ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Легенда о де Мере

В 1654 г. между Паскалем и Ферма возникла переписка по поводу ряда задач, среди которых была и задача о разделе ставки. Многие авторы отводят решающую роль как в возникновении этой переписки, так и в возникно­вении самой теории вероятностей кавалеру де Мере. Приведем некоторые примеры.

«Спекуляция одного светского игрока, кавалеЬа Мере, в век Людовика XIV произвела вычисление вероятностей или, по крайней мере, направила в эту сторону ідей Па­скаля и Ферма» (36, стр. 249].

«Началом исчисления вероятностей служила Ьадача о разделе между игроками суммы денег, назначенных для выигрыша, в таком случае, когда они прекращают игру, не докончивши партии. Эта задача кавалером де Мере была предложена Паскалю» [37, стр. 5].

Со временем эти сведения начинают обрастать по­дробностями.

«Кавалер де Мере, страстный игрок, предложил од­нажды Паскалю долго мучавшую его задачу, по-видимо­му, имевшую для него и прикладное значение. Задача Мере заключается в следующем. Два игрока условились сыграть ряд партий. Выигравшим считается, кто первым выиграет S партий. Игра была прервана тогда, когда один из игроков выиграл а(а<5), а другой b(b<S) пар­тий. Спрашивается, как должна быть разделена ставка?» [38, стр. 342]. Здесь де Мере уже страстный игрок.

Наиболее подробно легенда о де Мере рассказана в третьем томе Детской энциклопедии в статье А. Я. Хинчи- на и А. М. Яглома «Наука о случайном» [39]. Эта история была приведена в журнале «Знание — сила» (1960 г., № 2) под названием «Рассказ о рыцаре де Мере».

Приведем этот рассказ с некоторыми сокращениями.

«Один французский рыцарь, кавалер де Мере, был страстным игроком в кости. Он всячески старался разбо­гатеть при помощи игры и для этого придумывал разные усложненные правила, которые, как ему казалось, приве­дут его к цели.

Де Мере придумал, в частности, такие правила игры. Он предлагал бросить одну кость четыре раза подряд и бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6, если же этого не случалось — ни разу не выпадало 6 очков, — то выигрывал его противник. Де Мере предпола­гал, что он будет чаще выигрывать, чем проигрывать, но все же обратился к своему знакомому, Б. Паскалю (1623—1662), с просьбой рассчитать, какова вероятность выигрыша в придуманной им игре.

Приведем расчет Паскаля.

При одном бросании вероятность выпадения 6 равня­ется */б, а вероятность невыпадения ⁵/б- Вероятность того,

что при четырехкратном бросании ни разу не выпадает 6, / 5\⁴ 625

чт) ⁼

тельно, вероятность выигрыша была больше половины. Значит, при каждой игре больше половины шансов было за то, что рыцарь выиграет; при многократном же повто­рении игры он почти наверное оказывался в выигрыше. Действительно, чем больше рыцарь играл, тем больше он выигрывал. Кавалер де Мере был очень доволен и ре­шил, что он открыл верный способ обогащения. Однако постепенно другим игрокам стало ясно, что эта игра для них невыгодна, и они перестали играть с де Мере. Надо было придумывать какие-то новые правила, и де Мере придумал новую игру. Он предложил бросать 2 кости 24 раза и бился об заклад, что сверху, хотя бы один раз, окажутся две пятерки. Но на этот раз рыцарь ошибся. Вероятность одновременного выпадения двух пятерок при бросании двух костей равна '/зв. Вероятность, того, что не выпадут две пятерки, равна ³⁵/з₆. Вероятность того, что при 24-кратном бросании двух костей ни разу

не выпадут две пятерки, равна (—V⁴]>—. Следователь-

\ 36 /        2

Де Мере (1607—1648 гг.) был философом и литерато­ром, довольно значительной фигурой при дворе і Людо­вика XIV.

Де Мере был знаком и состоял в переписке почти со всеми ведущими математиками своего времени, в (том чи­сле и с Паскалем (24].                                                                             |

В решении различных задач, которые в те времена были известны всем математикам, де Мере принимал ча­сто активное участие. Это дало ему возможность писать Паскалю в одном из писем: «Вы знаете, что я открыл ред­кие вещи, которые почтенные математики никогда не об­суждали. О моих открытиях писали Вы, Ферма и Гюй­генс, которые ими восхищались. Эта наука имеет много любопытных вещей, но которые мне кажутся не очень полезными».      *

Речь идет о теории вероятностей, однако де Мере не увидел «полезности» рассматриваемых вопросов, не су­мел их оценить, в то время как его современники, в част­ности Гюйгенс, давали уже глубокую оценку значимости теории вероятностей.

В письме к Ферма от 29.VI 1654 г. Паскаль писал: «Решение проблемы костей нашел де Мере, который дал эту задачу мне и Робервалю».

В другом письме Паскаль рассказывает более подроб­но: «Де Мере сказал, что если кто желает получить 6 при бросании одной кости, то он имеет преимущество начиная с 4 бросков и шансы преимущества есть 671 к 625. Если бросаются две кости, то получение двух шестерок ожида­ют с преимуществом начиная с 24 бросков».

Вероятность того, что 6 не появится ни одного раза . -           / 5 \⁴    625

при 4 бросках, равна I —j = —-; а вероятность, что

,                           ,         625          671

она появится хотя бы один раз: 1-----------

^к                 1296        1296^-

Если же бросают две кости, то вероятность того, что хотя бы один раз появятся две шестерки, будет более 7г начиная с 25 бросков, а не с 24, как думал де Мере.

Действительно: fej =0,509 —это вероятность непо­явления ни одного раза двух шестерок при 24 бросаниях, а появление хотя бы один раз будет: 1—0,509 = 0,491, что меньше У₂, а не больше, как думал де Мере. При 25 бро­сках вероятность непоявления двух шестерок ни одного раза pWa (³⁵/зе)⁴⁸=0,496, а вероятность Появления хотя бы один раз будет: 1—0,496 = 0,504>‘/2. Следовательно, в решаемой задаче де Мере допустил ошибку, считая, что 24 брорка достаточно для того, чтобы вероятность появ­ления двух шестерок хотя бы один раз была бы больше 7г- В действительности же эта вероятность будет больше V, начиная с 25 бросков. Разность полученных вероят­ностей будет: 0,509—0,496 = 0,013; 0,504—0,491=0,013. От­личие полученных вероятностей от Уг не превышает 0,009. В процессе игры эти небольшие различия в вероятностях обнаружить нельзя. Де Мере ошибся в теоретическом расчете. В чем состоит ошибка де Мере, видно из его письма к Паскалю.

«Если в одном случае есть один шанс из #о в единст­венной попытке и в другом случае один шанс из #ь тогда отношение соответствующих чисел есть #<>:#!. Таким об­разом, >ц : M>=«i: #1» [24].

Пользуясь этой пропорцией, де Мере нашел, что если п₀—4, W₀=6, #і=36, то /її=24.

Де Мере считал свою пропорцию точной. Эту же зада­чу впоследствии решал Муавр в своей книге «Учение о случае» (1716 г.); он приводит соответствующую форму­лу: п=1п 2-#=0,69#. По этой формуле для нашего случая получим п=0,69 *36=24,84»25. Эта формула для боль­ших п дает хорошие результаты, но, конечно, она прибли­женная. Муавр применил ее к лондонской лотерее, где был один шанс из 32 получить выигрыш: п = 0,69-32 = = 22,08. А в действительности (³7зг)^22,134 > V2, а (³Уз2)²²-'³⁵ < 7«, т. е. п = 22,135.

Таким образом, мы видим, что де Мере обратился к Паскалю не с вопросом, возникшим из опыта азартных игр, а с чисто теоретическим вопросом. И конечно не во­просы де Мере положили начало теории вероятностей.