ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

К ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ АЛЬФВЕНОВСКИХ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ

А~ В. ТИМОФЕЕВ

В последнее время в ряде теоретических работ исследовалась устойчивость альф­веновских колебаний неоднородной плазмы при наличии в ней пучка быстрых ионов (см., например, [*•[50]]). Эта задача приобрела актуальность в связи с предложениями об ишкекции быстрых нейтралов в токамак. Мы хотели бы обратить внимание на ее аналогию с задачами об устойчивости неоднородных течений плазмы и жидкости. Действительно, в обоих случаях в пренебрежении мелкомасштабными эффектами

Типа вязкости, эффектов конечного ларморовского радиуса и т. д. пространственная

Структура возмущений описывается уравнением

Йр-0, (1>

Где Ь — обычно дифференциальный оператор второго порядка. Характерно, что коэф­фициент перед второй производной в некоторой точке х« обращается в нуль. Эта точ­ка является особой точкой уравнения (1), и для регуляризации задачи в окрестности х, необходимо учесть мелкомасштабные эффекты. При этом (1) заменяется следую­щим уравнением:

ДЧр

А —— + £<р «— 0. (2)

Дхк

В задаче об устойчивости альфвеновских колебаний а = — 16 ^ а>2р<2л0, р, —

• / ** %

Ларморовский радиус ионов основной плазмы, 0“ I —--------------- V«-эффектив--

Ная частота соударений запертых электронов, г — расстояние от оси системы, Л — радиус кривизны силовых линий магнитного поля, £—Vj_eV_L, значки «поперечно» и «продольно» отмечают направление относительно магнитного поля, е*= (о>2(1-< т]) - ~*11[51]СА,(*))п,(*),

Я 1 лоб / С0ь• {и±г+2и£)г

Л = - '

16 соД* л0

Где о)й‘ — частота ларморовского дрейфа ионов пучка, значок КЬ» отмечает величины, относящиеся к пучку быстрых ионов, скобки означают усреднение по распределению ионов в пучке, 9 — коэффициент запаса устойчивости, <р — х-я компонента скорости плазмы в колебаниях. Используется прямоугольная система координат (модель плоско­го слоя), ось ОЪ которой направлена вдоль магнитного поля, ось ОХ по направлению, в котором меняется плотность плазмы.

При исследовании альфвеновских колебаний будем использовать результаты и методы теории устойчивости течений плазмы и жидкости (см., например, обзорную работу [*]). В соответствии с [[52]] при 0<аг£а“1<я/2 крупномасштабные колеоания можно рассматривать с помощью упрощенного уравнения (1), обходя особую точку в комплексной плоскости в соответствии с правилом Ландау. В [[53]] показано, что сингулярные уравнения типа (1), дополненные правилом обхода Ландау, не имеют коротковолновых (&»г>1) собственных функций с 1т 0)5*0, локализованных во вну­тренней части плазмы (эквивалент теоремы Рэлея). Этот результат получен в пред­положении о простейшем характере пространственной зависимости коэффициентов в уравнении (1). В данном случае необходимо монотонное изменение сл(х). В систе­

Мах с аксиальной симметрией под внутренней частью следует понимать область, уда­ленную на расстоянии Дг^>ку~1 как от края^ так и от центра системы.

Ввиду отсутствия соответствующих собственных функций временную эволюцию коротковолновых начальных возмущений приходится рассматривать непосредствен­но. Мы использовали ту же самую процедуру, что и принятая в работах [•* *]. Исход­ным является временной аналог уравненпя (1) ^ 10 ’ Преобразуя его по

Лапласу, приходим к неоднородному уравнению (1), в правой части которого стоит

Со,

Лачальное возмущение величины —Д— С(х)у компонента плотности

Е

Тока. Решения последнего уравнения находятся с помощью функции Грина <рв (х) = = $^х0С(х 0)£в(х, *о). При простейшей, линейной зависимости С а* от х функция Гри- ла имеет вид

„ , * Г К0(ку(х-х,(и)))к0(ку(х'((й)-х0)) (х>х0)

С„(х, х0)=------- - I (3)

Я I Ко(ку(х, Ы)-х))Ко(ку(хо-х,(®))) (х<х0)

Здесь К0 - модифицированная функция Бесседа второго рода, х,(<й) - особая точка уравнения (1) при данном значении частоты со.

Асимптотика возмущения определяется особенностями функции Грина:

Ф(х, О* <2хо С (х0) X

1

---- £о(*у|х-х0|) (е-{Шв(Хо)» + *-«••<*>*) (х*х0)

ЛИ

2

Я и

Здесь частота (о0(х) определяется «локальным» дисперсионным уравнением, исполь­зовавшимся в [Ч:

Е(о)0, х)*0. (5)

Зто уравнение описывает колебания с непрерывным спектром, которые прп т]<0 (о)б*>о)) нарастают во времени.

В выражение для <р(х, *) входят две экспоненты с частотами (о0(х0) и а>0(х). Первой соответствуют возмущения, аналогичные волнам Ван-Кампена - Кэйаа [в]. В данном случае это колебания, вызываемые локальным возмущением величины &±]'у. Появление второй экспоненты в определенном смысле связано с преобразованием Лапласа, при использовании которого считается, что возмущения возникают мгновен­но при ^0 [т].

С ростом времени пространственный масштаб колебаний уменьшается, поэтому в конце концов должны сказаться не учтенные нами мелкомасштабные эффекты. В уравнение (2) затухание на запертых электронах входит так же, как вязкость в уравнение колебаний обычной жидкости (см., например, [8]). Оценки, аналогичные приведенным в [3], дают следующее выражение для времени затухания возмущений

Й “*/»

Р<-^—1пса4 6“,/,(АцСа)“1. Разумно предположить, что если 1т (1)0*о5!

^ 10 - г-20 / 1т о)0 ж---- —, Ые ©о ж *цСа V то в эволюцию возмущений должны вме -

2 Ие о)0 /

Шаться нелинейные эффекты. Они могут предотвратить сокращение масштаба воз­мущений, ведущее к затуханию. В то же время, оставаясь в рамках линейной теории, мы должны считать плазму асимптотически устойчивой, так как при *-*■00 все на­чальные возмущения должны затухнуть. Этот результат относится к коротковолно­вым возмущениям (&уг>1), локализованным во внутренней части плазмы. Наряду с этим в [2] были найдены неустойчивые собственные колебания, представляющие «обой сочетание длинноволновых колебаний с мелкомасштабными. Под мелкомас­штабными мы понимаем колебания, длина волны которых сравнима с ларморовским радиусом. Особая точка для неустойчивых колебаний располагалась вблизи центра системы. Нетрудно усмотреть аналогию между этой неустойчивостью и известной неустойчивостью Пуазейлевского течения (см., например, [•]).

На проблему, рассматриваемую я настоящей работе, внимание автора было об­ращено А. Б. Михайловским. За это, а также за полезные обсуждения автор выража­ет ему глубокую благодарность.

Институт атомной энергии Поступила в редакцию

Им. И. В. Курчатова 25 августа 1975 г.