ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

Циклотронная неустойчивость в плазме большой плотности


Д. В. ТИМОФЕЕВ

В настоящее время интенсивно исследуется возможность удержания термоядерной плазмы в адиабатических ловушках. В связи с этим в работах [1—41 рассматривалась циклотрон­ная неустойчивость, вызываемая конусом потерь в функции распределения ионов по скоростям, при сравнительно большой шготности плазмы

П0 [21] 10“ с. к-3 « 103 при #0 * 10* з) *.

В этих работах отмечено, что среди неустойчи­вых циклотронных колебаний есть как сносо - вые, так и абсолютные. Предполагалось, что сносовые колебания должны поглощаться на торцах системы. Поэтому считалось, что в до­статочно коротких системах такие колебания не приведут к большим потерям, так как они поглотятся на торцах прежде, чем успеют при­вести к распаду плазмы. В результате основное внимание уделялось изучению абсолютной неустойчивости. Рассмотрение проводилось численными методами, колебания считались потенциальными.

В настоящей работе проблема исследуется аналитически, что позволяет составить пред­ставление о физических процессах, приводящих к неустойчивости.

УДК 533.9.01

Классификация колебаний

Рассмотрим сначала плазму низкой плотно­сти, колебания которой являются потенциаль ными. Дисперсионное уравнение потенциаль­ных колебаний однородной плазмы имеет вид (см., например, работу [5])

Циклотронная неустойчивость в плазме большой плотности

Х/оу(^±; *ц) = 0. (1)

Здесь возмущения потенциала взяты в виде g—ішг-f-ikr. ^ — плазменная и цикло­

Тронная частоты частиц вида / (е, і) соответст­венно; значки «параллельно» и «перпендикуляр­но» отмечают направление по отношении» к магнитному полю; Jn — функция Бесселя индекса п. Функцию распределения ионов по скоростям выберем в виде

* / ч I/o / П11 3/2 пці*±

/оі (v± ^||) — а * 2xTi) 2Ті Х

А ер ( 2Ti 2aTi J. (-)

В соответствии с данными работы [61 при­мерно такое распределение устанавливается в адиабатических ловушках с пробочным отно­шением й « 2 - г 3 при большой плотности

Для таких колебаний из выражения (1) полу­чаем

Еяг1 (1 + г^я*^) +

I М*Р< 1 — о

^ V к ) 2 1/2л (к±г1)3

Здесь использовано равенство

О

=Ч (-^-)2 е-" [/„ (р) - /; (р)]р>>п!

Да (ік)'_______ ^

V <•>< / 2 У 2лР* ’

*-(£)

0> — П(Оі

III

Сти (Лф » 1014 ел“3) должно выполняться Т

Равенство уг«0,1.

Колебания с отрицательной энергией. В даль­нейшем ограничимся колебаниями с частотой, близкой К циклотронной | СО — /10), | (0^ при

Исследовании которых в выражении (1) можно оставить лишь п-е слагаемое. В этом разделе рассмотрим колебания с

Плазмы, при этом а < 1. Будем считать, что электроны распределены по Максвеллу. Оценки показывают, что при рассматриваемой плотно­

Где 1/2

/2 Те 1/2

/2а Г,

Допустимыми значениями к± ^ гГ1, Лиц ^ —

Уе

Рассматриваемые колебания раскачивают^ в результате поглощения энергии электрон;' ми, тепловая скорость которых равна фазово. скорости волны. Этот процесс достаточн интенсивен, если температура электронов н

Слишком низка ^ ) /з^ . Естественно

Что энергия неустойчивых колебаний должн. быть отрицательной [5].

Колебания с нулевой энергией. Для колеба

Ний с большей длиной волны ^ Агц ^ из уран

Нения (1) получаем

Х (т) Ту&'Ц^”'0' ('’

При к1Г1 > /2/3 , Лц находил!

и>1 / Шре

Из

По

Выражения для у следует, порядку величины может

(4)

Где /? = г4 = С0"1 /2. Будем рассмат -

Ривать короткие волны с > п1/2, так как только для таких колебаний выявляются эффекты, связанные с конусом ухода и приво­дящие к раскачке. Эта особенность отражена в интеграле (4), который, например, при л = 1 становится положительным, если р ^ 1,5. Напомним, что для равновесного максвеллов­ского распределения соответствующий инте­грал отрицателен при любых к±.

I ® 7

При (^) > уг из выражения (3) находим

К со,-. Если выполняется

Шре

То инкремент существенно превышает цикло тронную частоту [61.

Рассматриваемым колебаниям естествен« < приписать нулевую энергию [51. Действительно при их раскачке колебательная энергия не мо няется, но лишь перераспределяется, переход} от ионов в энергию электрического ПОЛЯ И В КО лебательную энергию электронов. Само поня тие энергии колебаний определено лишь прі у і? ссо [71, т. е. в настоящем случае на грл нице области неустойчивости. Поскольку однако, физическая природа колебаний остает с я неизменной во всей области неустойчивости то использование этого понятия оправданно и более широком смысле. Ограничение на темпе­ратуру электронов, при выполнении которог существуют рассматриваемые колебания, ян

Что инкремені приближаться 0).

Условие £- •

(Орі

(Оі

Циклотронная неустойчивость в плазме большой плотности

(3)

 

,1/2

 

Циклотронная неустойчивость в плазме большой плотности

/?«і) «/ио»; — 0)1

 

З/2

 

2з/4ді/4

 

Циклотронная неустойчивость в плазме большой плотности

1 _ / _ 1 I (5) ляется довольно слабым: =£ (~^)

V-11 V II е Колебания с положительной :шепгі

подпись: 1 _ / _ 1 i (5) ляется довольно слабым: =£ (~^)
v-11 v ii е колебания с положительной :шепгі

Отсюда следует, что наибольший инкремент имеют колебания

Наименьшими

2/3

Колебания с положительной энергией. Р;н

Смотрим, наконец, колебания, для которы

Со—по)# ^ ^ а>1 г,

------ —• В этом случае из выра>ы

”\1 ие

Я СО І

подпись: я со і

_р<‘

ПЬ);

подпись: _р<‘
пь);

(1) получаем

[22]) (*) -

Г - Шр1 ____ !—= 0 (7)

- ‘ V п «ч*,,»!,, * / 2 1/2л

Уравнение описывает замагниченные элек­тронные ленгмюровские колебания с частотой

^ ш е!% & л<о4, раскачивающиеся за счет

И3луЧения резонансных ионов. Такая неустой-

Те / а'р|' те 2/5 чивость существует, если у-< (— • —) ,

"V/ Т1 1/2-^ ь - /“р!‘/5/т,1/5

При этом •^-(17) •

И ~ . Ее инкремент сравнительно мал:

-1- /.1

3/10

Характер неустойчивости (абсолютная или сносовая)

В неограниченной плазме одновременно раскачивается множество колебаний, образую­щих непрерывный спектр. Поэтому возмущение в фиксированной точке определяется интегра­лом (см., например, работу [8]):

Оо

Ф(0 = сопз1 ^ е“і<0<к>*. (8)

— оо

Если при і оо ф (Ї) неограниченно растет, то неустойчивость называется абсолютной, в обратном случае — сносовой. Росту возмуще­ний препятствует интерференция колебаний с различными частотами или, иначе говоря, уход волновых пакетов из области первоначаль­ного волникновения. Для циклотронных коле­баний характерны большие значения групповой скорости вдоль магнитного поля. Так, например, Для колебаний с отрицательной энергией Уц =

— » 1; для колеба-

VI

©рі 1/3 /т, 1/2

V,

НИИ с нулевой энергией У|| « 3 (^)

УцП ^ „ ___ ____ І__ * 1

> 1 и для колебаний с поло-

/71 { 3/ю

*»"»ьн„й энергией

»1.

Двигаясь вдоль магнитного поля, возмуще­ния выносятся на торцы, где характер колеба­ний может измениться. Ввиду этого наибольший интерес представляет исследование движения вдоль магнитного поля.

Интеграл (8) удобно вычислить по методу перевала. Очевидно, неустойчивость будет абсолютной, если найдется точка перевала

^11« (~7Г-1 » Для которой 1т со (кпЙ) >0*.

II '

Заметим, что не всякая точка, в которой - тг - = 0,

Ак\

Является точкой перевала для выражения (8). Это можно выяснить, если в плоскости комплексного А:,, построить линии равного инкремента.

При анализе колебаний с отрицательной энергией учтем тепловой разброс в распределе­нии ионов по продольным скоростям и отка­жемся от упрощающего предположения т— <с 1 •

*11 У*

Тогда вместо выражения (5) получаем со—то/ 1 Те 1

©і

X

(9)

41 "е

В правой части уравнения (9) можно принять со - /ш, « леи, • • --7=^7 < со,. При

М у2л (к±г()

Помощи формулы (9) находим линии равного инкремента (см. рисунок). Эта картина должна быть отражена относительно мнимой оси. Об­ласть, в которой интеграл вероятности в выра­жении (9) становится быстро осциллирующей и большой по величине функцией, заштрихо­вана. При Ат,, —^ 0 (121 = -,ю ->оо) асимп-

| К\ие I /

Тотики интеграла вероятности, как известно, имеют вид

( уЫ1+2*+-) И<аг*г<т):

' ^(1+Э+-)+ (10)

-^(1—sgnIш2)e-г2 (—

Т7х0'1'

К±п

Т <*„.) * о>( (-^-) ного значения a)i жсния (5).

В заключение заметим, что если

<С 1, которое было исполь-

Кроме того, длина волны сносовых колебаний довольно велика (Хц « 102г4), поэтому для того чтобы отражение от торцов отсутствовало, система должна быть очень протяженной (Ь 10* г,). Таким образом, укорочение системы, по-видимому, не окажет стабилизирующего воз­действия.

Если магнитное поле неоднородно, то ситуа­ция несколько изменяется. Действительно, частота неустойчивых колебаний с отрицатель­ной энергией должна быть близка к п-й цикло­тронной. Между тем колебания, для которых условие циклотронного резонанса выполняется в центре ловушки, при движении к торцам могут выйти из резонанса. Такие колебания стабилизируются при поглощении энергин на торцах.

Влияние конечной величины р = 8яп0Т1/Н2 на циклотронные колебания

При исследуемых параметрах (п0 » 10й см~[23]. Ял 105 з, Г, « 102 кэв) отношение плазменно­го давления к давлению магнитного поля ста­новится довольно большим (Р « 0,1). В этих условиях колебания перестают быть потенци­альными. При этом, например, для колебаний с отрицательной энергией дисперсионное урав­нение принимает следующий вид:

Е —«йен (77) (1А)

Здесь е определяется выражением (Н); —

Формулой (1.1) Приложения; (1 —

А || и ~ V

Л-і/ве-іп/а х

Г(^кГ-'- Пр" —

1/3

1/3

, что

Т1

Напомним,

Меньше максималь-

Выра-

1/3

Получаемого из Те

Ті

Что

То условие ———

* I 0) — ПО)/

Зовано в уравнении (9), выполняется только при а 1. При а « 1 необходимы точные расчеты без использования асимптотики для

(О) — той

| . Такие вычисления были проведены

В работах [1,3]. Найденные значения кц, и у согласуются с приближенными значениями, по­лученными в настоящей работе.

Остановимся теперь на вопросе о развитии неустойчивых колебаний в реальных ограни­ченных системах. Сносовые неустойчивости не будут страшны, если колебания вынесутся на торцы системы прежде, чем нарастут до боль­ших амплитуд. При этом они должны погло­щаться на торцах системы, не отражаясь. В ра­ботах [1—4] высказано мнение, что таким обра­зом можно улучшить устойчивость плазмы по отношению к циклотронным колебаниям. Действительно, циклотронные колебания с на­ибольшим инкрементом являются сносовыми. Причем колебания с нулевой энергией, для которых у может приближаться по порядку величины к близки по своей природе к за - магниченным электронным ленгмюровским

. В работе [6] отмечено,

АС

Что такие колебания при распространении по плазме с уменьшающейся плотностью будут

Снижать свою фазовую скорость ~

~л01/2) до тех пор, пока она не сравняется

С тепловой скоростью электронов, после чего колебания должны поглотиться за счет зату­хания Ландау. Однако установлено, что при со ^ кцие энергия циклотронных колебаний становится отрицательной, и поэтому взаимо­действие с резонансными электронами приводит не к затуханию колебаний, а к их раскачке.

ІЛ.

2Т,

Из рисунка следует, что непрерывной дефор­мацией контур интегрирования можно сме­стить с действительной оси так, чтобы он про-

Схема линий равного инкремента для уравне­ния (9); линии пронумерованы в порядке возра­стания инкремента.

Циклотронная неустойчивость в плазме большой плотности

К и

Колебаниям с со - о)ре —

 

273

 

4- I Клт—) ^1. Второе слагаемое в уравне-

К\»е!

Нии (11), учитывающее непотенциальность, ста­новится существенным при /г0 ^ 1012 см~3, а само это уравнение справедливо вплоть до по « Ю15 см~3. В области 1012 см~3 ^ по ^ ^ 1015 см~3 из выражения (11) имеем

Наконец, колебания с положительной энер­гией во всем интервале плотностей вплоть до Ло « 1015 см~3 остаются потенциальными.

Автор благодарен А. Б. Михайловскому за об­суждение работы.

А / 2У2л(А±г,)*

1 О)

СО* • wpt

Ш (ш — лсо,) * 4 У 2л (Aj^/)* ’

(ш - ЛШ|)2 4П у 2л (*хг,)

Со (со — ЛСО/) ’ 2 У 2л (/Cj_r/)» ’

подпись: со (со — лсо/) ’ 2 у 2л (/cj_r/)» ’

Со:

подпись: со:

(1.3) ; (1.4) ; (1.5) (1.6)

подпись: (1.3) ; (1.4) ; (1.5) (1.6)

СО

подпись: со

(13)

подпись: (13)

= 0.

подпись: = 0.

СО— ЛСО/

СО/

(12)

Г/ 2(А±г/)

Учитывая условия, при которых было получено это выражение (со/ > | со — лсо/ | ^ к\ив ^ лсо/, £ > 1), находим, что примерно до плотности Ло = 1013 см~3 максимальный

Инкремент не меняется ’ азатемУмень_

Шается (~ /го 1/2). Инкремент абсолютной не­устойчивости при Ло > 1012 см~3 спадает (~л;Г3/4), и при По» 1013 см~3 эта неустойчи­вость исчезает.

Для колебаний с нулевой энергией непотен­циальность становится существенной при щ ^ ^ 1014 см~3. Дисперсионное уравнение, описы­вающее колебания, имеет вид [24]

2 г (в)2

,_(£)* 1«Я?* + «i? (ей + «52)1

+(£Г

Здесь

Это уравнение удобно преобразовать:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приведем вонную часть тензора диэлектрической проницаемости для рассматриваемых колебаний <£ | со — лсо,-1 < со/, к^1 > 1 (этот тензор был получен при помощи данных работы [7]; функция распределе­ния ионов бралась в виде выражения (2)):

>2pi

(1.1)

ЕХу - Еух ^ — i

Pi

ЕУУ ш(ш—лсо/) 2У2л(А^г/)’

А

*pi. *ii

— Ezy t

Р*

Е22

Со (со-жо,) 2 У 2л (Aj^-f) '

Поступила в Редакцию 17/VI 1970 г.

SHAPE \* MERGEFORMAT Циклотронная неустойчивость в плазме большой плотности

(14)

подпись: (14)

(Opi

Кё

подпись: (opi
кё

= 0.

2У2л (Ь±п)3

Его анализ показывает, что вплоть до ло « ^ 1015 см~3 максимальный инкремент не ме­няется по порядку величины, оставаясь сравни­мым с со/; в этой области гГ1 '

J и, следовательно, ------- л’. При ло ^

_L

1015 см~3 инкремент падает как л"1.

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

О ДИСПЕРСИОННОМ СООТНОШЕНИИ КОЛЕБАНИЙ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЫ (Методическая заметка)

ОБРАЗОВАНИЕ ГОРЯЧИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ ПРИ ЭЦР НАГРЕВЕ С ПРОДОЛЬНЫМ ВВОДОМ СВЧ МОЩНОСТИ

Приведены результаты экспериментального изучения популяции го­рячих ллехтронов. образующейся при ЛДР нагреве плазмы в установке О ГР А-*. Разработана теоретическая модель, согласованным образом опи­сывающая динамику горячих электронов и распространение электромаг­нитных колебании …

О ВЧ СТАБИЛИЗАЦИИ ЖЕЛОБКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Взаимодействие низкочастотных желобковых колебании и высоко­частотных учитывается через изменение частоты и)вч при развитии же­лобковых возмущений. В силу постоянства адиабатического инвариан­та ВЧ колебаний И'вч/швч вариации (оВч вызывают изменения 1Увч. Учет этого …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.