ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Роль Гюйгенса в теории вероятностей

В 1655 г. X. Гюйгенс (1629—1695 гг.) в Париже позна­комился со многими видными учеными. На него произвел глубокое впечатление рассказ Милона и Роберваля о но­вых вопросах, разрабатываемых Паскалем и Ферма; ему сообщили и о задаче о справедливом разделении ставки. Не установив, как решались подобные задачи, Гюйгенс, после возвращения в Голландию в конце 1655 г., само­стоятельно занялся их исследованием. Результатом этого исследования явилась работа «О расчете в азартных иг­рах», помещенная в виде приложения на латинском язы­ке к книге «Математические этюды» Франца ван Схоуте- на, вышедшей в 1657 г.

Хотя работа Гюйгенса и была опубликована уже пос­ле переписки Паскаля и Ферма, но эта переписка не мог­ла оказать влияния на книгу Гюйгенса, так как письма Паскаля и Ферма были изданы лишь в 1679 г. В этой ра­боте вместо предисловия напечатано письмо Гюйгенса Схоутену от 27.IV 1657 г., где он пишет: «Во всяком слу­чае, я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глу­бокой теории» {41, стр. 58]^а.

В этом же письме Гюйгенс объясняет историю напи­сания этой книги.

«Затем нужно знать, что в течение известного времени некоторые из наиболее знаменитых математиков всей Франции занимались этого рода расчетами, чтобы никто мне не приписывал чести первого открытия, которая мне не принадлежит. Но эти ученые, подвергнув друг друга испытанию, предлагая взаимно к разрешению много трудных задач, скрывали свои методы, и я должен был сам рассмотреть и углубить весь этот вопрос начиная с основ, и мне невозможно, по только что упомянутым мною причинам, утверждать, что мы исходили из одного и того же основного принципа. Но что касается результа­тов, то я констатировал в большом числе случаев, что мои решения совершенно не отличаются от их решений» [41, стр. 58].

Эта книга выдержала ряд изданий и считалась образ­цовой вплоть до начала XVIII в.

Вся книга состоит из небольшого введения и 14 пред­ложений.

Предложение 1: «Если я имею равные шансы получе­ния а или Ь, то это мне стоит (а+Ь)/2» [41, стр. 62].

Предложение 2: «Если я имею равные шансы на полу­чение а, Ъ или с, то это мне стоит столько же, как если бы я имел (а+Ь + с)/3» [41, стр. 64].

В предложении 3 Гюйгенс пишет: «Если число слу­чаев, в которых получается сумма а, равно р и число слу­чаев, в которых получается сумма Ь, равно q и все случаи могут получиться одинаково легко, то стоимость моего ожидания равна (pa+qb)/(p+q)» [41, стр. 66]. Это, по существу, есть определение математического ожидания для дискретных случайных величин. В дальнейшем Гюй­генс довольно широко употребляет это понятие.

В предложении 4 разбирается задача о разделении ставки.

«Предположим, что я играю против другого лица на то, кто первым выиграет 3 партии, и что я уже выиграл 2 партии, а он 1. Я хочу знать, какая часть ставки причи­тается мне в случае, когда мы хотим прервать игру и справедливо разделить ставки... Нужно заметить снача­ла, что достаточно принять во внимание число партий, недостающих той и другой стороне. Так как верно, что если бы мы играли на то, кто первым выиграет 20 пар­
тий, и если бы я выиграл 19 партий, а мой противник 18, то я имел бы такое самое преимущество, как и в изложен­ном случае, где при 3 партиях я выиграл 2, а он только 1, и это потому, что в обоих случаях мне недостает только одной партии, а ему двух. Затем, чтобы вычислить часть, причитающуюся каждому из нас, нужно обратить внима­ние на то, что произошло бы, если бы мы продолжали игру. Верно, что если бы я выиграл первую партию, то я закончил бы игру, и таким образом получил бы полно­стью сумму ставки, которую я обозначу а. Но если пер­вую партию выигрывает мой противник, то наши шансы отныне станут равными, принимая во внимание, что каж­дому из нас будет недоставать по одной партии; значит,

каждый из нас имел бы право на —а. Очевидно, что я имею столько же шансов выиграть первую партию, как и проиграть ее. Значит, я имею равные шансы получить а

и -а, что, согласно первому предложению, эквивалент- 2

3

но сумме половин, т. е. - а, так что моему противнику

остается -- а» [41, стр. 68].

4

Мы привели почти полностью четвертое предложение, так как принцип решения других задач на разделение ставки такой же. Решение их мы не будем приводить, а сформулируем только условия и дадим ответы.

1. Мне недостает одной партии, а моему противнику трех

партий. Как разделить справедливо ставку? ^ответ: -^-а и

8

2. Мне недостает одной партии, а моему противнику четы-

15 і \ ответ: —а и — ам.

3. Мне недостает двух партий, а моему противнику трех

( ответ: —а и —а ].

I 16                         16 у

4. Мне недостает двух партий, а моему противнику четы-

(            13            3 \

рех ответ: —а и —а 1.

V           16            16 у

5. Трое игроков. Первому и второму недостает по одной

партии, а третьему — двух партий ответ: — а, —а, —а).

у                       9                9                9 У

После подробного решения этих задач Гюйгенс дает в девятом предложении следующий совет.

«Чтобы вычислить часть ставки, причитающейся каж­дому игроку при каком угодно их числе и условии, что каждому из них недостает определенного числа партий, нужно сначала принять во внимание, что будет причи­таться интересующему нас игроку, если он сам или кто- либо другой из игроков выиграет очередную партию. Эти части нужно сложить вместе и полученную сумму разде­лить на число игроков, что укажет искомую часть... Сле­дует вначале исследовать наиболее простые случаи и потом с их помощью рассматривать следующие. Согласно этому способу можно вычислить все случаи, которые при­ведены в таблице, и бесконечное число других случаев» [41, стр. 74].

Далее следует упомянутая таблица.

Число не- 1.1.2     1.2.2    1.1.3  1.2.3     1.1.4     1.1.5          1.2.4         1.2.5

достающих партий

лицы указывает, сколько партий недостает для выигрыша всей ставки каждому из трех партнере®. Например, 1. 1. 2 означает, что первому партнеру недостает одной партии, вто­рому— одной и третьему — двух. Вся таблица составлена для трех партнеров. Нижняя строка дает ответы в долях

ставки. Например, запись - означает, что каждый из

9

партнеров должен получить соответственно —, ставки.

Гюйгенс правильно решил задачу о справедливом раз­делении ставки. Он исходил из положения, что ставку нужно делить пропорционально вероятностям выигрыша всей ставки при продолжении игры.

Эта книга Гюйгенса до появления работы Я. Бернул­ли была по существу единственным руководством по теории вероятностей. Она имела широкое распростране­
ние и оказала существенное влияние на многих, кто за­нимался вопросами теории вероятностей.

Гюйгенс фактически впервые вводит понятие матема­тического ожидания и использует его. Математическое ожидание является обобщением понятия средней арифме­тической. Средняя арифметическая широко применялась в торговле и промышленности для определения средних цен, средней прибыли и т. п.

С развитием торговли и промышленности большое значение приобрели различные денежные операции. В Голландии раньше, чем во многих странах, получил развитие торгово-промышленный и банковский учет. «Голландия, где колониальная система впервые получи­ла полное развитие, уже в 1648 г. достигла высшей точки своего торгового могущества» [2]. В любой форме учета среднеарифметическое встречается очень часто. Именно отсюда этот метод пришел в науку. Маркс указывает, что коммерческая спекуляция «в своем исчислении вероят­ностей исходит как из средних цен, которые берутся как центр колебаний, так и из средне-высоких и средне-низ­ких цен, или колебаний цен вверх или вниз от этого центра» [42, стр. 47].

Терминология Гюйгенса в теории вероятностей несет на себе отпечаток коммерческой терминологии. Он счи­тает, что математическое ожидание — это цена шанса на выигрыш в безобидной игре и приходит к выводу, что справедливая цена — есть средняя цена. Он вычисляет «за какую справедливую цену я мог бы уступить свое место в игре другому». Сам Гюйгенс не называет мате­матическое ожидание ожиданием, оно у него фигурирует как стоимость шанса. Впервые термин «ожидание» появ­ляется в переводе ван Схоутена.

Гюйгенс при решении задач не применял комбинато­рики, поэтому решения получались громоздкими. Его приемы почти непригодны при решении задач в общем виде. У Гюйгенса таких решений и нет.

В конце своей книги Гюйгенс предлагает пять задач для читателей. Решения этих задач он опубликовал че­рез 8 лет, в 1665 г., без объяснений, только с математи­ческими выкладками.

Вот эти задачи.

1. А и В играют двумя костями на следующих усло­виях. А выигрывает, если он выбросит 6 очков, В выигрывает, если выбросит 7 очков. Первым бросает один раз А, затем В бросает дважды, затем А бросает два раза и т. д., пока кто-нибудь не выиграет. В каком отношении шансы А относятся к шансам В? Ответ: как 10355 к 12 276.
2. Трое игроков А, В и С берут 12 фишек, из которых 4 белых и 8 черных, и играют на таких условиях: первый, вытянувший вслепую белую фишку, побеждает. А тянет фишку первым, В — вторым и потом С, затем опять А и т. д. Вопрос: в каком отношении находятся шансы од­ного против других?
3. А держит пари против В, что из 40 карт (по 10 оди­наковой масти) он выберет 4 такие, что каждая будет различной масти. Здесь величина шансов А против В определяется как 1000 к 8139.
4. Имеем, как во второй задаче, 12 фишек, из ко­торых 4 белых, 8 — черных. А держит пари против В, что в выборе 7 фишек вслепую он будет иметь 3 белых. Спрашивается, в каком отношении стоят шансы А про­тив В?
5. А я В, каждый имеющий по 12 монет, играют с тремя костями на условиях: если А выбросит 11 очков, он должен дать В одну монету, но если он выбросит 14, тогда В должен дать одну монету Л. Тот игрок выигры­вает, который первым получит все монеты. Здесь шансы А относятся к шансам В как 244 140625 к 282429 536481.

В конце своей книги Гюйгенс пишет, что он не дает решения этих задач потому, что было бы слишком труд­но «надлежаще изложить рассуждения, приводящие к ответам». Кроме того, он считает, что это хорошие уп­ражнения для читателей. После этих слов стоит дата окончания книги: «Гаага, 27 апреля, 1657 г.»

Решением этих задач занимались многие математики XVII в.

В 1687 г., через 10 лет после смерти Спинозы, в Гааге на голландском языке была издана работа: I часть — «Исследования о радуге», II часть — «Заметки о матема­тической вероятности» (всего 20 стр.). Эта работа была переиздана в 1884 г. голландским математиком Бирнс де Ханом с сопроводительной статьей «Две работы Бене­дикта Спинозы», в которой авторство работы он приписы­вает Спинозе. После этого Гебхардтом было произведено детальное исследование авторства Спинозы. В конце это­

го исследования он заявляет: «no-видимому, почти не возникает сомнения об авторстве Спинозы».

В 1953 г. были изданы «Заметки о математической ве­роятности» на английском языке [155].

В этой работе приводятся пять задач из работы Гюй­генса «О расчетах в азартных играх» и дается решение первой из них.

Прежде чем решить первую задачу Гюйгенса, Спино­за решает другую задачу, которую он считает более про­стой. «В н А играют один против другого двумя костями на условиях ,что В выигрывает, если он выбросит 7 очков, и А, если он выбросит 6 очков, что каждый имеет два броска один после другого и что В бросает первым.

Их шансы:

в А
14256 8375

22631

Спиноза эту задачу решает следующим образом. а — общая ставка в игре. Пусть шансы А перед нача­лом игры стоят х. Тогда шансы В будут стоить а—х.

«Каждый раз, когда В начинает бросать, шансы А должны быть опять х, но каждый раз, когда к А возвра­щается очередь бросать, его шансы возрастают».

В бросает первым. 7 он может получить шестью путям из 36, т. е. с вероятностью — при одном броске, а вероят-

6

Вероятность не

получить 7 при двукратном бросании будет

вероятность получить по крайней мере один раз 7 равна 1 __25 _ 11_

36     36'

свое мнение о книге Дж. Граунта, опубликованной в 1662 г. Книга Граунта посвящена различным вопросам, связанным со статистикой населения. В своем ответе от 9.VI. 1662 г. Гюйгенс восторженно отозвался о трактате Граунта.

На основании работы Граунта Гюйгенс в 1669 г. по­строил кривую смертности и правильно определил поня­тия средней и вероятной продолжительности жизни. Гюйгенс впервые сознательно применил методы теории вероятностей к демографической статистике.

В 1671 г. к Гюйгенсу обратился с рядом вопросов бур,- гомистр Амстердама математик ван Гудде (1628— 1704 гг.), который принимал участие в работе, проводи­мой Виттом по исчислению пожизненных рент. В своем ответе от З.Х 1671 г. Гюйгенс одобрил проводимую Вит­том работу.

Таким образом, в XVII в. уже правильно решались довольно разнообразные задачи по теории вероятностей. Математики владели целым рядом важных понятий и те­орем. Были известны теоремы сложения и умножения ве­роятностей, которые широко применялись при решении задач. Само понятие вероятности стало приобретать все более осязаемое содержание. В науку было введено под названием справедливая цена шанса одно из важных по­нятий теории вероятностей — математическое ожидание. Теория вероятностей в этот период была тесно связана с другим разделом математики — с комбинаторикой. Тео­рия вероятностей начала применяться в статистике, в физике и астрономии.

Теория вероятностей как математическая дисциплина в этот период только создавалась. Решались отдельные задачи, но они были уже объединены общей вероятно­стной проблематикой. В этот период интерес к новой науке все время возрастал.

Следует отметить, что в историко-математической ли­тературе преувеличивается роль Паскаля и Ферма в соз­дании теории вероятностей. В результате происходит другая, на наш взгляд, более существенная ошибка: твор­честву Гюйгенса отводится второстепенное значение, его

роль в развитии теории вероятностей принижается. Но следует помнить, что Гюйгенс написал первую книгу по теории вероятностей, в которой, в частности, ввел поня­тие математического ожидания. Его книга оказала боль­шое влияние на многих ученых. Я. Бернулли, положив­ший начало новому периоду в развитии теории вероятно­стей, высоко оценивал работу Гюйгенса и отдавал долж­ное его влиянию.

В заключение раздела о Гюйгенсе заметим, что его собрание сочинений, содержащее 22 тома, издавалось с 1888 г. по 1950 г. Работа «О расчете в азартных играх» вошла в 14-й том (издан в 1920 г.), где голландский ори­гинал сопровождается французским переводом. Здесь же приведены девять приложений, написанных Гюйгенсом в разные годы, последнее в 1688 г., что указывает на по­стоянный интерес Гюйгенса к вопросам теории вероят­ностей.

На латинский язык работа Гюйгенса была переведена Схоу- теном. В 1660 г. она была издана на голландском языке — языке оригинала.

⁸ В XIV томе сочинений Гюйгенса, на который мы ссылаемся, приведен голландский оригинал и его французский перевод.

36*

х 25 ’ ^У 25 '

Для выигрыша.® одном бросании А имеет 5 путей из 35, т. е.

Я. Витт (1625—1672) — фактический правитель Голландии

с 1650 г.— написал, одну из первых работ по применению теории ве­роятностей к теории ренты.

Л. Е. Майстров