ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Крупнейшие представители Петербургской школы

Ближайшим учеником и лучшим выразителем идей Че­бышева был А. А. Марков (1856—1922 гг.).

С. Н. Бернштейн пишет о нем: «Несомненно, самым ярким выразителем идей и направления Чебышева в тео­рии вероятностей был А. А. Марков, наиболее близкий своему учителю по характеру и остроте своего матема­тического дарования... Его оригинальные мемуары, явля­ющиеся образцами точности и ясности изложения, в наи­большей степени содействовали превращению теории ве­роятностей в одну из самых совершенных областей мате­матики и широкому распространению направления и ме­тодов Чебышева» [104, стр. 59—60].

Основные работы Маркова по теории вероятностей относятся к предельной теореме для сумм независимых величин, к предельным теоремам для зависимых величин, в том числе связанных в цепь.

Вопрос о предельной теореме для сумм независимых величин состоял в том, чтобы установить условия, для которых справедливо предельное соотношение

_л t _____

ИшP(S„<M(S„)+ tVD(Sj) = 4=r [ ^{е 2}**>

п-+оо                                                                у2п v

—ОО

где D (S„) — М [S„ — М (S„)]² —дисперсия суммы S_a.

Чебышев доказал это утверждение для определенного класса случайных величин. Для этого он применил метод моментов, но его доказательство предельной теоремы этим методом, как указывалось выше, имеет некоторые недо­статки.

Занимаясь вопросами, связанными с предельной тео­ремой, Марков с 1898 г. в течение ряда лет применяет* метод моментов Чебышева.

Первое доказательство предельной теоремы Марков изложил в 1898 г. в письмах к профессору Казанского университета А. В. Васильеву, выдержки из которых были опубликованы в том же году {173].

В письме от 23.Х 1898 г. Марков пишет: «Мемуар Че­бышева «О двух теоремах относительно вероятностей» имеет важное значение. К сожалению, это значение силь­но затемняется двумя обстоятельствами: 1) сложностью выводов, 2) недостаточною строгостью суждений» [108, стр. 233].

Далее он говорит, что давно имел желание упростить доказательство Чебышева и вместе с тем сделать вполне строгим анализ Чебышева.

После этого Марков приступает к доказательству пре­дельной теоремы, которую записывает следующим обра­зом: «Для начала беру теорему о математических ожида­ниях, которая составляет главное содержание мемуара «О двух теоремах относительно вероятностей».