ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Переписка Паскаля и Ферма

Переписка Б. Паскаля (1623—1662 гг.) и П. Ферма (1601—1665 гг.) была существенным шагом в развитии теории вероятностей. Эта переписка относится к 1654 г.; она была опубликована в 1679 г. в Тулузе. К сожалению, часть писем утеряна. В этой переписке они оба, хотя и не­сколько разными путями, приходят к верному решению

задачи о разделении ставки. Метод решения Паскаля ясен из письма к Ферма от 29 июня 1654 г.¹                |

«Вот примерно, что я делаю для определения стоимо­сти каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено в игру по 32 пистоли.

Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если ее выиграет первый, то он получает всю сумму в 64 пистоли, вложен­ную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь 2 выигранных партии, и, сле­довательно, если они намерены произвести раздел, каж­дый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоли.

Примите же во внимание, монсеньёр, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены риско­вать на эту партию и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: „я имею 32 пистоли верных, ибо в слу­чае проигрыша я их также получил бы, но остальные 32 пистоли могут быть получены либо мной, либо Вами. Слу­чайности равны. Разделим же эти 32 пистоли пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоли"» [18, № 1, стр. 144].

Первый должен получить 48 пистолей, а второй—16. В этом же письме далее разбирается другой случай. Пер­вый выиграл две партии, а второй не выиграл ни одной. Тогда, пишет Паскаль, первый заявляет: «если бы я вы­играл, то получил бы всю ставку в 64 пистоли; если бы я проиграл, мне причиталось бы законно 48; дайте поэтому 48, безусловно причитающихся мне даже в случае проиг­рыша, и разделим остаток в 16 поровну, потому что су­ществует столько же шансов на мой выигрыш этой пар­тии, сколько и на ваш». Таким образом, первый получит 48+8=56.

Далее читаем.

«Предположим, наконец, что первый выиграл только одну партию, второй не выиграл ни одной. Вы видите, монсеньёр, что если они сыграют еще одну партию и пер­вый ее выиграет, он будет иметь 2 выигрышных партии, и так же, как в предыдущем случае, ему следует 56 пи­столей; если он проиграет, у обоих окажется по одной выигрышной партии и первому следует получить 32 пи­столи. Тогда он может сказать: „если Вы не хотите иг-

¹ Перевод этого письма имеется в [18, № 1].

рать эту партию, дайте мне мой бесспорный выигрыш в 32 пистоли, и разделим остаток от 56 поровну. Вычитая 32 из 56, получим 24. Разделив 24 пополам, возьмем каж­дый по 12, что с 32 составит 44“» [18, № 1, стр. 144].

Паскаль делит ставку пропорционально вероятности выигрыша при продолжении игры. Метод решения Паска­ля оригинален, но его трудно применить к более сложным случаям.

Метод решения Ферма можно установить из письма Паскаля к Ферма от 24.VIII 1654 г. Письмо Ферма, в ко­тором он излагает свой способ решения, не сохранилось. Ферма решал следующую задачу. «Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает 2-х партий, а игроку В — 3-х партий. Если игра прервана, то как справедливо раз­делить ставку?».

Ферма рассуждает следующим образом. Игра может продолжаться максимально еще 4 партии. Как могут про­текать эти партии? Выигрыш партии для А будем обозна­чать знаком (+), а для В знаком (—).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

+ + + + - + + -+---------------------------------------------- + -

+ + + - + + - + -+--------------------------------------- +-------------

+ +----------- Н + - + +----------------------- h------------------------

+ - + + +-------------------------- + + + +------------------------------

Из 16 возможных исходов 11 (с 1 по 11) благоприятны для выигрыша игроком А всей встречи. Для выигрыша В имеется только 5 благоприятных исходов (с 12 по 16).

Следовательно, ставки должен получить А и

— — В. Как видим, Ферма предлагает разделить ставку 16

пропорционально вероятности выигрыша всей встречи (с нею и всей ставки).

Несмотря на правильность и остроумие, проявленное при решении этих задач, общего метода в то время еще выработано не было.

В 1653 г. Паскаль сообщил друзьям о своей рукописи «Арифметический треугольник». Она была опубликована только в 1665 г. посмертно под названием: «Трактат об арифметическом треугольнике» [40]. В этой работе име­ется изложение свойств и соотношений членов разностных рядов и биномиальных коэффициентов с необходимыми

доказательствами. Здесь же, й параграфе «Использование арифметического треугольника для определения партий, которые необходимо сделать между двумя игроками, ко­торые играют большое количество партий», он применил арифметический треугольник, впоследствии названный его именем, к решению различных задач, связанных с подсчетами шансов:

Здесь записаны коэффициенты разложения (а+Ь) ^п для п— 1, 2, ... и т. д. В первой строке записаны единицы, во второй строке — суммы чисел первой строки до запол­няемого места, в третьей строке — суммы чисел второй строки,' и т. д. Числа, расположенные ло диагонали, яв­ляются биноминальным коэффициентами.

Как мы видели, фактически такими числами пользова­лись уже Тарталья, Штифель и др.

У Паскаля числа таблицы (биномиальные коэффи­циенты) выступают как числа сочетаний из п элементов по k.

Если мы обозначим через г номер столбца, через k — но­мер строки, а символом (г)* — число, стоящее в г-м столбце и 6-й строке, то закон образования элементов таблицы Пас­каля запишется так: (г)* = (г)*_і + (г — 1)*, а каждое число (r)k равно (^г+^²). Паскаль записывает, как следствие, что во всяком арифметическом треугольнике числа, равноотстоя­щие от концов диагонали, равны, т. е. (r)_k = (k)_r. Паскаль отмечает совпадение чисел горизонтального и вертикального рядов с одинаковыми номерами: «Во всяком арифметическом треугольнике горизонтальный ряд и вертикальный ряд оди­накового номера составлены из ячеек, каждая из которых для одного из этих рядов равна соответствующей ячейке другого ряда» [40, стр. 247]. Из этого вытекает, что (г\ + (г)₂ 4- • • • • • + (^rk = (k\ + (6)_а + • • • + (k)_r.

Паскаль употребляет слово «сочетание» в современ­ном смысле в работе «Применение арифметического тре­угольника для сочетаний» [40].

В этой работе он, по существу, получает следующие соотношения:

Паскаль применяет арифметический треугольник к разложению натуральной степени бинома.

При помощи своего треугольника Паскаль решает в общем виде задачу о разделении ставки. Ее решение вы­глядит так. Вначале складывается количество недостаю­щих партий первому и второму игрокам. Затем берется та диагональ таблицы, в которой количество членов рав­но найденной сумме. При этом доля первого игрока в разделении ставки будет равна сумме членов найденной диагонали начиная от 1, причем количество слагаемых равно числу недостающих партий второму игроку, а доля второго игрока равна такой же сумме, только ко­личество слагаемых будет равно числу недостающих партий первому игроку.

Например, игроку А недостает 3 партии, а игроку В недостает 4 партии: 3+4 = 7. Выписываем диагональ, в которой находится 7 чисел. Это будет: 1, б, 15, 20, 15, 6, 1. Доля игрока А будет: 1+6+15+20 = 42; а доля В—1 + + 6+15=22. Следовательно, ставку нужно разделить в 42 21

отношении тт=гг • При таком решении ставка делится

СкСл 11

пропорционально вероятностям выиграть всю ставку для игроков А и В. Действительно, при продолжении игры может быть сыграно не более 6 партий.

Для А будет следующее число благоприятных исхо­дов:

1 + Cj + С* + С® =42,

где 1 — это один исход, когда ,все 6 последующих партий выиграет Л;

С б — 6 возможных исходов из 6 последующих партий, когда А выигрывает 5 партий;

СІ—15 возможных исходов из последующих партий.

когда А выигрывает 4 партии;

С®—20 возможных исходов из последующих партий, когда А выигрывает 3 партии.

Всех же исходов будет 2^е=64. Следовательно, вероят­ность того, что всю ставку получит А, равна — . Анало­гично получаем, что вероятность того, что всю ставку по­лучит В, равна — . Следовательно, всю ставку необхо- . 64

42 22        42       21

ДИМО делить в отношении 64 ^: 64 ⁼ 22 ⁼ if'

По .правилу Паскаля мы можем записать в общем ви­де, что если игроку А не хватает до выигрыша т партий, а игроку В — п партий, то ставка между ними должна быть разделена в отношении

Р(А) _

Р(В)

Таким образом, Паскаль дал два решения задачи о

разделении ставки: для частного случая и для общего [40, стр. 261].

Из письма Паскаля к Ферма от 27.Х 1>6'54 г. следует, что Паскаль считал свой метод решения задачи о разде­лении ставки отличным от метода Ферма. Паскаль писал: «Сударь, я очень доволен Вашим последним письмом; я любуюсь методом в отношении партий, тем более, что я его хорошо понимаю; он полностью Ваш, ничего обще­го не имеет с моим и легко приводит к той же самой цели. Вот и восстановлено наше единомыслие» [40, стр. 235].

Но при внимательном рассмотрении становится яс­ным, что методы Паскаля и Ферма, .по существу, тож­дественны. Различие состоит только в том, что Паскаль количество различных исходов при продолжении игры подсчитывал при помощи арифметического треугольника,
что, конечно, является более общей формой, и дает воз­можность решать задачи о разделении ставки при разном количестве оставшихся партий; Ферма же количество различных исходов подсчитывал непосредственно, выпи­сывая все исходы, что являлось более громоздким и ме­нее совершенным.

Хотя математики того времени много внимания уделя­ли задачам, связанным с азартными играми, сами игры они, как правило, осуждали. Азартные игры им были нужны как удобная и всем доступная схема, при помощи которой легко иллюстрировать те или иные вероятност­ные положения.