Циклотронная неустойчивость в плазме большой плотности
Д. В. ТИМОФЕЕВ
В настоящее время интенсивно исследуется возможность удержания термоядерной плазмы в адиабатических ловушках. В связи с этим в работах [1—41 рассматривалась циклотронная неустойчивость, вызываемая конусом потерь в функции распределения ионов по скоростям, при сравнительно большой шготности плазмы
П0 [21] 10“ с. к-3 « 103 при #0 * 10* з) *.
В этих работах отмечено, что среди неустойчивых циклотронных колебаний есть как сносо - вые, так и абсолютные. Предполагалось, что сносовые колебания должны поглощаться на торцах системы. Поэтому считалось, что в достаточно коротких системах такие колебания не приведут к большим потерям, так как они поглотятся на торцах прежде, чем успеют привести к распаду плазмы. В результате основное внимание уделялось изучению абсолютной неустойчивости. Рассмотрение проводилось численными методами, колебания считались потенциальными.
В настоящей работе проблема исследуется аналитически, что позволяет составить представление о физических процессах, приводящих к неустойчивости.
УДК 533.9.01
Классификация колебаний
Рассмотрим сначала плазму низкой плотности, колебания которой являются потенциаль ными. Дисперсионное уравнение потенциальных колебаний однородной плазмы имеет вид (см., например, работу [5])
|
Х/оу(^±; *ц) = 0. (1) |
Здесь возмущения потенциала взяты в виде g—ішг-f-ikr. ^ — плазменная и цикло
Тронная частоты частиц вида / (е, і) соответственно; значки «параллельно» и «перпендикулярно» отмечают направление по отношении» к магнитному полю; Jn — функция Бесселя индекса п. Функцию распределения ионов по скоростям выберем в виде
* / ч I/o / П11 3/2 пці*±
/оі (v± ^||) — а * 2xTi) 2Ті Х
А ер ( 2Ti 2aTi J. (-)
В соответствии с данными работы [61 примерно такое распределение устанавливается в адиабатических ловушках с пробочным отношением й « 2 - г 3 при большой плотности
|
Для таких колебаний из выражения (1) получаем Еяг1 (1 + г^я*^) + I М*Р< 1 — о ^ V к ) 2 1/2л (к±г1)3 Здесь использовано равенство ,к |
|
О =Ч (-^-)2 е-" [/„ (р) - /; (р)]р>>п! Да (ік)'_______ ^ V <•>< / 2 У 2лР* ’ |
|
*-(£) |
|
0> — П(Оі |
|
III |
|
Сти (Лф » 1014 ел“3) должно выполняться Т Равенство уг«0,1. Колебания с отрицательной энергией. В дальнейшем ограничимся колебаниями с частотой, близкой К циклотронной | СО — /10), | (0^ при Исследовании которых в выражении (1) можно оставить лишь п-е слагаемое. В этом разделе рассмотрим колебания с |
|
Плазмы, при этом а < 1. Будем считать, что электроны распределены по Максвеллу. Оценки показывают, что при рассматриваемой плотно |
|
Где 1/2 |
|
/2 Те 1/2 |
|
/2а Г, |
|
Допустимыми значениями к± ^ гГ1, Лиц ^ — Уе Рассматриваемые колебания раскачивают^ в результате поглощения энергии электрон;' ми, тепловая скорость которых равна фазово. скорости волны. Этот процесс достаточн интенсивен, если температура электронов н Слишком низка ^ ) /з^ . Естественно Что энергия неустойчивых колебаний должн. быть отрицательной [5]. Колебания с нулевой энергией. Для колеба Ний с большей длиной волны ^ Агц ^ из уран Нения (1) получаем Х (т) Ту&'Ц^”'0' ('’ При к1Г1 > /2/3 , Лц находил! и>1 / Шре |
|
Из По |
|
Выражения для у следует, порядку величины может |
|
(4) |
|
Где /? = г4 = С0"1 /2. Будем рассмат - Ривать короткие волны с > п1/2, так как только для таких колебаний выявляются эффекты, связанные с конусом ухода и приводящие к раскачке. Эта особенность отражена в интеграле (4), который, например, при л = 1 становится положительным, если р ^ 1,5. Напомним, что для равновесного максвелловского распределения соответствующий интеграл отрицателен при любых к±. I ® 7 При (^) > уг из выражения (3) находим |
|
К со,-. Если выполняется Шре То инкремент существенно превышает цикло тронную частоту [61. Рассматриваемым колебаниям естествен« < приписать нулевую энергию [51. Действительно при их раскачке колебательная энергия не мо няется, но лишь перераспределяется, переход} от ионов в энергию электрического ПОЛЯ И В КО лебательную энергию электронов. Само поня тие энергии колебаний определено лишь прі у і? ссо [71, т. е. в настоящем случае на грл нице области неустойчивости. Поскольку однако, физическая природа колебаний остает с я неизменной во всей области неустойчивости то использование этого понятия оправданно и более широком смысле. Ограничение на температуру электронов, при выполнении которог существуют рассматриваемые колебания, ян |
|
Что инкремені приближаться 0). Условие £- • |
|
(Орі |
|
(Оі |
 |
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
1 _ / _ 1 I (5) ляется довольно слабым: =£ (~^) V-11 V II е Колебания с положительной :шепгі |
Отсюда следует, что наибольший инкремент имеют колебания
Наименьшими
2/3
Колебания с положительной энергией. Р;н
Смотрим, наконец, колебания, для которы
Со—по)# ^ ^ а>1 г,
------ —• В этом случае из выра>ы
”\1 ие
|
Я СО І |
|
_р<‘ ПЬ); |
(1) получаем
Г - Шр1 ____ !—= 0 (7)
- ‘ V п «ч*,,»!,, * / 2 1/2л
Уравнение описывает замагниченные электронные ленгмюровские колебания с частотой
^ ш е!% & л<о4, раскачивающиеся за счет
И3луЧения резонансных ионов. Такая неустой-
Те / а'р|' те 2/5 чивость существует, если у-< (— • —) ,
"V/ Т1 1/2-^ ь - /“р!‘/5/т,1/5
При этом •^-(17) •
И ~ . Ее инкремент сравнительно мал:
-1- /.1
3/10
Характер неустойчивости (абсолютная или сносовая)
В неограниченной плазме одновременно раскачивается множество колебаний, образующих непрерывный спектр. Поэтому возмущение в фиксированной точке определяется интегралом (см., например, работу [8]):
Оо
Ф(0 = сопз1 ^ е“і<0<к>*. (8)
— оо
Если при і оо ф (Ї) неограниченно растет, то неустойчивость называется абсолютной, в обратном случае — сносовой. Росту возмущений препятствует интерференция колебаний с различными частотами или, иначе говоря, уход волновых пакетов из области первоначального волникновения. Для циклотронных колебаний характерны большие значения групповой скорости вдоль магнитного поля. Так, например, Для колебаний с отрицательной энергией Уц =
— » 1; для колеба-
VI
©рі 1/3 /т, 1/2
НИИ с нулевой энергией У|| « 3 (^)
УцП ^ „ ___ ____ І__ * 1
> 1 и для колебаний с поло-
/71 { 3/ю
*»"»ьн„й энергией
»1.
Двигаясь вдоль магнитного поля, возмущения выносятся на торцы, где характер колебаний может измениться. Ввиду этого наибольший интерес представляет исследование движения вдоль магнитного поля.
Интеграл (8) удобно вычислить по методу перевала. Очевидно, неустойчивость будет абсолютной, если найдется точка перевала
^11« (~7Г-1 » Для которой 1т со (кпЙ) >0*.
II '
Заметим, что не всякая точка, в которой - тг - = 0,
Ак\
Является точкой перевала для выражения (8). Это можно выяснить, если в плоскости комплексного А:,, построить линии равного инкремента.
При анализе колебаний с отрицательной энергией учтем тепловой разброс в распределении ионов по продольным скоростям и откажемся от упрощающего предположения т— <с 1 •
*11 У*
Тогда вместо выражения (5) получаем со—то/ 1 Те 1
©і
X
41 "е
В правой части уравнения (9) можно принять со - /ш, « леи, • • --7=^7 < со,. При
М у2л (к±г()
Помощи формулы (9) находим линии равного инкремента (см. рисунок). Эта картина должна быть отражена относительно мнимой оси. Область, в которой интеграл вероятности в выражении (9) становится быстро осциллирующей и большой по величине функцией, заштрихована. При Ат,, —^ 0 (121 = -,ю ->оо) асимп-
| К\ие I /
Тотики интеграла вероятности, как известно, имеют вид
' ^(1+Э+-)+ (10)
-^(1—sgnIш2)e-г2 (—
|
Т7х0'1' |
|
К±п Т <*„.) * о>( (-^-) ного значения a)i жсния (5). В заключение заметим, что если <С 1, которое было исполь- |
|
Кроме того, длина волны сносовых колебаний довольно велика (Хц « 102г4), поэтому для того чтобы отражение от торцов отсутствовало, система должна быть очень протяженной (Ь 10* г,). Таким образом, укорочение системы, по-видимому, не окажет стабилизирующего воздействия. Если магнитное поле неоднородно, то ситуация несколько изменяется. Действительно, частота неустойчивых колебаний с отрицательной энергией должна быть близка к п-й циклотронной. Между тем колебания, для которых условие циклотронного резонанса выполняется в центре ловушки, при движении к торцам могут выйти из резонанса. Такие колебания стабилизируются при поглощении энергин на торцах. Влияние конечной величины р = 8яп0Т1/Н2 на циклотронные колебания При исследуемых параметрах (п0 » 10й см~[23]. Ял 105 з, Г, « 102 кэв) отношение плазменного давления к давлению магнитного поля становится довольно большим (Р « 0,1). В этих условиях колебания перестают быть потенциальными. При этом, например, для колебаний с отрицательной энергией дисперсионное уравнение принимает следующий вид: Е —«йен (77) (1А) Здесь е определяется выражением (Н); — Формулой (1.1) Приложения; (1 — А || и ~ V |
|
Л-і/ве-іп/а х Г(^кГ-'- Пр" — |
|
1/3 |
|
1/3 , что 1± Т1 Напомним, |
|
Меньше максималь- |
|
Выра- 1/3 |
|
Получаемого из Те Ті |
|
Что |
|
То условие ——— * I 0) — ПО)/ Зовано в уравнении (9), выполняется только при а 1. При а « 1 необходимы точные расчеты без использования асимптотики для (О) — той | . Такие вычисления были проведены В работах [1,3]. Найденные значения кц, и у согласуются с приближенными значениями, полученными в настоящей работе. Остановимся теперь на вопросе о развитии неустойчивых колебаний в реальных ограниченных системах. Сносовые неустойчивости не будут страшны, если колебания вынесутся на торцы системы прежде, чем нарастут до больших амплитуд. При этом они должны поглощаться на торцах системы, не отражаясь. В работах [1—4] высказано мнение, что таким образом можно улучшить устойчивость плазмы по отношению к циклотронным колебаниям. Действительно, циклотронные колебания с наибольшим инкрементом являются сносовыми. Причем колебания с нулевой энергией, для которых у может приближаться по порядку величины к близки по своей природе к за - магниченным электронным ленгмюровским . В работе [6] отмечено, АС Что такие колебания при распространении по плазме с уменьшающейся плотностью будут Снижать свою фазовую скорость ~ ~л01/2) до тех пор, пока она не сравняется С тепловой скоростью электронов, после чего колебания должны поглотиться за счет затухания Ландау. Однако установлено, что при со ^ кцие энергия циклотронных колебаний становится отрицательной, и поэтому взаимодействие с резонансными электронами приводит не к затуханию колебаний, а к их раскачке. |
|
ІЛ. 2Т, |
|
Из рисунка следует, что непрерывной деформацией контур интегрирования можно сместить с действительной оси так, чтобы он про- |
|
Схема линий равного инкремента для уравнения (9); линии пронумерованы в порядке возрастания инкремента. |
 |
|
|
|
|
4- I Клт—) ^1. Второе слагаемое в уравне-
К\»е!
Нии (11), учитывающее непотенциальность, становится существенным при /г0 ^ 1012 см~3, а само это уравнение справедливо вплоть до по « Ю15 см~3. В области 1012 см~3 ^ по ^ ^ 1015 см~3 из выражения (11) имеем
Наконец, колебания с положительной энергией во всем интервале плотностей вплоть до Ло « 1015 см~3 остаются потенциальными.
Автор благодарен А. Б. Михайловскому за обсуждение работы.
|
А / 2У2л(А±г,)* 1 О) |
|
СО* • wpt |
|
Ш (ш — лсо,) * 4 У 2л (Aj^/)* ’ |
|
(ш - ЛШ|)2 4П у 2л (*хг,) |
|
Со (со — ЛСО/) ’ 2 У 2л (/Cj_r/)» ’ |
|
Со: |
|
(1.3) ; (1.4) ; (1.5) (1.6) |
|
СО |
|
(13) |
|
= 0. |
СО— ЛСО/
СО/
(12)
Г/ 2(А±г/)
Учитывая условия, при которых было получено это выражение (со/ > | со — лсо/ | ^ к\ив ^ лсо/, £ > 1), находим, что примерно до плотности Ло = 1013 см~3 максимальный
Инкремент не меняется ’ азатемУмень_
Шается (~ /го 1/2). Инкремент абсолютной неустойчивости при Ло > 1012 см~3 спадает (~л;Г3/4), и при По» 1013 см~3 эта неустойчивость исчезает.
Для колебаний с нулевой энергией непотенциальность становится существенной при щ ^ ^ 1014 см~3. Дисперсионное уравнение, описывающее колебания, имеет вид [24]
2 г (в)2
,_(£)* 1«Я?* + «i? (ей + «52)1
Здесь
Это уравнение удобно преобразовать:
ПРИЛОЖЕНИЕ
Приведем вонную часть тензора диэлектрической проницаемости для рассматриваемых колебаний <£ | со — лсо,-1 < со/, к^1 > 1 (этот тензор был получен при помощи данных работы [7]; функция распределения ионов бралась в виде выражения (2)):
>2pi
(1.1)
ЕХу - Еух ^ — i
Pi
ЕУУ ш(ш—лсо/) 2У2л(А^г/)’
А
*pi. *ii
— Ezy t
Р*
Е22
Со (со-жо,) 2 У 2л (Aj^-f) '
Поступила в Редакцию 17/VI 1970 г.
SHAPE \* MERGEFORMAT 
|
(14) |
|
(Opi Кё |
= 0.
2У2л (Ь±п)3
Его анализ показывает, что вплоть до ло « ^ 1015 см~3 максимальный инкремент не меняется по порядку величины, оставаясь сравнимым с со/; в этой области гГ1 '
J и, следовательно, ------- л’. При ло ^
_L
1015 см~3 инкремент падает как л"1.
