ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Необходимость аксиоматики

К началу XX в. теория вероятностей, с одной стороны, получила блестящее развитие в трудах ученых русской школы и нашла глубокие применения в физике. С дру­гой стороны, в этот же период появляются совершенно необоснованные приложения теории вероятностей.

Отдельные математики стали использовать теорию ве­роятностей в политических целях. Особенно в этом отли­чился П. А. Некрасов (1853—1924 гг.). С 1893 г. Некра­сов— ректор Московского университета, вскоре он на­значается попечителем Московского учебного округа, а затем — членом ученого совета Министерства народного просвещения.

В своих многочисленных работах Некрасов стоял на идеалистических позициях. Для характеристики Некрасо­ва приведем только некоторые примеры. Он утверждает, что «раб чувствует стационарную зависимость от госпо­дина» (117, стр. 19], преступник — от суда и полиции и т. п., и меру этой зависимости может дать теория вероят­ностей. «Теория вероятностей может дать числовую меру как стационарных, так и нестационарных влияний зави­симостей» [117, стр. 21].

В 1896 г. Некрасов издает «Теорию вероятностей», которая является изложением его лекций в Московском университете и Межевом институте. В 1912 г. эта книга выходит вторым изданием, существенно дополненным.

При чтении этой книги поражает обилие бессвязных наукообразных фраз, хотя они часто относятся к основ­ным принципиальным понятиям и понятиям теории ве­роятностей.

т

Приведем пример: «Теория вероятностей есть врож­денная категорическая функция, мысленно предвосхи­щающая сменные явления природы и многообразно со­гласуется с функциями души и тела. Роль вероятностей, т. е. условных и безусловных достоверностей, по вопросам жизни познавательная и многосторонне посредническая, междусубъективная в регулировании течений блага, строящая систему посредствующих, ограждающих и искупающих запасов, залогов, божков для умного вы­пуска явлений против многообразных типических „огне­вых" народных бедствий и устанавливающая исчисле­нием, измерением, формулами и словом или иными зна­ками и графиками критерии средства и соотношение или связь интеграцию, интерполяцию между составны­ми частями, секциями и самостоятельными органами жи­вого Всего (Целого) и их функциями» [119, стр. III].

Такого типа высказываний у Некрасова о теории ве­роятностей и ее основных понятий много не только в ци­тируемой выше книге (см., например, [118]).

Говоря о социальных проблемах, Некрасов резко вы­ступает против политических преобразований, в которых участвует народ. Он считает, что высшим принципом является частная собственность, которую призван охра­нять царский режим.

Некрасов пишет о том, что человек науки обязатель­но приходит к вере в бога, что должен наступить наибо­лее тесный союз бога и человека. Он уделяет внимание толкованию положений священного писания и т. п. Все это излагается в книге «Теория вероятностей» причем Не­красов свои высказывания «подкрепляет» и «выводит» из законов теории вероятностей, прибегая часто, для боль­шей убедительности, к сложным математическим выклад­кам.

В 1915 г. Некрасов как член Совета министерства на­родного просвещения создал комиссию для введения эле­ментов теории вероятностей в программу средних школ. По проекту этой программы предполагалось использо­вать теорию вероятностей для воспитания в духе послу­шания царю, восхваления порядков самодержавия и т. п.

После того, как А. А. Марков узнал о создании подоб­ной комиссии, по его инициативе в Академии наук была создана другая комиссия в составе Д. К. Бобылева, А. Н. Крылова, А. М. Ляпунова, А. А. Маркова и

В. А. Стеклова. Комиссия приняла по этому вопросу ре­шение, в котором, в частности, говорилось: «Взгляды Некрасова давно известны математикам, но пока они на­ходили место в специальных математических журналах, их можно было считать безвредными. Дело меняется, когда распространителем их является официальный ор­ган. Поэтому Академия наук обязана высказать свое суждение об основных ошибках и неправильных, а пото­му вредных, идеях, распространяемых П. А. Некрасовым с целью проведения их в обиход средней школы... Комис­сия полагает, что вышеупомянутые заблуждения и ... зло­употребление . математикой с предвзятой целью превра­тить науку в орудие религиозного и политического воз­действия... принесут неисправимый вред делу просвеще­ния» [120, стр. 178].

Получив такой отпор, Некрасов решил обвинить А. А. Маркова в пропаганде материализма. Он писал: «Для суждения о том, что действительно непригодными для подготовления учителей средней школы являются не инкриминируемые мне идеи, а идеи А. А. Маркова, предложу вниманию читателя руководство А. А. Маркова „Исчисление вероятностей⁴⁴» [121, стр. 12]. Далее Некра­сов ссылается на приведенную выше цитату из книги Маркова, в которой последний не соглашается с Буня- ковским относительно существования известного класса рассказов, сомневаться в которых, даже если они кажут­ся невероятными, предосудительно. После этого Некра­сов заявляет:

«Разрушая приведенные выше основоположения ака­демика Буняковского, Марков тем самым облегчает на­саждение основоположений исторического материализ­ма... Лучшего, чем книга Маркова, руководства не тре­буется для систематической пропаганды крайнего беспоч­венного материализма... Ныне мне остается апеллировать к миру ученых и педагогов, прося обсудить, кто из нас превращает чистую науку в орудие воздействия вредного относительно здравости гражданского и религиозного культа, коим подрастающие поколения воспитываются» [121, стр. 16].

В этой развернувшейся борьбе нас интересует не столь­ко позиция реакционера Некрасова, которой свои лже­научные выводы прикрывал ссылками на теорию вероят­ностей, сколько прогрессивная, материалистическая по-

зиция А. А. Маркова. В этой борьбе раскрылся благородный образ ученого-материалиста *.

Потребность в пересмотре логических основ теории вероятностей, закрепление за ней права настоящей мате­матической дисциплины чувствовалось все сильнее.

В связи с тем, что не было ясности в вопросе о пред­мете теории вероятностей, даже такой крупный матема­тик, как Э. Борель (1871—1956 гг.), не избежал увлече­ния совершенно необоснованными ее применениями, рас­пространяя ее на такие области, которые не имеют отношения к математической дисциплине.

В 1914 г. вышла его очень интересная книга «Случай», которая в 1923 г. была переведена на русский язык. В этой книге рассматривается очень много важных вопро­сов. После подробного обсуждения основных законов теории вероятностей с глубокими историческими и фило­софскими отступлениями Борель говорит о проникнове­нии вероятностных методов в физику, биологию и другие науки, о связи теории вероятностей с другими раздела­ми математики. Несмотря на неоспоримые положитель­ные качества этой книги, мы должны отметить, что в ряде принципиальных вопросов теории вероятностей он стоял на ошибочных позициях.

Например: «Представим себе тысячу парижан, про­ходящих мимо семиэтажной недвижимости; они все со­гласятся назвать это домом; между тем как они откажут в таком названии каменной постройке, могущей служить приютом двум кроликам и трем курицам. Возьмем те­перь среднюю постройку; тут мнения могут разделиться; если 748 из 1000 подающих голос выскажутся за назва­ние данного здания домом, то будет правильно утверж­дать, что вероятность, чтобы здание было домом, равна 0,748, а противоположная вероятность — 0,252»                [125,

стр. 88].

Такое произвольное толкование вероятности могло возникнуть только в результате неотчетливости и неочер­ченное™ этого понятия.

Борель привлекает теорию вероятностей к социаль­ным, моральным и другим подобным вопросам: «Можно ли идти дальше и построить на основе теории вероят-

¹ О борьбе А. А. Маркова за материализм в науке против вся­ких идеалистических извращений, а также о его активной поддерж­ке всего передового в культурной жизни России см. [122—124].

10 Л. Е. Майстров ностей настоящую индивидуальную и социальную мо­раль? Самое возвышенное правило морали, когда-либо предлагавшееся людям, казалось бы, заключается в еван­гельской заповеди: „люби ближнего, как самого себя"» [125, стр. 168—169]. Далее он обсуждает эту евангельскую заповедь и приходит к выводу: «Единственное разумное толкование, которое можно дать евангельскому изрече­нию, следующее: рассматривай каждого твоего ближнего, как величину эквивалентную во всяком случае не тебе самому, а какой-нибудь части тебя, заключающейся меж­ду нулем и единицей, но никогда не достигающей нижне­го предела нуля и иногда достигающей верхнего предела единицы. Не думаю, чтобы такую формулировку можно было назвать эгоистической; если хорошенько понять ее значение,, то становится ясным, что она, напротив, явля­ется самым широким и самым полным выражением ра­зумного альтруизма. Различные степени альтруизма и эгоизма проявляются при определении коэффициентов: скольким лицам каждый из нас припишет коэффициент 1, скольким коэффициент 0,9, коэффициент 0,5 ..., ко­эффициент 0,00001, 0,000001. Я не стану входить в обсуж­дение этих величин; которое входит в компетенцию прак­тической морали; существенно то, что эти коэффициенты не должны равняться нулю, и это положение можно при­нять за основу теоретической морали. При установлении этого факта и при изучении его последствий теория веро­ятностей появляется на каждом шагу» [125, стр. 169— 170].

Сейчас никто из изучающих теорию вероятностей, даже в самом элементарном объеме, не может принимать серьезно такие высказывания.

Мы привели эти цитаты не для того, чтобы создать впечатление, что вся книга Бореля состоит из подобных выражений. Повторяем, это очень интересная и полезная книга. Но даже такой математик, как Борель, довольно расплывчато представлял себе предмет и метод теории вероятностей. Борель понимал, что теорию вероятностей необходимо усовершенствовать. Он писал: «Применение к точным наукам усовершенствует теорию вероятностей» [125, стр. VI].

Интересно отметить, что другая его книга «Вероят­ность и достоверность», написанная в 1950 г. [177], затра­гивает многие принципиальные и важные вопросы тео-

рии вероятностей, но не содержит никаких необоснован­ных применений, так как в это время теория вероятностей уже была полноправной математической дисциплиной.

Нечеткость, непонимание и путаница относительно ве­роятностных и статистических методов существовали довольно долго. Приведем еще один пример. В предисло­вии к русскому переводу книги Бореля редактор перево­да В. А. Костицин писал: «Успехи физики и астрономии выдвинули статистический метод на первое место в совре­менном естествознании» [125, стр. VIII]. И далее: «Поле гипотез относительно молекулярного мира все более су­жается, и недалек тот день, когда строение атома и меж- дуатомные силы нам будут хорошо известны. Тогда снова вступит в свои права здоровый научный детерминизм, а статистические естественные законы будут лишь времен­ным этапом нашего познания» [125, стр. X].

Мы видим, что этот прогноз не сбылся, статистические законы проникают во все более широкие сферы совре­менного естествознания, и это определяется не уровнем наших знаний, а структурой явлений, которые изучаются естествознанием.

Непосредственным предшественником создания аксио­матики в теории вероятностей был А. Пуанкаре (1854— 1912 гг.)—крупнейший математик и известный физик конца XIX и начала XX в. Ему принадлежат замечатель­ные работы по дифференциальным уравнениям, инте­гральным уравнениям, по алгебре, по теории чисел, гео­метрии, по теории электричества, теплоты, по теории волн Герца, по кинетической теории газов и т. д. Среди всех этих вопросов, вопросы теории вероятностей зани­мают довольно скромное место.

Пуанкаре принадлежит ряд книг и статей философ­ского характера, в которых он иногда затрагивает и философские, методологические вопросы теории вероят­ностей. Креме того, он написал книгу «Исчисление веро­ятностей», изданную в 1912 г. [127].

В своих философских работах Пуанкаре стоял на по­зициях идеализма и махизма. В. И. Ленин в «Материа­лизме и эмпириокритицизме» дал справедливую критику философских взглядов Пуанкаре, назвав его француз­ским махистом, а его гносеологические выводы — идеа­листическими (см. [113]). Философские взгляды Пуанка­
ре неоднократно подвергались критике в нашей литера­туре. Однако это не должно умалить его специальных ра­бот по физике и математике. Пуанкаре был крупнейшим ученым. В. И. Ленин называет его известным француз­ским физиком.

Книга Пуанкаре «Исчисление вероятностей» являет­ся одной из строгих и интересных книг по теории вероят­ностей начала нашего столетия. Мы остановимся на неко­торых общих положениях этой книги.

Он определяет случайное событие с позиций детерми­низма. «Очень малая, ускользающая от нас причина оп­ределяет значительный результат, который мы не можем не видеть; если- это происходит, мы приписываем резуль­тат случаю.

Если бы мы точно знали законы природы и положе­ние вселенной в момент ее возникновения, то мы могли бы точно предсказать положение этой вселенной в после­дующий момент». И далее: «Может случиться, что не­большие различия в первоначальных условиях порожда­ют значительные различия в конечных явлениях: малень­кая ошибка относительно первых может породить громадную ошибку относительно вторых. Предсказание становится невозможным, и мы имеем случайное явле­ние» [127, стр. 4—5].

Пуанкаре рассматривает ряд примеров случайных со­бытий. 1) Неустойчивое равновесие конуса, поставленно­го на вершину. Нам не известно, в какую сторону упадет конус. 2) Метеорологические явления. Мы не можем предсказать точно, где зародится' циклон. «Здесь мы вновь находим тот же контраст между весьма малой при­чиной, не поддающейся оценке наблюдателя, и весьма значительными результатами, которые иногда представ­ляют собой опустошительные бедствия» [127, стр. 6].

• Распределение малых планет между зодиакальными созвездиями. «Весьма небольшие первоначальные раз­личия между их расстояниями от Солнца, или что сво­дится к тому же, между их средними движениями, в кон­це концов дали громадные различия между их современ­ными долготами ... Малая причина и большой результат; или лучше малые различия в причине и большие разли­чия в результате» [127, стр. 6]. 4) Игра в рулетку.

Во всех этих примерах случайные события рассматри­ваются как события, у которых очень малые различия в

первоначальных условиях приводят к ощутимым разли­чиям в результатах. Кроме таких случайных событий, Пуанкаре рассматривает события, случайный результат которых объясняется сложностью и большим количест­вом причин. К такому типу случайных событий он отно­сит различные события, взятые из кинетической теории газов, а также случайное распределение дождевых ка­пель на какой-нибудь поверхности, распределение взве­шенных крупинок в сосуде с жидкостью, распределение карт в колоде, в результате хорошей тасовки, случайные ошибки в наблюдениях и т. п. «Здесь опять мы имеем ма­лые причины, но каждая из них порождает малый резуль­тат; их результат становится страшным, в силу их соеди­нения и их большого числа» [127, стр. 10].

Пуанкаре рассматривает еще третий тип случайных явлений, который, как он сам считает, сводится к первым двум типам. Он рассматривает следующий пример: кро­вельщик роняет черепицу, которая убивает проходящего мимо человека. «Человек не думает о кровельщике и кро­вельщик о человеке, они представляются принадлежащи­ми к двум совершенно чуждым друг другу мирам. И, од­нако, кровельщик роняет черепицу, которая убивает че­ловека, и никто не поколеблется сказать, что это случай.

Наша слабость не позволяет нам обнять целиком всю вселенную и заставляет нас разделять ее на части. Мы пытаемся делать это, насколько возможно менее искус­ственно, и тем не менее время от времени происходит, что зїи части влияют друг на друга. Результаты этого взаимного действия представляются нам тогда вызванны­ми случаем... Всякий раз, когда два мира, совершенно чуждые друг другу, приходят во взаимодействие, законы этой реакции могут быть только очень сложными, и, с другой стороны, было бы достаточно Весьма малого из­менения в первоначальных условиях этих двух миров, чтобы эта реакция не имела места. Нужно было очень немного, чтобы человек прошел секундой позже, или что­бы кровельщик уронил свою черепицу секундой раньше» [127, стр. 11].

Далее Пуанкаре ставит вопрос: почему случай подчи­няется закону? Он возвращается к примеру с рулеткой. Игла рулетки остановится в том или ином секторе в за­висимости от получаемого импульса. Вероятность того, что импульс будет заключен между а и а 4-е, равна вероятности, что он заключен между а + е и а+2е, при достаточно малых є. «Это свойство всех аналитических функций. Малые изменения функции пропорциональны изменениям аргумента» [127, стр. 12]. Пуанкаре считает, что случай подчинен закону, потому что распределение случайностей носит характер непрерывности. Но, с дру­гой стороны, объясняя, почему в природе существует не­прерывность, он говорит, что сама непрерывность опре­деляется взаимодействием множества случайностей. «В беге... истории действовали разные сложные причины и действовали долго: они способствовали смеси элемен­тов и стремились сделать все однообразным, по крайней мере в небольших пространствах; они сглаживали углы, сравнивали горы, заполняли долы. Какая бы ни встрети­лась им капризная и неправильная кривая, какая только возможна была первоначально, они столько работали над ее выправлением, что, в конце концов, она стала не­прерывной. Вот почему мы и получили право с полной уверенностью допускать непрерывность» [126, стр. 67].

Пуанкаре считает, что «наука детерминична; она та­ковой является a priori, она постулирует детерминизм» [64, стр. 127]. Пуанкаре отводит вероятности только обла­сти, которые нами не изучены, которые мы не знаем. «Проблемы вероятности могут быть, таким образом, классифицированы по большей или меньшей глубине не­знания» [128, стр. 207].

«Случай — только мера нашего невежества. Случай­ными явлениями, если попытаться дать им определение, будут те, законов которых мы не знаеде» [126, стр. 51].

Исходя из таких, позиций, Пуанкаре в своей книге по теории вероятностей приходит к довольно странным вы­водам. «Мы не .знаем, чем вызываются случайные ошиб­ки, и именно потому, что мы не знаем этого, мы знаем, что они будут подчиняться закону Гаусса. Таков пара­докс» [127, стр. 16]. Так из незнания, в духе детерминиз­ма конца XVIII в., делаются положительные выводы.

Свою вероятностную концепцию Пуанкаре распро­страняет на всю историю человечества.

«Что означают слова „очень малый"?... Разница является очень малой, интервал является очень малым, когда в границах этого интервала вероятность остается постоянной. Почему эта вероятность может рассматри­ваться в малом интервале как постоянная? Потому, что мы допускаем, что закон вероятности выражается непре­рывной кривой... Что дает нам право сделать это предпо­ложение? ...Это то, что в течение столетий существуют сложные причины, которые не прекращают своего дейст­вия в одном и том же направлении и которые постоянно ведут вселенную к однообразию, без возможности воз­врата назад. Именно эти причины постепенно смягчили выступы и заполнили углубления, и именно поэ­тому наши кривые вероятностей имеют легкую волни­стость.

В течение миллиардов столетий будет сделан дальней­ший шаг к однообразию, и эти колебания станут в де­сять раз меньшими: средний радиус кривизны нашей кривой станет в десять раз больше. И тогда такая длина, которая сегодня не кажется нам очень малой, потому что в нашей кривой дугу этой длины нельзя рассматри­вать как прямую линию, должна будет, наоборот, в ту эпоху рассматриваться как очень малая, поскольку ее кривизна в десять раз меньше и дуга этой длины может быть приравнена к прямой.

Таким образом слова «очень малый» остаются отно­сительными, но они являются относительными не по отно­шению к тому или иному человеку, а лишь по отношению к современному состоянию вселенной. Они изменяют свой смысл, когда мир станет более однообразным, когда все вещи смешаются более тесно. Но тогда, без сомнения, люди не смогут жить и должны будут уступить место другим существам» [127, стр. 16—17].

Переходя к определению вероятности и останавли­ваясь на классическом определении, он пишет: «Как определить, что все случаи являются равновозможными? Математическое определение в данном случае не являет­ся возможным; мы должны будем при каждом примене­нии ставить условия, оговаривать, что мы будем рассмат­ривать такой и такой случай, как равновозможные. Эти допущения не являются совершенно произвольными, но ускользают от математика, который после того, как они сделаны, не подвергает их анализу» [127, стр. 28].

Мы видим, что Пуанкаре своей поддержкой парадок­сов Бертрана и другими критическими замечаниями тре­бовал более четкого и строгого отношения к основным понятиям теории вероятностей. Его курс теории вероят­ностей был одним из лучших курсов для своего времени.

Но наряду с этим, его идеалистические философские позиции сказывались в трактовке многих принципиаль­ных вопросов теории вероятностей.