ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Вероятность у русского математика В. Я. Буняковского

В распространении теории вероятностей и возбужде­нии интереса к ней в России большую роль сыграл вы­дающийся русский математик В. Я. Буняковский (1804— 1889 гг.).

Одной из его первых работ, имеющих отношение к теории вероятностей, была статья «Мысли о неоснова­тельности некоторых понятий, относящихся к общежи­тию, преимущественно к лотереям и играм» (95]. Буня­ковский пишет: «Сколько можно насчитать полезных, даже важных истин, вовсе неизвестных людям..., сколько вопросов, давно решенных, и которые до сих пор не толь­ко считаются спорными, но даже иногда, вследствие закоренелых предрассудков, многими решаются совер­шенно превратно» (95, стр. 80]. В качестве примеров Бу­няковский приводит следующие: прививка оспы, увеличи­вающая среднюю продолжительность жизни; польза в организации страховых обществ; вред азартных игр и т. п.

Страховое дело, имевшее к тому времени уже боль­шую историю, не получило широкого распространения в России. Население питало к страхованию недоверие. Бу­няковский выступает против этого предрассудка.

В основном статья посвящена роли понятий нрав­ственной выгоды и нравственного ожидания. С помощью этих понятий он приходит к выводам: «Всякие игры... невыгодны даже при совершенной честности игроков. Всякая лотерея невыгодна для тех, которые берут биле­ты... Лучше имущество свое подвергать какой-либо опас­ности по частям, нежели в целости» [95, стр. 83].

На этой интересной статье мы больше останавливать­ся не будем, так как она в основном вошла в фундамен­тальную работу Буняковского «Основания математиче­ской теории вероятностей» [96].

Во введении к этой книге Буняковский указывает на трудности при ее написании, возникшие из-за отсутствия терминологии на русском языке.

«Предлагаемая ныне книга есть первое сочинение на русском языке, заключающее в себе подробное изложе­ние как математических начал теории вероятностей, так и важнейших ее приложений... Так как до сих пор у нас не было никакого отдельного сочинения, ни даже перево­да об Математической теории Вероятностей, то мне пред­стоял труд писать на русском языке о предмете, для ко­торого мы не имели установленных употреблением обо­ротов и выражений» [96, стр. II—III).

С этой работой Буняковский оправился блестяще. Введенная им терминология почти без изменений оста­лась до наших дней.

Буняковский указывает, что при написании своей кни­ги он широко пользовался работой Лапласа «Аналитиче­ская теория вероятностей».

Затем Буняковский переходит к некоторым общим методологическим вопросам. Он стоит на детерминисти­ческой позиции, полностью отвергающей возможность су­ществования случайного.

Приведя цитату из Лапласа о всемогущем уме, для которого как будущее, так и прошедшее было бы совер­шенно открыто, Буняковский дает следующее пояснение: «Если бы все данные, от которых событие зависит, были нам известны и если бы сверх того мы были одарены умом столько проницательным, что могли бы обнять и сообразить взаимные отношения всех этих данных, то безошибочно решили бы вопрос и могли предсказать по­явление или непоявление события» [93, стр. 2].

Высказывания Буняковского о предмете теории ве­роятностей довольно расплывчаты. Теорию вероятностей он относит к прикладной математике, а относительно ее общих задал пишет: «Анализ Вероятностей подвергает рассмотрению и численной оценке явления, зависящие от причин только совершенно не известных нам, но которые даже по нашему неведению не подлежат ника­ким предположениям» [96, стр. 1]. В другом месте «Прав­доподобие, при различных обстоятельствах, может быть более или менее значительным, и, следовательно, оно, как всякая математическая величина, подлежит измере­нию и допускает меру. Мера эта, в математическом смысле, называется вероятностью, а исчисление, зани­мающееся точным ее определением, — Анализом Ве­роятностей» [96, стр. 3].

После этого он говорит о нравственной достоверности. Здесь неясность и расплывчатость рассуждений вполне понятны, так как сам предмет (нравственная достовер­ность) никогда не имел четких границ. Буняковский пи­шет, что нравственная достоверность «обнаруживается в том случае, когда наш ум, признавая с полным внутрен­ним убеждением какой-либо факт, не может, однако же, утвердить бытие его неоспоримыми доводами... Для чело­века с умом здравым, истины, нравственно достоверные, должны иметь ту же силу, как и предложения, утверж­денные математическою достоверностью» [96, стр. 4].

После общего вступления Буняковский приступает к изложению самой теории вероятностей. Мера вероятно­сти определяется как отношение равновозможных слу­чаев. Причем равновозможными называются такие слу­чаи, «в существовании которых мы были бы, в строгом смысле, в одинаковой нерешимости» [96, стр. 4].

Следует отметить, что изложение материала в книге сопровождается большим количеством хорошо подобран­ных и разобранных задач и примеров.

Представляют интерес следующие две задачи. Первая задача: найти, сколько раз нужно бросить кость, чтобы вероятность появления определенного числа очков, на­пример, 6, равнялась данному числу, положим */2- Решая эту задачу, Буняковский приходит к правильному выводу: «При четырехкратном бросании кости должно считать более правдоподобным однократное вскрытие нумера 6, чем непоявление этого очка» [96, стр. 23].

Вторая задача: найти, сколько раз нужно бросить две кости, чтобы вероятность появления 6 на обеих ко­стях равнялась '/г- Найдя, что т — 24,6, Буняковский пишет: «При 24-кратном бросании двух костей, вскрытие двенадцати очков менее вероятно, чем противное событие, а при 25-кратном бросании, напротив того, вскрытие

12 очков делается более вероятным, чем невскрытие их» [96, стр. 24].

После этих задач Буняковский делает отступление, в котором говорит, что эти задачи Мере предложил Пас­калю, который и решил их. Мере возражал против реше­ния второй задачи, считая, что для получения вероятно­сти больше ¹І2 достаточно 24 бросаний, а не 25.

Далее Буняковский подробно рассматривает вопрос о наивероятнейшем количестве появлений данного события в серии испытаний. После этого он переходит к теореме Я- Бернулли. Относительно этой теоремы он пишет: «Ста­тистики... основывают почти все свои заключения на этом законе. Таковы результаты их о народонаселении вообще, о местном движении населения, о числе преступников, о плодородии почвы, о вывозе и ввозе товаров и проч. Есте­ствознание, медицина, судопроизводство, одним словом, все отрасли наших знаний, заимствуются этим началом, в большей или меньшей мере» [96, стр. 35].

Теорему Я. Бернулли Буняковский формулирует так: «При неопределенном повторении испытаний, из которых каждое приводит к одному из двух простых событий А или В, отношение между числами появлений этих собы­тий непрестанно приближается к отношению их простых вероятностей, и, наконец, при надлежащем числе испыта­ний, разнствует от него как угодно мало» [96, стр. 36].

Следующая глава — «О наивыгоднейших результатах наблюдений» — посвящена оценкам ошибок наблюдений. Буняковский пишет, что ошибки при наблюдениях неиз­бежны. Возникает вопрос, как же все-таки из наблюдений получить наиболее вероятный результат. Буняковский приходит к выводу, что «правдоподобнейший результат, при равновероятных погрешностях, определяется сред­нею арифметическою из всех наблюдений, когда число сих последних весьма значительно... Это правило спра­ведливо и в том случае, когда погрешности не предпола­гаются равновозможными, а подчинены, с некоторыми ограничениями, какому ни есть закону» [96, стр. 264].

Буняковский получает вывод, что случайные ошибки наблюдений распределяются по нормальному закону.

Заканчивается книга Буняковского кратким истори­ческим очерком развития теории вероятностей.

По полноте содержания и ясности изложения работа Буняковского была выдающимся произведением по тео­рии вероятностей не только в России, но и в мировой ли­тературе того времени. Однако, несмотря на несомненные достоинства книги, нельзя пройти мимо принципиальных ошибок, допущенных Буняковским, в первую очередь в приложениях теории вероятностей к свидетельским пока­заниям, правильности судейских решений и другим не­обоснованным применениям к вопросам общественной жизни, которые рассматриваются в главе XI — «Прило­жение анализа вероятностей к свидетельствам, преда­ниям, различного рода выборам между кандидатами и мнениями, и к судейским определениям по большинству голосов».

Эти приложения и взгляды неоднократно подверга­лись критике. В частности, на них останавливается А. А. Марков в своей книге: «Исчисление вероятностей». Он рассматривает следующую задачу из книги Буняков-

S10

ского: «Из полной русской азбуки выдернули шесть букв наудачу, которые, по мере вскрытия, ставили одну возле другой. Два очевидца утверждают, что вынутые буквы составили слово МОСКВА. Спрашивается, как велика ве­роятность, что показание двух свидетелей справедливо» [96, стр. 314]. При этом предполагается, что полная рус­ская азбука содержит 36 букв и что склонность свидете­лей к правде выражается дробью ⁹/ю. При решении этой задачи Буняковский делает ряд совершенно произвольных допущений. По поводу этой задачи и ее решения Марков пишет: «Приведенный пример, по нашему мнению, доста­точно выясняет неизбежность многих произвольных пред­положений при решении вопросов, подобных разобран­ному нами, которые по существу дела имеют весьма не­определенный характер. Рассмотренный вопрос примет еще более неопределенный характер, если допустим, что свидетели могут ошибаться и устраним независимость их показаний». После этого Марков делает следующие заме­чания. «Во-первых, если событие невозможно, то никакие свидетельские показания не могут сообщить ему даже малой вероятности... Мало вероятное событие не станет весьма вероятным от согласного показания таких свиде­телей, которые сговорились друг с другом, или имеют одинаковые не вполне точные сведения о предмете их показаний. Наконец, сообщение о событии может дохо­дить к нам не от очевидцев, а через последовательный ряд свидетелей, которые передают то, что они слышали от других. В этом случае удлинение цепи свидетелей, ко­нечно, затемняет совершившееся. Независимо от матема­тических формул, на которых мы не остановимся, не придавая им большого значения, ясно, что к рассказам о невероятных событиях, будто бы происшедших в давно минувшее время, следует относиться с крайним сомне­нием» [94, стр. 320].

Буняковский пытался оградить религиозные предания от различных нападок. Он писал: «Некоторые философы в видах предосудительных пытались применять формулы, относящиеся к ослаблению вероятности свидетельств и преданий к верованиям религиозным, и тем поколебать их. Для опровержения их выводов стоит только принять в соображение, что всякое следствие, выводимое из ана- литической.формулы, не может быть иным, чем как толь­ко развитием первоначального предположения, на кото- ром формула основана. Если предположение ложно, то и следствия анализа будут ошибочные. Поэтому прежде всего должно разобрать основательно предположение, служащее точкою исхода. Когда этот разбор приведет нас к заключению, что в духовном мире есть такие факты, которые не подчинены физическим законам, тогда все злонамеренные умствования лжефилософов рушатся сами» [96, стр. 326].

По поводу этого высказывания Марков пишет: «Мы никак не можем согласиться с Буняковским, что необхо­димо выделить известный класс рассказов, сомневаться в которых он считает предосудительным». И добавляет: «В данном случае мое разногласие с Буняковским выхо­дит уже из области математики и касается шаткой обла­сти желаний и личных интересов людей» [94, стр. 320].

Кроме своей основной работы по теории вероятностей, Буняковский написал еще ряд статей, которые относятся как к самой теории вероятностей, так и к ее приложе­ниям.

Он составил подробные таблицы для эмеритальных касс военных ведомств, чем содействовал их развитию

Ряд работ Буняковского относится к движению наро­донаселения, таблицам смертности и т. п.; он делает под­счеты о возможных контингентах армии в различные годы. Почти все работы Буняковского по вопросам, свя­занным с теорией вероятностей, выходили из конкретных задач, которые ставила практика. Интересна, например, по своей постановке работа .«О суммовании численных таблиц по приближению». Буняковский так определяет свою задачу: «Вопрос, излагаемый в этой статье, состоит в определении возможно простейшим образом прибли­женной суммы указаний численных таблиц, или, вообще, значительного числа слагаемых» [97, стр. 1].

Поставленная задача. сводится к следующей: Дано значительное число наудачу написанных слагаемых с лю­бым количеством цифр. Не производя сложения, а со­считав только число слагаемых и количество чисел раз­ных разрядов, определить: 1) наивероятнейшую или сред­нюю сумму данных для сложения чисел и 2) вероятность, что уклонение этой суммы от действительной заключается между данными пределами.

Эта статья Буняковского имеет непосредственное от­ношение к его счетному прибору — «русский самосчет», который был изготовлен в 1867 г. и рассмотрен физико- математическим отделением Академии наук. Самосчеты Буняковского были удобны для суммирования большого числа относительно маленьких слагаемых. Статья Буня­ковского показывает, что изобретению самосчетов пред­шествовал вероятностный анализ вопросов, связанных с суммированием большого количества слагаемых.

Таким образом, основные интересы Буняковского в теории вероятностей были направлены на ее приложения. Этому еще способствовало то, что с 1858 г. он стал глав­ным правительственным экспертом по статистике и стра­ховому делу. Наиболее крупной его работой этого перио­да является «Опыт о законах смертности и о распреде­лении православного народонаселения по возрастам» (1865 г.). В этой работе он предложил новый способ со­ставления таблиц смертности. К «Опыту» примыкает дру­гая работа — «Антропобиологические исследования и их приложения к мужскому населению России» (1873— 1874 гг.). В этой работе Буняковский определяет налич­ный состав мужского населения по возрастам, на основа­нии сопоставления метрических данных за предшествую­щие годы.

Любопытно, что Буняковский в одной из своих работ указывает на следующее возможное применение теории вероятностей. «Да позволено будет мне прибавить не­сколько слов о другом приложении анализа вероятностей, на которое, кажется, никто еще не указывал. Новое при­менение относится к грамматически и этимологическим исследованиям о каком-либо языке, также к сравнитель­ной филологии» [98, стр. 48].