ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Парадоксы Бертрана

На необходимость уточнения основных понятий теории вероятностей неоднократно указывали и математики. В этом отношении любопытна позиция Бертрана.

Бертран выдвинул ряд парадоксов, относящихся к основным понятиям теории вероятностей [116]. Один из них состоит в следующем. Требуется определить вероят­ность того, что взятая произвольно хорда окружности будет больше, чем сторона вписанного в окружность равностороннего треугольника.

По-разному понимая слова «взятая произвольно», мы будем получать разные вероятности. Так, рассматривая только те хорды, которые параллельны данному направ­лению, мы получим, что искомая вероятность равна У₂. Действительно, в этом случае хорды большие, чем сторо­на треугольника, будут находиться от центра на расстоя­нии, меньшем г/2 (рис. 11). Если считать, что произволь­но проведенные хорды будут выходить из определенной точки на окружности, то искомая вероятность равна */з (рис. 12). Если мы будем считать, что слова «взятая про­извольно» означают, что вероятность попадания середи­ны хорды внутрь какой-либо части круга пропорциональ­на площади этой части, то получим, что искомая вероят­ность равна ^lU. Действительно, так как серединой хорды может быть любая точка круга, а середины хорд, кото­рые больше стороны треугольника, заполняют круг ра­диуса г/2 (рис, 13), то искомая вероятность будет n(r/2)²/nr² = ^lU. При других трактовках «произвольного взятия» можно получить и другие вероятности.

Такая неопределенность ответа может быть объясне­на следующим образом. Само слово «вероятность» пред­полагает некоторый определенный опыт. Во многих зада­чах этот опыт хотя и не оговаривается специально, но каков он, обычно ясно из содержания задачи. В рассмат­
риваемом случае слова «произвольно взятая хорда» без дальнейших разъяснений в постановке задачи факти­чески не дают никаких указаний о конкретном опыте.

Из этих трех решений, предложенных Бертраном, сле­дует отдать предпочтение первому. К этому ответу при­водят такие общие задачи.

При бросании круглого диска на плоскость, на кото­рой начерчены прямые, вероятность того, что покрытая хорда будет больше стороны равностороннего треуголь­ника, равна ¹/₂. К этому же ответу мы придем, если бу­дем рассматривать хорды, которые прочерчивают на дис­ке Луны затмеваемые звезды, или хорды, описанные звездами в поле зрения телескопа.

Рассмотрим еще один парадокс Бертрана. На поверх­ности шара взяты наудачу две точки М и М'; какова ве­роятность, что меньшая из дуг большого круга ММ' бу­дет меньше а?

От положения М эта вероятность не зависит. Но если М фиксировано, то точка М’ должна находиться на по­верхности шара, от точки М не далее, чем круг, нанесен­ный на шаре (рис. 14). Пусть R — радиус шара. Тогда МР=ОМ—OP=R( 1—cosa). Отношение поверхности, где может находиться точка М\ к поверхности шара рав­но MP/2R=(l—cosa)/2 = sin²(a/2). Это и есть искомая вероятность. Если а мало, то р = а?14.

Бертран дает и второе решение, приводящее совсем к другому результату [116, гл. 1].

Если даны две точки М и М', то тем самым определе­на и соединяющая их дуга большого круга. Все дуги большого круга одинаковы, и мы не изменим вероятно­
сти, рассматривая только данную дугу. Вероятность, кто две точки расположены так, что соединяющая их дуга меньше а, будет а/я. Если а=1°, то а=я/180 и а²/4 = =я²/360; а/я= 1/180. Одна величина больше другой при­мерно в 70 раз.

Бертран заключает отсюда, что данная задача нераз­решима, а следовательно, первое решение (как и вто­рое) неверно.

Однако в данном случае утверждение Бертрана не­верно. Первое решение правильное, а второе содержит

ошибку. В этой задаче считается, что все равные доли поверхности шара эквивалентны по отноше­нию нахождения на них точек М и М'. Ошибка во втором решении заключается в том, что считает­ся, что вероятность нахождения М' на данной дуге большого кру­га пропорциональна длине дуги. Если дуга большого круга не имеет толщины, то вероятность нахождения точек на этом круге будет равна 0.

Чтобы избежать этого, необ­ходимо вместо линий рассматри­вать тонкую полосу, стороны которой исходят из одной точки М (рис. 15).

Из рисунка видно, что вероятность попасть в эту по­лосу около точки М меньше, чем на расстояниях в 90° от нее.

Бертран выступал с критическими замечаниями по поводу различных вопросов теории вероятностей. Напри* мер, обсуждается вопрос: если некоторые звезды распо­ложены очень близко на небесной сфере друг от друга, то следует ли из этого, что они действительно близки в про­странстве?

Если изучать число звезд определенной величины, то можно вычислить вероятность расположения определен­ного числа звезд на небесной сфере внутри данной не­большой окружности. Если вычисленная вероятность очень мала, то можно предполагать, что эта группировка звезд имеет причину, т. е. что эти звезды действительно близки в пространстве. По этому поводу Бертран делает
такое возражение: «Плеяды кажутся более близкими друг к другу, чем следует. Это утверждение заслужи­вает внимания; но если бы мы захотели выразить выводы цифрами, — у нас не хватило бы данных. Каким путем можно точно определить это туманное понятие близо­сти? Искать наименьший круг, в котором заключена данная группа? Наибольшее угловое расстояние? Сумму квадратов всех расстояний? Площадь сферического мно­гоугольника, вершинами которого являются некоторые звезды и внутри которого заключаются другие? Все эти величины в группе Плеяд меньше, чем можно было ожи­дать. Которая из них будет мерилом вероятности? Если три звезды образуют равносторонний треугольник, сле­дует ли считать, что это обстоятельство, конечно, мало вероятное a priori, указывает на существование некото­рой причины?» [116, стр. 170].

Относительно замечания Бертрана о равностороннем треугольнике скажем только, что любой другой треуголь­ник имеет такую же малую вероятность. *

Бертран (а затем и Пуанкаре) рассматривает сле­дующий вопрос. Три одинаковых ящика имеют каждый по два отделения. Первый содержит в каждом отделении по золотой медали, второй — по серебряной, а третий — в одном отделении золотую, а в другом — серебряную. Взят один из ящиков. Какова вероятность того, что в его отделениях будут различные медали? Очевидно, что эта вероятность равна 7з- Поставим другой вопрос: какова вероятность того, что во втором отделении этого ящика будет медаль другого металла, чем во вскрытом первом отделении?

Бертран отвечает на этот вопрос следующим обра­зом. Пусть, например, во вскрытом отделении находится золотая медаль; тогда в другом отделении может быть или золотая, или серебряная, следовательно, искомая вероятность равна 7г- В этом решении содержится ошиб­ка, так как Бертран не устанавливает равновозможно- сти рассматриваемых случаев.

Правильное решение этой задачи становится ясным, если мы представим ящики схематически

1 2        3 4         5 6

I3[з| І з I с |с[с[

Если во вскрытом отделении будет золотая медаль, то мы имеем один из трех (1, 2, 3) равновозможных слу­чаев, из которых только третий будет благоприятным. Следовательно, искомая вероятность равна Уз- Анало­гично рассуждаем, если во вскрытом ящике будет сереб­ряная медаль.

Если же известно, какое отделение вскрыто — левое или правое, то искомая вероятность будет Уг.

Бертран не принимает теорию среднего человека Кет- ле. Действительно, может ли существовать человек, рост которого равнялся бы среднему росту, вес — среднему весу и т. д.? Возьмем, например, два шара, один из кото­рых имеет радиус г_х = \, а другой — г₂=3. Если они сде­ланы из одного материала и если первый весит 1 г, то второй будет весить 27 г. Тогда средний шар должен иметь г=2 и вес (27+1)/2=14 г. Но если средний шар сделан из того же материала, то при г=2 его вес должен быть 8, а не 14.

Таким образом, не может существовать шара, кото­рый бы имел одновременно средний радиус и средний вес. Поэтому у нас нет никакой уверенности, что может существовать человек с разнообразными средними дан­ными.

В своей книге [116] Бертран касается спора, который возник в связи с введением оспопрививания. Первона­чально в среднем 1 человек из 200 умирал в результате прививки. Возникли колебания отосительно целесообраз­ности оспопрививания. «Даниил Бернулли, невозмутимый геометр, научно вычисляя среднюю жизнь, нашел, что она увеличилась на три года, и из этого сделал вывод о благодетельности прививки» [116, стр. XII]. Далее Берт­ран приводит возражения Даламбера против взглядов Д. Бернулли и поддерживает эти возражения. Для того, чтобы подчеркнуть мысль Даламбера, Бертран пишет: «Допустим, что можно оперативным путем увеличить среднюю продолжительность жизни уже не на 4, а на 40 лет, при условии, что моментальная смерть угрожает четвертой части оперированных: пожертвовать чет­вертью жизней, чтобы удвоить остальные три четверти, выгода большая. Кто захочет ею воспользоваться? Какой врач согласится оперировать? Кто взялся бы, приглашая 4000 здоровых и сильных людей к операции, заказывать на следующий день 1000 гробов? Какой директор учеб-

ного заведения осмелился бы объявить 50 матерям, что, желая увеличить среднюю продолжительность жизни своих 200 учеников, он сыграл за них в эту выгодную игру, и что их сыновья в числе проигравших. Самые бла­горазумные родители приняли бы риск 1 шанса против 200; никто, на основании каких бы то ни было вычисле­ний, не подвергся бы риску 1 шанса против 4» [116, стр. XII].

Пуанкаре обратил внимание на парадоксы Бертрана и обобщил их. Он предложил вместо непрерывной пере­менной, которая фигурирует в парадоксах Бертрана, взять любую непрерывную функцию f(x) этой перемен­ной. Тогда все задачи, относящиеся к х, можно заменить соответствующими задачами относительно f{x). Это же замечание относится и к нескольким переменам. Из это­го следует, что определение вероятности события доволь­но произвольно, так как оно зависит от произвольной не­прерывной функции.