ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ОБ УШИРЕНИИ СПЕКТРА ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И КОЭФФИЦИЕНТАХ ПЕРЕНОСА В РЕЖИМЕ СЛАБОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

А. В. ТИМОФЕЕВ

Согласно современным воззрениям, развитие неустойчивости в плазме может приводить к установлению стационарного турбулентного состояния. Такое состояние характеризуется наличием случайных электрических по­лей, частотный спектр которых занимает интервал Дсо^О. Если Д© суще­ственно превышает обратное время корреляции колебаний ^с~[49](Асо^е>1), то турбулентность называется слабой, если эти величины имеют один по­рядок (Д(1)*ел1) — то сильной. Рассмотрим режим слабой турбулентности. Естественно предположить, что электрическое поле колебаний Е(г) явля­ется марковской случайной величиной К Марковской будет, например, слу­чайная величина, на одну из производных которой наложено условие б-кор - релированности во времени:

*"■> (*.—*,)=)-АМи-и). (1)

Здесь скобки означают усреднение по статистическому ансамблю. При вы­полнении условия (1) говорят,'что у случайной величины Е(г) отсутствует п-я производная (см., например, [Ч). Очевидно, что с увеличением поряд­ка п повышается детерминированность — предсказуемость процесса. Абсо­лютно непредсказуемым является случайный процесс типа белого шума, когда /1=0. В то же время при тг=«> (все производные существуют) мы получаем детерминированный процесс.

Посмотрим, как меняется вид спектральной функции колебаний в за­висимости от номера п в условии (1). Пронумеруем спектральные линии плазменных колебаний индексом I. Если расстояние между отдельными линиями превышает то эти линии могут быть разрешены. Используя известное соотношение между корреляционной функцией К(0) (£) и спект­ральной плотностью 5(о>):

Т

#(0)(*)=^ (йвъоз (<*>£) £(<*>)»

О

Нетрудно показать, что если у электрического поля колебаний £*(£) отсут­ствует п-я производная, то в области | со—спектральные линии

Уширяются по закону £/(©) ~ | ©—а>< | “2л, здесь ©i — частота собственных колебаний, соответствующих l-й спектральной линии. При п=°° (детерми­нированный процесс) закон спадания является экспоненциальным типа ~ехр (—tca (CD—CDf) *) .

Мы считаем, что и в режиме слабой турбулентности спектральные ли­нии должны спадать по экспоненциальному закону. Этот вывод следует, например, из анализа простейшей модели слабой турбулентности. Дейст­вительно, рассмотрим систему связанных осцилляторов, описываемых уравнением

D? Et

+ ®|ГЕ, —2j (2)

К, т

Где индексы к, т определяются известными распадными условиями (см., например. [*■ *]).

Предположим, что у величин, стоящих в правой части равенства, отсут­ствует N-я производная (/z=iV), тогда для величины Et получаем тг=ЛН-2. Очевидно, что числа п будут одинаковы лишь, если

При этом уместен вопрос: оправдывает ли слабая турбулентность свое название, т. е. включает ли она действительно случайные, непредсказуе­мые процессы? Ответ будет утвердительным, если предположить, что тур­булентные колебания возникают из микроскопических тепловых шумов и принимают форму ограниченных в пространстве волновых пакетов [*]. Когда амплитуда пакета достигнет макроскопического уровня, то колеба­ния становятся независимыми от инициировавших их тепловых шумов. На этом уровне эволюция волновых пакетов определяется детерминированны­ми процессами. Однако поскольку отдельные пакеты нескоррелированы между собой, то результат их прохождения через фиксированную tohkv пространства будет восприниматься как случайней процесс.

Вопрос о законе уширения спектральных линий, который определяется числом п (см. выше), возникает, например, при вычислении турбулентных коэффициентов переноса в холодной плазме. Холодной мы называем такую плазму, в которой средняя тепловая скорость частиц иТ много меньше фа­зовой скорости колебаний о/к. Для определенности будем иметь в дальней­шем в виду турбулентный коэффициент диффузии. Принято считать, что диффузия холодной плазмы обязана так называемому адиабатическому взаимодействию (см., например, [*• 3]). При этом виде взаимодействия ре­зонансное условие сь=ки выполняется не для максимума спектральной ли­нии, приходящегося на собственное значение частоты q>i (o)i>/ci7r), а для ее далеких крыльев. В [ь] было показано, что часто используемое выраже­ние для коэффициента адиабатической диффузии D=^/(i>kz получается при лоренцевском законе уширения спектральных линий *Si(o>) — ((со— — (О/) В этой работе были приведены доводы в пользу того, что на

Самом деле закон уширения должен быть более резким (&((!)) (ю—о^)~ь

И соответственно меньшую величину должен иметь коэффициент диффу­зии. В настоящей работе утверждается (см. также [а]), что спектральные линии должны уширяться по экспоненциальному закону. В силу этого адиабатическая диффузия практически отсутствует.

Полученный результат допускает простую интерпретацию. Мы считаем, что в режиме слабой турбулентности колебания должны существовать в виде волновых пакетов с детерминированной фазой. При нарастании ам - Плитуды пакета возрастает и амплитуда колебаний отдельных частиц. Эффективно на этом интервале времени мы имеем диффузию частиц.

Однако при спадании амплитуды диффузия заменяется стягиванием к по­ложению равновесия. Очевидно, что окончательный результат воздействия пакета должен быть равен нулю.

Институт атомной энергии Поступила в редакцию

Им. И. В. Курчатова 10 февраля 1975 г.

Исправленный вариант получен 25 декабря 1975 г.

Литература