ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX

Чебышев — создатель русской школы теории вероятностей

Труды М. В. Остроградского и В. Я. Буняковского спо­собствовали распространению математических знаний в России. Их работы возбудили интерес к математике, в том числе и к теории вероятностей, в первую очередь у молодежи. Это подготавливало необходимую почву для возникновения петербургской математической школы.

Создателем и идейным руководителем этой крупней­шей дореволюционной математической школы в России был П. Л. Чебышев (1821—1894). Чебышев, как и многие другие математики, испытал на себе влияние работ Остроградского и Буняковского.

Чебышев сыграл крупную роль в развитии многих разделов математики. Его исследования относятся к теории приближения функций многочленами, теории чисел, теории механизмов, теории вероятностей и мно­гим другим областям. В каждой из этих областей Чебы­шев создал ряд основных, общих методов; его идеи ока­зали решающее влияние на их дальнейшее развитие. Чебышев оставил яркий след в развитии математики не только своими собственными исследованиями, но и по­становкой соответствующих вопросов перед молодыми учеными.

Математическая школа, руководимая Чебышевым, имела первостепенное значение в развитии математики в России. Наиболее крупными представителями этой школы были А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, А. А; Мар­ков, Г. Ф. Вороной, А. М. Ляпунов, Д. А. Граве, В. А. Стеклов и др. Школа была объединена не только общностью решаемых проблем, обсуждением задач и по­становок вопросов, но и материалистическим подходом к науке вообще и к математике в частности. Такие уче­

ные, как Марков, Ляпунов, Стеклов и другие, известны как крупнейшие представители материализма в науке. Чебышев сумел оказать такое большое влияние на раз­витие науки благодаря материалистическому подходу к ее закономерностям.

Как мы видели, к середине XIX в. теория вероятно­стей в своем развитии зашла в некоторый тупик. Чебы­шев своим творчеством в теории вероятностей указал дальнейший путь ее развития, вдохнул новые идеи, ре­шил принципиально узловые задачи, привлек к теории вероятностей талантливейших математиков, поставив перед ними новые вопросы,— все это способствовало выходу теории вероятностей из тупика и ее последую­щему бурному развитию.

В беседе с А. В. Васильевым незадолго до своей кон­чины Чебышев высказал в полушутливой форме мысль о том, что математика пережила два периода. В пер­вом — задачи ставились богами (делосская задача об удвоении куба), во втором — полубогами (Паскаль, Ферма). В наступившем же третьем периоде задачи ставятся практической необходимостью. Чебышев был уверен, что чем труднее задача, тем плодотворнее методы ее решения и тем шире область их последующих примене­ний. Единство теории и практики было определяющим в математическом творчестве Чебышева. Свои взгляды по этому вопросу он отчетливо высказал в речи, написан­ной для торжественного акта в Петербургском универси­тете в 1856 г., которая называлась «Черчение географи­ческих карт». Чебышев писал: «Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание; в настоящее время они получили еще более интереса по влиянию своему на искусство и промышлен­ность. Сближение теории с практикой дает самые благо­приятные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика обнаруживает ясно непол­ноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы, существенна ярвые для науки и таким образом вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой мето­ды или от новых развитий ее, то она более приобре­тает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике» [101, стр. 249].

Чебышев стремился к строгому и эффективному реше­нию задач, к построению алгоритмов, которые позволяют доводить исследование до числового ответа, либо до при­годного приближенного решения. При этом строгость приближенного решения он понимал в смысле возмож­ности установления пределов погрешности. В своих ра­ботах Чебышев часто использовал сравнительно простые математические'средства. Он применял только функции действительного аргумента, широко использовал алгеб­ру и, в частности, аппарат непрерывных дробей.

Большую роль в создании математической школы сыграла педагогическая деятельность Чебышева в Пе­тербургском университете. Он был не только замечатель­ным лектором, но и замечательным руководителем. Не­посредственными учениками Чебышева были, в част­ности, А. М. Ляпунов и А. А. Марков. Их научная дея­тельность протекала под сильным воздействием Чебы­шева. Глубокую характеристику подхода Чебышева (и его школы) к математическим задачам дал А. М. Ля­пунов: «Чебышев и его последователи остаются постоянно на реальной почве, руководясь взглядом, что только те изыскания имеют цену, которые вызываются приложе­ниями (научными или практическими) и только те тео­рии действительно полезны, которые вытекают из рас­смотрения частных случаев.

Детальная разработка вопросов, особенно важных с точки зрения приложений и в то же время представляю­щих особенные теоретические трудности, требующие изобретения новых методов и восхождения к принципам науки, затем обобщение полученных выводов и создание этим путем более или менее общей теории — таково на­правление большинства работ П. Л. Чебышева и уче­ных, усвоивших его взгляды» [102, стр. 20].

При всем прогрессивном значении петербургской школы, ей была свойственна и некоторая ограничен­ность. Чебышев и многие его ученики часто холодно и скептически относились к некоторым важным направ­лениям западноевропейской математики.

За два столетия развития теории вероятностей глав­ными ее достижениями были предельные теоремы — за­кон больших чисел и теорема Муавра— Лапласа. Но обоснование предельных теорем было недостаточным. Не были выяснены границы их применимости и возможно­сти дальнейшего обобщения. В приложениях часто допус­кались принципиальные ошибки. Даже Лаплас и Пуас­сон не избежали этих ошибок. Эго в первую очередь от­носится к оценке вероятностей свидетельских показаний, правильности судейских решений и другим вопросам об­щественной жизни. Подобные необоснованные приложе­ния, опирающиеся на произвольные и неверные допуще­ния, сильно компрометировали саму теорию вероятно­стей. Б. В. Гнеденко характеризует этот период в теории вероятностей следующими словами: «Увлечение теорией вероятностей в первую четверть прошлого века, связан­ное с именами Лапласа и Пуассона, привело к огром­ному числу работ, посвященных приложениям к различ­ным проблемам естествознания и общественной жизни. Многие из них были настолько мало обоснованы, что впо­следствии воспринимались в качестве «математического скандала». В результате упомянутые увлечения смени­лись глубоким разочарованием и полным скептицизмом в отношении возможности использования теории вероят­ностей в качестве метода научного познания. Среди ма­тематиков Западной Европы приобрел господство взгляд на теорию вероятностей, как на своеобразное математи­ческое развлечение, едва ли заслуживающее серьезного внимания» [82, стр. 390].

В результате этого в теории вероятностей сложилась ситуация, когда дальнейшее ее развитие требовало уточ­нения основных положений. Нужно было установить об­ласть применения теории вероятностей, ее предмет, изу­чить и усилить специфические методы исследования. Большую работу в этом направлении проделал Чебышев.

Интерес к теории вероятностей у Чебышева был неиз­менным и устойчивым. Еще в начале своей творческой деятельности, в 1846 г., он защитил в Московском уни­верситете магистерскую диссертацию по работе «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». В связи с уходом из Петербургского университета Буняковского, Чебышев в 1866^+861 учебном году начал читать курс теории вероятностей. Чебышев читал много различных

8 Л. Е. Майстров

курсов, но два из них были для него наиболее излюблен­ные. Это теория чисел и теория вероятностей. За свою долголетнюю работу в университете он прочел каждый из этих курсов 31 раз.

Основное внимание в теории вероятностей Чебышев сосредоточил на предельных теоремах. По теории веро­ятностей им было опубликовано всего четыре работы, но они сыграли громадную роль в дальнейшем развитии этой науки. Первая работа — это его магистерская дис­сертация. Уже здесь появилась основная идея Чебышева: при доказательстве предельных теорем стремиться да­вать точные оценки приближений. Он не только доказал теорему Бернулли, но и дал соответствующие оценки получающихся приближений.

Задачу своей диссертации Чебышев формулирует следующим образом: «Показать без посредства транс­цендентного анализа основные теоремы исчисления вероятностей и главные приложения их, служащие опо­рою всем знаниям, основанным на наблюдениях и свиде­тельствах ... Решение этой задачи представляет, с одной стороны, важное развитие приемов алгебраического ана­лиза, с другой,— значительную пользу в распростране­нии знаний исчисления вероятностей между множеством людей, ограничивающихся в изучении математики одною алгеброю» [101, стр. 27]. И далее: «До сих пор элементар­ные курсы теории вероятностей ограничивались только изложением, более или менее подробным, результатов, полученных посредством высшего анализа. Дать возмож­ность поверить все эти заключения анализом строгим и простым, доступным для большей части учащихся, есть большой шаг в способе элементарного изложения теории вероятностей» [101, стр. 28].

Первую главу Чебышев начинает с введения понятия вероятности. Для этого он прежде всего определяет рав­новозможные события: «Если из определенного числа различных событий при известных обстоятельствах одно необходимо должно случиться и нет особенной причины ожидать какого-либо из этих событий преимущественно пред другими, то такие события отличаем названием случаев равновозможных» [101, стр. 28]. Нельзя сказать, чтобы это определение было достаточно четкое.

Если из п случаев т имеют следствием некоторое событие, то мерой вероятности этого события, которое

называют вероятным, принимают т/п, т. е. «отношение числа равновозможных случаев, благоприятных для со­бытия, к числу всех равновозможных случаев» {101, стр. 28].

Затем дается определение предмета теории вероятно­стей: «Наука о вероятностях, известная под именем тео­рии вероятностей, имеет предметом определение вероят­ности события по данной связи его с событиями, кото- дых вероятности известны» [101, стр. 29].

Из этого определения следует, что теория вероятно­стей — математическая наука, которая занимается полу­чением одних вероятностей по уже известным вероятно­стям. Чебышев не ставит вопроса о том, как получаются эти первые вероятности