ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

К ВОПРОСУ О ДРЕЙФОВО-ТЕМПЕРАТУРНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СЛАБОИОНИЗИРОВАННОН ПЛАЗМЕ ГАЗОВОГО РАЗРЯДА

А. В. Тимофеев и Ю. Л. Игитханов

Рассматривается устойчивость слабоионизированной плазмы газового разряда в магнитном поле. Электрическое поле, поддерживающее газовый разряд, пред­полагается неоднородным. В газовом разряде тепловая энергия заряженных частиц однозначно определяется величиной электрического поля, и поэтому гра­диент электрического поля эквивалентен градиенту температуры. Поведение слабоионизированной плазмы рассматривается в рамках гидродинамического опи­сания, предложенного в работе [3], которое отличается от общепринятого отсут - ствием теплопроводности. Показано, что в слабоионизированной плазме газового разряда не раскачивается неустойчивость, связанная с градиентом тепловой энер­гии электронов (дрейфово-температурная неустойчивость). В то же время неодно­родность электрического поля не оказывает существенного влияния на дрейфово­диссипативную неустойчивость.

1. В работах [*»2] было найдено, что наличие градиента температуры в слабоионизированной плазме, помещенной в однородное магнитное поле, приводит к развитию так называемой дрейфово-температурной неустойчивости. Рассмотрение проводилось в рамках обычной гидроди­намической модели, %так что состояние электронного компонента харак­теризовалось тремя параметрами—плотностью, скоростью и темпера­турой. Однако, как отмечено в[3], в реальном газовом разряде средняя скорость и энергия являются однозначными функциями электрического поля. В силу этого использование самих понятий электронная ско­рость и температура отнюдь не являются необходимыми, а состояние электронного компонента может быть охарактеризовано единственным параметром — плотностью. При этом гидродинамическая система урав­нений сводится к модифицированному уравнению непрерывности, кото­рое хорошо описывает состояния, медленно. меняющиеся в простран­стве и во времени, когда Т^^М/т)"1 и X (М/т)4* L, где (vM/m)-1 — приблизительно характерное время установления функции распределения по скоростям в каждой точке пространства и в заданный момент вре­мени в результате упругих соударений с нейтралами, v—частота со­ударений, М — масса нейтралов, т — масса электронов, X — длина сво­бодного пробега.

Рассмотрим ту же задачу, что и в[х*2], но для того чтобы при­близиться к условиям, существующим в реальном газовом разряде, примем гидродинамическую схему, введенную в[3]. Состояние электрон - ного компонента будем описывать следующим уравнением непрерыв­ности [3]

ТГ-£ (О. П) - £ (пЪ. Е) - £ V (» [ “■ Ej = 0. (1)

Здесь Ъв = [2 yjrz /Г (3/4)] (g/m.) (1/ЗЛГзрг) — подвижностЬ электрОнов; 0# = ^ ОуГ (3/4)) vt^Nz — коэффициент диффузии; ит = (V^/З~Щтп (е/т) EjNa)1!«;

-плотное^ нейтрального газа; d—сечение упругих соударений • ектронов с нейтралами (для простоты мы полагаем о (v) = const);

48

V = i/SNavx—среднее значение частоты соударений электронов с ней­тралами; Е = |Vcp|. Основное электрическое поле, поддерживающее газо­вый разряд, Е0 = —Vcp0 параллельно магнитному Магнитное поле счи­таем однородным. Используем декартову систему координат, ось oz которой направлена вдоль магнитного поля.

В соответствии с[3] уравнение (1) можно использовать как в случае газового разряда в постоянном электрическом поле Е (t) = const, так и в случае высокочастотного газового разряда, когда Е (t)=E0cosQt. Причем если 2<^v m/Д/, то в выражении для ит нужно положить Е = Е0 cos Qt |, и если Q^-vm/Л/, то Е ==(1/^2)£'0. Заметим также, что при Q^-v/71/Д/ из вектора Е в третьем слагаемом в (1) следует исключить высокочастотное электрическое поле.

В газовом разряде средняя кинетическая энергия ^ электронов опре­деляется электрическим полем, поэтому наличие градиента «темпера­туры» означает, что основное электрическое поле переменно в прост­ранстве. Дрейфово-температурная неустойчивость раскачивается, если градиенты температуры и плотности перпендикулярны магнитному полю и параллельны друг другу [1>2]. Поэтому в дальнейшем мы будем счи­тать, что п0 (г) == п0 (х), Е0 (г, t) = Е0 (х, t). (Ось ох параллельна градиен­там невозмущенных величин).

При рассмотрении колебаний дрейфовой природы можно использовать так называемое локальное квазиклассическое приближение (см., напри­мер, [1,2,4J). В ЭТОМ приближении возмущенные величины пг (п = п0 + yij), <Pi (<р = <р0 4. <рх) выбираются в виде плоских волн exp (—wt + ikr) (kf kj), зависимость невозмущенного состояния плазмы от координат учитывается параметрически.

2. Рассмотрим высокочастотный газовый разряд, поддерживаемый переменным электрическим полем Е — Е0 cos 21. Предположим сначала, что частота электрического поля мала (/n/Af)v^2, где v=l/Naur. Начнем наше рассмотрение со случая, когда (v<je—частота со­

Ударений ионов с нейтралами) и, следовательно, можно пренебречь инер­цией ионов. В нашем случае зависимость невозмущенного электриче­ского поля от времени в уравнениях (1) можно учитывать параметри­чески [3]

§ + (ОД - ik. b,E) п, = {U#y. + к] (Ь. Е)i + ik,± Хо) ?1п0, (2)

Где х0 == dInnjdx, D, = D0 cos Qt |V«f bt = b01 cos Qt |-V*. Штрихи здесь соответствуют Дифференцированию по электрическому полю, так что

=щ,1008 шг7’%n(°osQt)’ (bEY‘ = ж{ЬЕ) = ~щcos QtI"7'-

Уравнение (2) удобно представить в следующем виде

Д-£ + А01 °os Qt |V. п, = (Вд I cos Qt |-*/. + С0) п0?1, (3)

Где введены обозначения

A0 = №D„—ik,(bE0)Sga(cosQt), В0— iAJ^Sgn(cosQi)+A^-y,

Со = ikpx0 - jj-.

Обычно в газовом разряде средняя тепловая энергия ионов намного меньше тепловой энергии электронов, поэтому ионы можно считать холодными. Используя уравнение движения ионов и уравнение непре­рывности, без труда получаем

+ Ь^к'Еь cos Qt — —bjfnfa. (4)

0 4 Журнал технической физики. N» 1. 1971 г.

Разложим возмущения плотности и потенциала по гармоникам внеш - 00 00

„его поля п1 («) = 2 nit (г) cos (*2г). ?i (0 = 2 (t) cos (kQt), где харак-

П к=0 к=О

Терный интервал изменения п1к, у1к велик по сравнению с периодом электрического поля 1/2. Мы считаем, что частота высокочастотного поля намного превышает все характерные плазменные частоты.

Предположим, ЧТО П10^>п1к (при ЭТОМ и что все одного

Порядна. Это предположение подтвердится в дальнейшем. Сохранив члены одного порядка малости для нулевой гармоники п10я&п1У

Имеем из (4)

+ “o*JA>ni = (В01 cos Qt |J/> + C0) n„fv

(5)

Где коэффициент cz0 = <(| cos 2t |V*здесь скобки означают усреднение по времени. Исключая из системы (5) потенциал, приходим к уравне­нию первого порядка относительно возмущения плотности, решение ко­торого имеет вид

П (t) = пх (*0) ехр { —aJDkVbJc* (--------------- —--- з.-------- 1.

Iv/ ivo/ о-.,, ^ M* + *o|cosQtr* + CeJ

Из (6) следует, что рассматриваемые возмущения затухают. Нали­чие градиента электрического поля приводит лишь ’к параметрической зависимости декремента затухания от координат, но не к раскачке ко­лебаний. Разлагая интеграл в (6) в ряд Фурье, легко показать спра­ведливость сделанных выше допущений.

3. Рассмотрим теперь колебания с большей частотой 2#.

(2t. — циклотронная ионная частота), в динамике которых существенную роль играет инерция ионов. Из условия ш^-2^ следует, что ионы в колебаниях могут считаться незамагниченными. В этом случае из уравнения движения и уравнения непрерывности находим

TOC o "1-5" h z д*пл. ек2 Л

-^ + 1й-по'Рх=0- (')

Выражая из (7) возмущение электрического потенциала через воз­мущение плотности и подставляя в (3), получаем

__________ 1__________ , А ек2 • | соз Qt |Vl _л,«v

Dt*^~dt М J cos Qt Г^* + C0 1 0 M So 1 cos Qt I“*7* ■+■ C0 ' [)

Для удобства дальнейших вычислений мы поделили (3) на коэффи­циент перед второй производной.

Нетрудно показать, что длинноволновые колебания с к%Ь^>(с/Н)ку*0 для которых эффекты, связанные с неоднородностью, несу­щественны, затухают. Поэтому мы рассмотрим обратный предельный случай куК0(с/Н)^>к1Ь(С0^>В0). Разлагая в (7) знаменатель в ряд и Удерживая слагаемые первого порядка малости по отношению В0/С0, по­учаем

Г+|1^^(1-§1СО82<1-,л)+п^:^-'со82<1‘/,=0- (9)

00

Представим опять возмущение плотности пх в виде: 71^)= 2Лх*(0 . *=0 соз(А-2г) (см. раздел 2). Из (9) следует, что причем для

Находим

Д2п1 дщ. к^й1/. . .д ЪъкН . кЩ(

Ж 1Г1 к^У1 + 2к^-с) ~ Л11Яо к^ - и* <10>

Здесь Р0 = ^ | сов £2{ | >—*/*.

Из этого уравнения следует, что при выполнении условия (2Z)0xJ/602<)X X (с/Я) cz0/P0 1 неустойчивы колебания с частотой и> =—2<&2/&ух0- Если ввести эффективную температуру электронов (Z)0 = T/mv), то условие неустойчивости приобретает вид гдх0>т0, здесь гл — ларморов - ский радиус ионов, сосчитанный по электронной температуре; 70—чис­ленная константа порядка единицы. Таким образом, изучаемая нами не­устойчивость ничем существенным не отличается от ионнозвуковой неустойчивости, раскачка которой в неоднородной плазме имеет дрей­фово-диссипативный характер (см. [4]). Следовательно, и в случае высоко­частотных колебаний с ш vif|, Q{ наличие градиента внешнего электри­ческого поля не приводит к появлению специфической «температурной» неустойчивости.

Аналогичный результат нетрудно получить и в промежуточном ин­тервале частот 2, v<|§, в котором, как хорошо известно, рас­

Качиваются дрейфовые колебания [4].

Обсудим теперь вкратце иные возможности. Если частота высоко­частотного поля достаточно велика Q v (тп/М), то коэффициенты диф­фузии и подвижности в (1) перестают зависеть от времени. При этом уравнение (1) становится аналогичным исследованному в [4], где было показано, что в неоднородной слабоионизированной плазме в промежу­точной области частот v^>a>^>ve<j| раскачивается дрейфово-диссипатив­ная неустойчивость. Если разряд поддерживается постоянным электри­ческим полем, то возникает относительное движение компонентов слабо­ионизированной плазмы (электрический ток). В результате становятся неустойчивыми колебания с меньшими частотами Во всех

Этих случаях, так же как и в рассмотренных ранее, неоднородность внешнего электрического поля («температуры») приводит лишь к пара­метрической зависимости инкремента неустойчивости от координат. Причем неустойчивость связана с градиентом плотности и исчезает в однородной плазме (п0(х) = const).

4. Таким образом, мы нашли, что наличие в слабоионизированной плазме в магнитном поле градиента внешнего электрического поля (температуры), поддерживающего газовый разряд, не вызывает раскачки дрейфово-температурной неустойчивости. Этот результат связан с тем обстоятельством, что в газовом разряде тепловая энергия электронов однозначно определяется локальным значением электрического поля и не может переноситься электронами, т. е. теплопроводность отсутст­вует. Между тем для раскачки дрейфово-температурной неустойчивости существенно локальное накопление тепла вследствие теплопроводности.

Еще раз отметим, что полученные нами результаты относятся только к медленным колебаниям с частотой u><^v(m/3/), которые могут быть рассмотрены в рамках гидродинамического описания, предложен­ного в[3]. Если частота колебаний достаточно велика ш v (т/М), так

Что за период колебаний функция распределения электронов не успе­вает установиться, то в этом случае использованное здесь гидродина­мическое приближение становится неприменимым, и соответствующие возмущения могут оказаться неустойчивыми. Это по крайней мере справедливо для колебаний с a>^>v, когда соударения с нейтралами вообще несущественны и можно использовать результаты работы [в].

За обсуждение работы авторы благодарны Б. Б. Кадомцеву.