Оптоэлектроника

Обеднение накачки при параметрических взаимодействиях

Во время нашего рассмотрения параметрического взаимодействия в главе 12 пред­полагалось, что эффективность преобразования между пучком накачки, с одной стороны, а также сигнальной и холостой волнами, с другой стороны, настолько
низка, что мы можем пренебречь любым ослаблением интенсивности пучка накач­ки (т. е. как предполагалось в разделе 12.3, Е(z) = Е0). В действительности же в настоящее время для некоторых ОРО-материалов реальным является уровень эф­фективности, превышающий 50%. Поскольку энергия должна сохраняться в про­цессе параметрического взаимодействия, возникновение нелинейных волн должно происходить за счет энергии пучка накачки. Однако точное описание ослабления интенсивности пучка накачки требует более точного учета параметрических взаи­модействий. Наиболее примечательным является то, что по мере рассмотрения материала этого раздела мы обнаруживаем первичную роль, которую играют в па­раметрических взаимодействиях относительные фазы различных волн. В главе 12 этот аспект проблем был априори недостижим из-за нашей начальной посылки упростить задачу за счет аппроксимации постоянного уровня пучка накачки.

Наше рассмотрение мы начнем со случая согласованного по фазе (Ак = 0) про­цесса генерации второй гармоники (со + со = 2со):

_а Dz

Й (12. В. 1а)

— А2„ = -кА1 dz

Как мы напоминаем, здесь: к есть параметр нелинейной связи, определяемый выражением:

2(0

П1П 2«

2 с

Для учета фазовых эффектов введем переменные:

А» = «iei6'

А2л = м2е‘в-’

После подстановки в (12.В.1) и приведения подобных членов мы приходим к сис­теме связанных дифференциальных уравнений:

— щ = ки{и2 sin (02 - 20,) d z

— и2= ки2{ sin(20, - 02)

Dz (12.B.3)

— в, = - ки2 cos(в2 -20,) dz

— в2 = - к —cos(20, - в2)

Dz И2

Эти уравнения могут быть существенно упрощены, если будут найдены их ин­варианты (или константы движения). Первый инвариант получается из комбина­ции первых двух уравнений (12.В. З), что дает:

U{(z)2 + w2fe)2 ~ul - const (12.B.4)

Это выражение есть ничто иное, как выражение закона сохранения энергии.

Второй инвариант получается делением уравнений по du./dz на уравнения по dO./dz и введением члена относительной фазы 0= 20, — 02, что дает:

D щ щ

Leo.»

D и2 и,

Эти два уравнения (12.В.5) могут быть скомбинированы с тем, чтобы получить одно уравнение:

W,2(z)w2(z)cos 0(0= «i2(0)w2(0)cos ^Ф)= г

Здесь Г есть константа, определяемая граничными условиями. Это последнее урав­нение показывает, каким образом в процессе нелинейного взаимодействия в крис­талле изменяется разность фаз между двумя волнами. Если предположить, что на­чальная амплитуда волны второй гармоники на входе нелинейного кристалла равна нулю (т. е., что амплитуда обратной связи равна нулю), то м2(0) = 0 и константа Г равна нулю. При z > О (12.В.6) удовлетворяется для ненулевой падающей волны, если только 9(z) = const = (2т + )л/2. В этом случае и0 в уравнении сохранения энергии есть амплитуда волны накачки на входе нелинейной среды, при этом урав­нение для амплитуды u2(z) принимает вид:

— и2 = к(и1 - и]) (12.В.7)

D Z

Уравнение (12.В.7) может быть легко проинтегрировано, что дает эволюцию амп­литуды в нелинейной среде:

SHAPE \* MERGEFORMAT

(12.В.80)

(12.В.86)

Длина преобразования частоты

Здесь: п~пш~ п2(о, /есть мощность падающего излучения, а Z0 — вакуумный импе­данс (377 Ом). Рисунок 12.В. 1 демонстрирует изменение нормированной интен­сивности (м,/м0)2 и (и2/и0)2 в функции нормированного расстояния z|&

Заметим, что после распространения на расстояние, примерно равное длине преобразования, 50% энергии волны накачки будет преобразовано в излучение вто­рой гармоники.

Рассмотрим кристалл с нелинейной восприимчивостью 10 пм В-1 коэффициентом преломления 1,5. Мощность падающей волны на длине волны Л = 1 мкм составляет 10 кВт в пределах площади 1 мм2. В этом случае уравнение (12.В.86) дает:

Или 1,5 см.

Рассмотрим теперь более общий случай, затрагивающий трехволновое парамет­рическое взаимодействие со3 = со{ + сог Исходя из (12.38) и обобщая предыдущую замену переменных (т. е. Ак = ик&вк),получаем следующую систему связанных нели­нейных уравнений:

С1 . а

---- их - КЩЩ 81П в

—

Щ = - кижьтв dz

Здесь фаза 0 определяется соотношением: 6= в3 — в2 — ву Отыскивая, как и преж­де, инварианты, мы легко находим:

Иг(гУ + щ(гУ = и,

И|(^)2 + «зОО2 = «13

«I (г)' +«2(г)' = «,2

Это является отражением закона сохранения энергии. Одновременно с этим получаем:

(12.В.11)

Последнее соотношение отражает сохранение фазы.

Теперь мы уже в состоянии приступить к обсуждению вопроса, который остави­ли в стороне в главе 12. А именно: если на входе нелинейного кристалла имеются три волны сог со2 и со3, то каким образом система решает, какую из следующих последо­вательностей следует реализовать: о)х + а)2 -» со3, со3 — о)х -» со2 или со3 — со2 —> со^. Ответ на этот вопрос дается относительными фазами различных волн. Говоря более точно, в этом случае будет проводиться отбор различных механизмов (генерация суммар­ной, разностной частот, параметрическое усиление) в соответствии с граничными условиями, определяемыми различными законами сохранения (12.В. 10) и (12.В. И).

Возьмем в качестве примера генерацию суммарной частоты (ЗРв), для которой два граничные условия имеют вид:

М,(0)= м,0 = м|3, и2(0)= м20 = и2}, и3(0)=0 и т. о. со50(г)=О (12.В.12)

В этом случае дифференциальное уравнение относительно и3 имеет вид:

С!£Л

<И =

^1-и^

Здесь: I — нормированное расстояние Z = ^ — длина преобразования для

Волны о)ху из есть нормированная амплитуда £/3 =м3/м20, а т есть соотношение пер­воначальных амплитуд т = (и20/и{0)2. Решение дифференциального уравнения (12.В. 13) может быть выражено с использованием (малоизвестной!) функции чис­ленного анализа, а именно — эллиптической функции Якоби, $я(£) (смотрите также дополнение 12.Е). В связи с тем, что математическая природа и значение этой функции не входит в круг вопросов, рассматриваемых в настоящей книге, для на­ших целей будет достаточно только отметить, что она протабулирована и приводит­ся в современных электронных справочных изданиях. В этом случае интеграл (12.В. 13) дается формулой:

С!*

Л/1 - X2 л/Г

Или:

«з(0 = «20 5П

15, «;„,

В этом случае решения, дающие амплитуды трех волн, имеют вид:

= «.о — «зо^п|

Эп (г, т)

Рис. 12.В.2. Измене­ние интенсивности накачивающей вол­ны (со] и со2) и волны суммарной частоты 0)ъ в функции норми­рованного расстоя­ния при соотноше - ниии интенсивности т = (и20/и10) равном 1/3.

2 з Нормированное расстояние

Представленный формализм точно описывает механизм энергетического обме­на между различными волнами и выявляет роль, которую играют относительные фазы. Рисунок 12.В.2 показывает, каким образом энергия волн накачки и со2 комбинируется с тем, чтобы сформировать волну суммарной частоты со3 вплоть до полного истощения неосновной волны а)2 когда начинается обратный процесс ре­конструкции волны а)2 за счет волн сох и соъ и т. д.