро-

В тс2 /

Вания. Особенно важно это в случае сравнения мнимых частей волновых чисел вблизи разных гармоник гирочастоты.

Б) Точность определения энергии резонансных частиц по циклотрон­ному поглощению связана с неоднородностью магнитного поля вдоль тра-

А#АВ

Ектории распространения зондируемого излучения: —-- « ——. dTO обуе­те В

Ловлено следующими основными факторами: рефракцией лучей; конечной шириной пучка СВЧ-излучения, выходящего из передающей антенны и попадающего в приемную антенну; наличием полоидальной компоненты магнитного поля и неоднородностью магнитного поля, обусловленной диа­магнетизмом плазмы. Учет диамагнетизма в случае, когда й)р~гое, приво­дит к неопределенности в определении энергии резонансных частиц Д^Г »<2Г, где & — средняя энергия всех электронов плазмы (включая хо­лодную и горячую компоненты):

Полоидальная компонента магнитного поля, редко превышающая ве­личину порядка 10% от тороидального поля, приводит к неопределен­ности в определении энергии горячей компоненты порядка 5 кэВ (1% от энергии покоя электрона). Оценку неопределенности Д<£ обусловленную рефракцией и конечной шириной пучка, следует оценивать отдельно для каждого конкретного эксперимента. В качестве примера укажем, что чис­ленные расчеты лучевых траекторий, проведенные для модельной уста­новки с параметрами, примерно соответствующими «ИНТОРу» [12], дают для гармоник П>2 величину неопределенности Д^Г также ~5 кэВ.

В) При выборе оптимальных номеров гармоник и типов волн следует иметь в виду, что оптическая толщина системы не должна быть как слиш­ком малой, так и слишком большой. Действительно, уверенные измерения

Коэффициента поглощения ^т]«2 J 1т К dl при ^тА<2/<1 ^ возможны

Лишь до величин т]~ 10~3-М0~4. С другой стороны, при £ 1тЫ/>1 ко­эффициент поглощения стремится к единице (плазма становится черным телом) и перестает зависеть от вида функции распределения заряженных частиц. Например, для установки масштаба «ИНТОР» при плотности го­рячей компоненты порядка долей процента от плотности основной плазмы оптическая толщина на первой циклотронной гармонике для обыкновен­ной волны и на второй гармонике для необыкновенной волны составляет несколько единиц. С увеличением номера гармоники появляется дополни­тельный множитель порядка (<2Г/тс2)п, где <8 — средняя энергия горячей компоненты. Заметим, что непригодной для диагностики является первая гармоника необыкновенной волны, у которой велика рефракция из-за бли­зости слоя верхнегибридного резонанса. При использовании второй гармо­ники необыкновенной волны в плотной плазме (д>1,16) необходима отно­сительная отстройка от гирочастоты на величину больше 5Т01тс2 (где Го ~ температура холодной компоненты). В противном случае возможно возбуждение в плазме вместо необыкновенной волны модифицированной моды Бернштейна (см. [13]), для которой циклотронное поглощение опи­сывается другими формулами.