ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Предпосылки аксиоматики

Развитие теории вероятностей в начале XX в. привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических основ. Этого требовало развитие статистической физики; этого требовало развитие самой теории вероятностей, в которой остро стала ощущаться неудовлетворенность классического обоснования лапласовского типа; этого требовало и развитие других наук, в которых широко применялись вероятностные понятия.

Для того чтобы установить логическую стройность и последовательность выводов, необходимо выделить пер­воначальные понятия, установить правила вывода, уста­новить непротиворечивость всех полученных результатов и т. п.

Ответ на эти вопросы дает аксиоматический метод. Аксиоматический метод позволяет обозреть всю совокуп­ность объектов, изучаемых данной математической тео­рией. Этот метод заключается в том, что в основу теории кладутся некоторые положения, которые называются аксиомами, и из них выводятся все остальные положе­ния этой теории, при этом отчетливо оформилурованы и все правила вывода. Роль аксиоматического метода воз­росла особенно после того, как Н. И. Лобачевский пока­зал возможность построения геометрии на аксиомах, от­личных от евклидовых. После этого появилось много ма­тематических теорий, которые строились на основе ак­сиоматического метода. К началу XX в. аксиоматический метод стал проникать во многие области 'математики. Был произведен глубокий анализ системы аксиом геомет­рии (Д. Гильберт, Д. Пеано, В. Ф. Каган), началось серьезное исследование аксиоматики арифметики (Пеа­но, Гильберт).

Аксиоматический метод — это не только метод логи­ческого обоснования различных разделов математики, он является также методом отыскания новых фактов. Установление аксиом служит наряду с подведением ито­га толчком к дальнейшему развитию теории.

В начале XX в. во всех трудах по теории вероятно­

стей излагалось классическое обоснование, идущее от Лапласа, хотя с развитием науки все отчетливее вырисо­вывалось несоответствие этой системы и уровня науки. Классическое определение вероятности через равновоз­можные события представляет фактически тавтологию, так как равновозможность, в сущности, есть равновероят­ность.

Следует отметить, что для узкого круга явлений, где можно указать «симметричность», это определение мо­жет быть оправдано, но его нельзя распространять на другие явления. Отсюда следует другой существенный недостаток классической концепции — очень ограничен­ный круг ее применимости. Она оказалась неприменимой к большинству проблем физики, статистики, биологии и техники. Во всех этих задачах не удавалось указать рав­новозможные случаи, без которых нельзя говорить о ве­роятности.

• Кроме того, исходя из классической базы, нельзя да­вать предсказания относительно течения реальных про­цессов, для этого должны быть сделаны новые специаль­ные допущения, не вытекающие логически из основных понятий.

Становилось все отчетливее видно, что теория вероят­ностей нуждается в новом логическом обосновании — в обосновании с помощью аксиоматического метода.