ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Лаплас и его роль в теории вероятностей

П. Лаплас (1749—1827 гг.) начал свою деятельность в 70-х годах XVIII в. В 1773 г. его избирают адъюнктом Парижской Академии наук, а с 1785 г. он — полноправ­ный ее членг¹ ’•

Это были годы сложной обстановки кануна буржуаз­ной революции. Деятельность Академии в какой-то мере отражала сложность политической ситуации. Хотя Ака­демия продолжала оставаться в большой степени касто­вой, замкнутой организацией она была вынуждена зани­маться иногда вопросами, которые выдвигала револю­ционная обстановка.

14 июля 1789 г. вооруженный народ взял Бастилию. Академия пыталась совсем не реагировать на начало ре­волюции. Она продолжала свою работу, делая вид, что ничего не произошло. Через 4 дня после взятия Бастилии Лаплас на очередном заседании Академии доложил но­вые результаты своих исследований о колебании плоско­сти земной орбиты. Но как ни пыталась Академия отго­родиться от окружающей жизни, это невозможно было сделать. Внутри Академии стали все чаще слышаться голоса о перестройке устава Академии в сторону демо­кратизации.

В декабре 1789 г. была избрана комиссия для выра­ботки проекта нового устава в составе Борда, Боссю, Кондорсе, Лапласа и Тилле, которая вскоре и предста­вила такой проект. Но проект этот не удовлетворил даже достаточно реакционно настроенную Академию, которая нашла его не отвечающим новым идеям и политической обстановке.

Многие члены Академии вступают в политическую борьбу и активно участвуют в ней.

Единственное упоминание о деятельности Лапласа в этот период мы находим в связи с избранием его 8 мая 1790 г. в Метрическую комиссию. Но вскоре из состава этой комиссии Лаплас и Лавуазье были отозваны в свя­зи с недостаточностью «республиканских добродетелей и слишком слабой ненависти к королям» [68, стр. 34].

В связи с нарастанием революции и увеличением опасности находиться в центре ее — в Париже — Лаплас весной 1793 г. переехал из Парижа в провинцию, в Мелен.

На этом кончается первый период деятельности Лап­ласа. И нам кажется неверным мнение большинства пи­шущих о Лапласе, что он «увлекся политикой и показал себя в ней довольно неустойчивым. Вначале пылкий республиканец...» [69, стр. 366], что Лаплас принадлежит к тем ученым, которые стали «вначале на службу рево­люции» [70, стр. 340].

Лаплас предлагает убежище члену Парижской Ака­демии наук, астроному Ж- С. Байи, который, скитаясь по Франции, избегает наказания за расстрел на Марсовом поле 17 июля 1791 г. Будучи в то время мэром Парижа, Байи дал приказ национальной гвардии открыть огонь по республиканской демонстрации.

Когда Байи был уже по дороге к Лапласу, в Мелене расположилась дивизия революционных войск. Лаплас предупреждает об этом Байи, находящегося еще в пути. Но Байи все же приехал. Вскоре он был узнан одним из очевидцев расстрела, задержан в доме Лапласа и по постановлению Революционного трибунала гильотини­рован.

20 апреля 1794 г. был казнен другой близкий Лапла­су человек — Бошар де Сарой, 8 мая — Лавуазье.

Над Францией нависла угроза интервенции. Такие известные ученые, как Л. Карно, Монж, Фурье, Фуркруа, Вандермонд и многие другие, отдавали все свои силы для защиты Франции. Лаплас же в это время отсиживался в провинции.

С середины 1794 г. наступает буржуазная реакция. 27 июля 1794 г. казнили Робеспьера. Только теперь Лап­лас вернулся в Париж. Он был приглашен преподавать в Нормальную школу, организованную декретом Конвен­та от 30 октября 1794 г. для подготовки преподавателей. Свои лекции, читанные в 1795 г. под названием «Опыт философии теории вероятностей», он опубликовал в ка­честве введения ко второму изданию «Аналитической теории вероятностей» в 1814 г. (первое издание вышло в 1812 г.) *. Но и до опубликования, в период чтения, эти лекции имели широкое распространение, так как записы­вались специальными стенографами и распространялись по всей Франции.

В 1795 г. вместо упраздненной Академии был учреж­ден Национальный институт. Лаплас был назначен чле­ном этого института и вскоре избран президентом подсек­ции математики. Членом института был также Наполеон, с которым Лаплас был в хороших, даже дружеских от­ношениях. Вначале Лаплас относился к Наполеону осто­рожно. И когда Наполеон отправился в африканский

¹ Русский перевод под редакцией А. К. Власова сделан с изда­ния 1820 г. '

6 Л. Е. Майстров

поход, Лаплас с ним не поехал, хотя Наполеон захватил с собой большую группу крупнейших ученых (Монж и др.). Но после переворота 18 брюмера (8 ноября 1799 г.), когда Наполеон разогнал Совет Пятисот и Ди­ректорию, Лаплас увидел в нем диктатора, предугадал «вершителя судеб Франции», монарха. Лаплас полностью стал поддерживать Наполеона.

Вышедший в 1802 г. 4-й том «Небесной механики» Лаплас посвятил Наполеону — «умиротворителю Европы, которому Франция обязана своим процветанием и самой блестящей эпохой своей славы».

После коронации Наполеона и провозглашения его императором (1804 г.) Лаплас писал ему: «Я хочу к при­ветствиям народа присоединить и свое приветствие им­ператору Франции» [73, стр. 182]. Нужно напомнить, что многие ученые того времени были возмущены превраще­нием Франции в империю и выражали свой протест в той или иной форме (Монж, Араго и др.).

Лаплас полностью поддерживал Наполеона и в то время, когда «после победы реакции внутри страны контрреволюционная диктатура Наполеона превратила войны со стороны Франции из оборонительных в завое­вательные» [74, стр. 190].

Но, несмотря на такие взаимные симпатии между Лапласом и Наполеоном, в 1814 г., когда положение Наполеона стало неустойчивым, Лаплас один из первых его оставил. Понимая, что дело идет к реставрации ко­ролевской власти, Лаплас никак себя не проявлял в период «100 дней».

Не успели Бурбоны водвориться на трон, как Лаплас приносит им присягу верности. Людовик XVIII осыпает его наградами. Лаплас, как убежденный монархист, вы­ступает с речами в палате пэров. Когда Карл X ввел цен­зуру, Национальный институт выразил свой протест. Лаплас отказался председательствовать на собрании членов института, обсуждавших протест Карлу X; кроме того, Лаплас опубликовал' специальное заявление о том, что он не принимал никакого участия в этом про­тесте.

Политические взгляды Лапласа, если и менялись, то не очень сильно: он все время был монархистом, то счи­тая конституционную форму правления во главе с прос­вещенным монархом самой лучшей формой правления, 162

то примыкая к ультрароялистам. В последние годы жиз­ни Лаплас неоднократно проявлял себя как убежденный монархист. Поэтому вряд ли можно считать верным рас­пространенное утверждение, что «политические умона­строения Лапласа менялись всегда в такт со всеми ва­риациями режима во Франции, начиная от Конвента и вплоть до Реставрации 1815 г.» [75, стр. 824].

Широко распространен в литературе якобы имевший место разговор Лапласа и Наполеона, в котором Лаплас заявил Наполеону, что он в гипотезе бога не нуждается. На самом деле такого разговора, по-видимому, никогда не было. Во время жизни Лапласа и несколько позже этот разговор приписывался и другим ученым. Однако известно, что, когда этот разговор еще при жизни Лап­ласа хотели поместить в печатавшемся сборнике биогра­фий, Лаплас протестовал против этого.

Рассмотрим теперь его общие методологические уста­новки, которые, пожалуй, наиболее ярко изложены в его «Опыте философии теории вероятностей».

В начале своего курса Лаплас останавливается на соотношении случайного и необходимого. Согласно воз­зрениям Лапласа, в природе существует лишь необхо­димость: «Кривая, описанная простою молекулою возду­ха или пара, определена так же точно, как и орбиты планет: разницу меж ними делает только наше незна­ние». И далее: «Все явления, даже те, которые по своей незначительности как будто не зависят от великих зако­нов природы, суть следствия столь же неизбежные этих законов, как обращение солнца» [66, стр. 8, 11]. Эту мысль он повторяет и в других работах. «Кривая, опи­санная легким атомом, который как бы случайно носится ветрами, направлена столь же точно, как и орбиты пла­нет» [71, стр. 175].

Вот еще более категорическое заявление: «Ум, кото­рому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное по­ложение всех ее составных частей, еели бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движение величайших тел вселенной наравне с движениями лег­чайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же, как и прошедшее, предстало-бы пред его взором» [66, стр. 9].

Это ярко выраженная позиция детерминизма, который был тогда распространен. Лаплас рисует здесь «идеаль­ное» состояние науки, но наука, которая пыталась бы объяснить и установить траекторию отдельной молекулы со всеми ее случайными отклонениями, «была бы уже,— пишет Энгельс,— не наукой, а простой игрой», и даже «случайность не объясняется здесь из необходимости, скорее, наоборот, необходимость низводится до порожде­ния голой случайности» [5, етр. 175].

Изгоняя полностью случайность, Лаплас должен был определить вероятные события, не опираясь на случай­ность. Он считает те события вероятными, о которых мы не все знаем. «Факт... получает различную степень веро­ятия, смотря по обширности знаний [66, стр. 9]. Лаплас вводит чисто субъективный признак равновозможности событий, полагая, что два события ра;вновозможны, если нет никакого основания считать наступление одного из них более возможным, чем наступление другого. Этот признак основан не на наших знаниях, а на отсутствии наших знаний.

Считая, что о многих (вещах и явлениях мы не все знаем, Лаплас предлагает применять теорию вероятно­стей ко всем вопросам естествознания и жизни общества. После такого введения он пишет: «Будем изменять лишь крайне осторожно наши учреждения и обычаи, к кото­рым мы давно уже применились... Мы хорошо знаем по опыту прошлого неудобства, которые они представляют, но мы не знаем, как велико будет зло, которое может причинить их изменение... При такой неизвестности тео­рия вероятностей предписывает избегать всякого измене­ния: особенно следует избегать внезапных изменений» [66, стр. 106].

Он выступает против суровых приговоров: «Мягкость судебных приговоров тем более вероятна, чем много­численнее состав суда и просвещеннее судьи. Поэтому следовало бы, чтобы апелляционные суды удовлетворяли этим двум условиям» [66, стр. 127]. И далее звучит как насмешка разбор случая, когда в судебном процессе за­няты 1001 судья.

Необходимость многочисленного состава суда Лаплас основывал примерно на следующих соображениях. Пред­положим, что л судьям необходимо ответить относитель­но виновности подсудимого «да» или «нет». Если реше­ние, принимаемое каждым судьей, независимо, то в дан­ном случае был бы применим закон больших чисел в форме Бернулли и вопрос о виновности или невиновности подсудимого считался бы решенным правильно, если за него подано большинство голосов судей. Следовательно, если судебный трибунал состоит из достаточно большого числа судей и решает вопросы большинством голосов, то он практически не должен допускать ошибок в своих ре­шениях.

Эти рассуждения неоднократно подвергались критике. Например, по поводу них С. Н. Бернштейн пишет: «Здесь не принимается во внимание, что все судьи судят на ос­новании тех же самых свидетельских показаний и веще­ственных доказательств, так что в простом деле все они более или менее одинаково разберутся, а если запутан­ные обстоятельства вводят в заблуждение одних, то и для других судей ошибка становится более вероятной, иначе говоря, в случае судебного приговора отсутствует условие независимости между суждениями отдельных су­дей, и это коренным образом изменяет положение ве­щей» [72, стр. 179].

Многие высказывания, касающиеся общественной жизни, Лаплас необоснованно подкрепляет выводами из теории вероятностей, считая, что важнейшие вопросы любой области «не что иное, как задачи теории вероят­ностей» [66, стр. 7].

Лаплас признавал наличие внешнего материального мира, существующего вне и независимо от нашего соз­нания. Внешний мир, по Лапласу, мы познаем посред­ством наших органов чувств, критерием знаний является соответствие с наблюдениями.

Лаплас считал, что явления и сущность не совпадают и что задача науки состоит в том, чтобы исправлять «иллюзия и обманы чувств, познавая истинные предметы в их обманчивых формах проявления» [71, стр. 5]. К сущ­ности необходимо идти через сравнение различных фак­тов между собой, явления необходимо рассматривать с различных точек зрения в их развитии, одних собранных фактов недостаточно, необходимо сравнивать, сопостав­лять, производить опыты. «Если бы человек ограничивал­ся собиранием фактов, наука была бы бесплодною но­менклатурою» [71, стр. 54]. Но с точки зрения Лапласа познать сущность всех явлений невозможно.

Лаплас считал, что закон всемирного тяготения не только «представляет все небесные явления в их мель­чайших подробностях», но и объясняет все или почти все явления природы: «твердость, кристаллизация, прелом­ление света, возвышение и понижение жидкостей в во­лосных пространствах и вообще все химические соеди­нения представляют результаты сил» [76, стр. 2], которые Лаплас называет частными притяжениями, считая их ка­кими-то частными случаями закона всемирного тяготе­ния. Относительно этого закона он писал: «Мы увидим, что этот великий закон природы представляет небесные явления вплоть до их самых малых деталей; что не имеется ни одного неравенства в их движении, которое не вытекало бы из него с точной изумительностью; что он неоднократно опережал наблюдения, рас­крывая нам причину некоторых особенных движе­ний, о которых астрономы догадывались, но которые, в силу их сложности и чрезвычайной медленности, могли бы быть выведены из наблюдений через длин­ный ряд столетий. С помощью этого закона всякий эмпиризм совершенно изгнан из астрономии, которая является теперь обширной задачей механики» [75, стр. 733].

Лаплас поставил перед собой задачу показать, что в пределах солнечной системы природа подчинена единому закону всемирного тяготения.

По Лапласу, не вся природа познаваема. Мы познаем только связи между отдельными явлениями, сводим при­чины всех явлений к некоторому небольшому числу ко­нечных причин, которые являются совершенно непозна­ваемыми. Об этом он говорит неоднократно. «Мы можем дойти до общих явлений, от которых происходят все част­ные факты. Открытие этих великих явлений и приве­дение их к возможно меньшему числу должно соста­вить предмет наших усилий, потому что начальные при­чины и внутренняя природа существ останутся нам вечно неизвестными» [76, стр. 7].

«Общность законов, представляемых небесными дви­жениями, кажется, указывает на существование един­ственного начала» [71, стр. 174]. Да, кроме того, это «единственное начало» непознаваемо. Конечно, можно по всякому понимать это «непознаваемое единственное на­чало», но при любом его толковании эта точка зрения

не так уж далека от признания существования бога, что Лаплас и сделал в период после реставрации.

Лаплас переносит законы механики в психологию, сводит чувства человека к механическим процессам. Он даже самой мысли придает вид простых механических колебаний. По Лапласу, «сложные идеи образуются из простых, как морской прилив образуется из частных при­ливов, вызываемых солнцем и луною» [66, стр. 185].

Основное научное наследие Лапласа относится к не­бесной механике. Но ему также принадлежат фундамен­тальные работы по математике и физике.

Работы.по теории вероятностей он начал публиковать с середины 70-х годов *. В 1810 г. Лаплас получил в тео­рии вероятностей важнейший результат, который теперь носит название теоремы Лапласа: так называемый бино­миальный закон распределения вероятностей, при под­ходящей нормировке и неограниченном росте числа испы­таний стремится к нормальному закону распределения. Только после этого в 1812 г. он издает свой классический труд «Аналитическая теория вероятностей» [142]. Этот труд дважды переиздается еще при жизни Лапласа (в 1814 г. и 1820 г.).

В этой работе Лаплас изложил все основные свои ре­зультаты по теории вероятностей. Лаплас привел в систе­му существовавшие до него, часто разрозненные резуль­таты, усовершенствовал методы доказательств, заложил основы для изучения всевозможных статистических зако­номерностей, успешно применял теорию вероятностей к учету ошибок наблюдений и т. п.

Лаплас является крупнейшим ученым, сделавшим не­оценимый вклад в развитие теории вероятностей.

Из применения этой науки его также глубоко интере­совали вопросы статистики населения. Об этом говорят не только соответствующие места из его основных сочи­нений по теории вероятностей, но и специальные ра­боты.

Лаплас излагает свои взгляды на изменения состава количества населения; рассматривает вопрос о методах косвенного исчисления населения и об оценках точности

¹ Первая его работа по теории вероятностей появилась в 1774 г. (Memoire sur Й-'-'probabilite des causes par les evenements; cm. Oeuv­res completes, t. 8, 1891).

такого исчисления; разрабатывает теорию выборочных переписей и другие вопросы. В [66] Лаплас дает объясне­ния, как строятся таблицы смертности. Затем он вводит понятие средней продолжительности жизни; при этом он предполагает, что все умершие до одного года, живут в среднем шесть месяцев, до 2 лет — полтора года и т. д. «Таблица смертности представляет из себя, следователь­но, таблицу вероятностей человеческой жизни. Отноше­ние лиц, записанных рядом с каждым годом, к числу рождений есть вероятность, что новорожденное дитя до­живает до этого года» {66, стр. 136].

Отметим, что тот подсчет вероятностей, который здесь рекомендует Лаплас, не соответствует классиче­скому определению вероятности, данному Лапласом, как отношения равновозможных случаев.

Лаплас рассматривает вопрос о вычислении количе­ства населения по таблицам смертности. Он говорит, что таблицы смертности справедливы только на определен­ное время и в определенном месте.

Рассматривая разные причины, влияющие на смерт­ность населения, Лаплас пишет: «В большей или меньшей степени здоровая почва, высота ее, ее температура, нравы жителей и мероприятия правительств имеют силь­ное влияние на смертность» [66, стр. 138].

Переходя к влиянию болезней на смертность, Лаплас останавливается на оспопрививании. Излагая спор Д. Бернулли и Даламбера по этому вопросу, Лаплас под­держивает Бернулли. При определении средней жизни для случаев, когда уничтожается какая-нибудь причина смертности, Лаплас рассуждает следующим образом [142].

Пусть N — общее число рождений, х — рассматри­ваемый возраст, U — количество детей, которые из об­щего числа рождений остаются в живых через х лет, при условии, что одна причина смертности уничтожена; и — число детей, достигших возраста х при существовании этой причины, которую назовем В.

Пусть zAx — вероятность того, что человек, имеющий х лет, умрет от В в небольшой промежуток времени Ах. uzAx — количество людей, которые из числа и умрут от болезни В в промежуток Ах, если и велико. уАх — веро­ятность того, что человек в возрасте х умрет от других причин за Ах; иуАх — количество людей, которые из чис­ла и умрут от остальных причин за Ах.

Общая убыль людей за Ах будет:—Au=u{y+z)Ах. Аналогично

— AU = UyAx; — ^- = уАх\

Дм = иуАх -f uzAx; у Ах = — —— zAx;

и

_Д1/____Ди______ _Дл.. AU _ Ац , _zj^_x

U         и ^{2 Х>} U м ⁺                              •

Если Дх мало, то приращение можно заменить диф­ференциалами

X

— = — -{- zdx; Inf/ = In и + С zdx, при х =0,

J

U — не" .                                                          U = u= N.

Если бы z как функция от х было известно, то мы по­лучили бы зависимость между U и и. Тогда легко можно было бы преобразовывать одну таблицу смертности в другую, предполагая, что некоторая причина смертности

X

уничтожена. Но эта функция (z от х) не определена. \zdx

о

вычисляют приближенно следующим образом. uzAx — количество людей возраста х, умирающих в Ах от В. По­ложим Ах, равным 1 году, z будет равно дроби, в которой числитель равен числу умерших от В в рассматриваемом году, а знаменатель равен числу детей, которые из числа N остаются в живых в середине того же года. Так вы­числяется и для каждого возраста.

Относительно увеличения средней продолжительности жизни на три года в связи с оспопрививанием Лаплас писал:

«Столь значительное увеличение вызвало бы очень большое приращение населения, если бы, с другой сто­роны, это приращение не ограничивалось соответственно убылью средств существования» [66, стр. 141].

«Если почва, благодаря легкости разработки, может доставлять обильное пропитание новым поколениям, то уверенность в возможности прокормить многочисленную семью поощрйет браки и делает их более ранними и пло­довитыми. На подобной почве население и рождение должны оба возрастать в геометрической прогрессии» [66, стр. 141—142].

С 1745 г. в Париже в метрических книгах стали де­лать отметку о поле. С этого года до конца 1784 г. в Па­риже окрестили 393 386 мальчиков и 377 555 девочек:

393 386 _ 25 377 555                24*

Говоря об отношении рождений мальчиков к рожде­ниям девочек в различных странах Европы, Лаплас при­ходит к выводу, что «это отношение повсюду приблизи­тельно равно отношению 22 к 21» [66, стр. 68]. Учитывая соответствующие наблюдения А. Гумбольдта в Америке, Лаплас пишет: «Он нашел между тропиками то же самое отношение рождений мальчиков к рождениям девочек, какое наблюдалось в Париже, что должно заставить рас­сматривать преобладание мужских рождений как общий закон для рода человеческого» [66, стр. 68—69].

Лаплас считает, что отношение 25/24, полученное для Парижа, отличается от 22/21, так как в парижских мет­рических книгах вписаны и дети из приютов, а в приют крестьяне отдают больше девочек, чем мальчиков.

Далее Лаплас рассказывает о выборочном обследова­нии населения Франции, которое он произвел в 1802 г. Были собраны точные данные по 30 департаментам, рас­положенным по всей территории Франции. Перепись 23.ІХ 1802 г. дала 2 037 615 жителей. В течение трех лет (1800, 1801 и 1802 гг.) было рождений мальчиков 110312, рождений девочек 105287; всего 215 599; смертей лиц мужского пола 103 659, лиц женского пола 99443; браков

.„_ло_ 110 312             22 46037                    3 _л

46 037.----------- « —;------------- . Отношение числа насе-

105287         21 215559] 14

„ -                       2037 615-3

ления к числу ежегодных рождении будет------------------------- «

215 599

«28,352845. Приняв, что число рождений во Франции ежегодно¹ равно 1000000, Лаплас пришел к выводу, что население Франции составляет 28 352 845 человек.

Таким образом, из изложенного видно, что Лапласу принадлежит довольно большая роль в развитии стати­стики; в первую очередь эта роль оценивается примене­нием теории вероятностей к демографии.

В «Аналитической теорий» дано так называемое классическое определение вероятности: вероятность Р(А) события А равняется отношению числа воз­можных результатов испытания, благоприпятствую- щих событию А, к числу всех возможных результатов испытания. В этом определении предполагается, что отдельные возможные результаты испытания равно­вероятны.

Этому определению вероятности Лаплас придал субъ­ективный смысл, введя принцип недостаточности или от­сутствия оснований. Этот принцип состоит в том, что если вероятность события неизвестна, то мы для ее значения назначаем некоторое число, которое нам представляется разумным. В случае, если мы имеем несколько событий, которые составляют полную систему, но не знаем веро­ятности каждого события в отдельности, то мы считаем, что все эти события равновероятны.

Лаплас, например, говорит, что если монета не сим­метрична и мы не знаем, какая сторона выпадает чаще, «то вероятность выпадения креста при первом бросании все еще будет Уз, потому что при нашем незнании сторо­ны, которой благоприятствует это неравенство, вероят­ность простого события настолько же увеличивается, если это неравенство ей благоприятствует, насколько она уменьшается, если это неравенство ей не благоприятству­ет». По поводу этого места Б. В. Гнеденко делает сле­дующее замечание:

«Понятно, что ни при первом, ни при втором и ни при каком бросании монеты нельзя говорить, что вероятность выпадения монеты равна половине; она попросту неизве­стна. Определение же ее, оценку ее значения нужно про­изводить не такими сомнительными средствами, отнима­ющими у самого понятия вероятности его объективную роль числовой характеристики определенных реальных явлений» [35, стр. 105].

Петербургскую задачу Лаплас решает с точки зрения нравственного ожидания.

Обсуждая вопрос о нравственном ожидании, Лаплас говорит, что человек, лишенный всякого имущества, об­ладает чем-то, что равносильно некоторому капиталу. Ведь он не. согласился бы взять единовременно незначи­тельную сумму, с условием, чтобы, истратив ее, полно­стью отказаться от всяких средств к пропитанию.

Так как величина нравственного ожидания зависит от имеющегося капитала, то после разъяснения Лапласа совершенно неясно, как пользоваться этим понятием. Лаплас, конечно, не хотел дискредитировать понятие нравственного ожидания, но его несостоятельность ста­новилась очевидной.

Если рассматривать разложение (лг+х²+л;[1]-|-л:⁴+.*⁵+ 4-дс⁶) «, то значение коэффициента х_$ равно числу случа­ев, которые дают при бросании п костей сумму очков, равную s. Лапласом этот метод расчета был превращен в метод производящих функций.

Производящей функцией последовательности /о, / 1, .... /л,... называется функция

СО

/(0 = 2 /»*" = /« + /!* + /.*■+ ••• +fnf+ ....

л—о

при этом предполагается, что степенной ряд сходится хотя бы для одного значения t=f=0.

Последовательность /₀, /і,..., /л может быть как число­вая, так и функциональная. При этом в последнем слу­чае производящая функция будет зависеть как от /, так и от аргументов функций /_л*.

Лаплас решает задачу Бюффона и много других раз­нообразных задач. Рассмотрим некоторые из них.

Задача найти число т розыгрышей французской ло­тереи, при котором вероятность выхода всех 90 номеров была бы ’/г-

Лаплас нашел, что в этом случае т=85,53. Далее он ищет формулу для определения числа розыгрышей, при которых вероятность выхода всех номеров лотереи рав­на определенному числу. Лаплас решает и общую зада­чу. Лотерея состоит из s номеров, при каждом ее розыг­рыше выходит по п номеров. Спрашивается, как велика вероятность р, что в т розыгрышах лотереи все s номе­ров выйдут.

Еще одна задача. Предположим, что при т+п наблю­дениях, событие А повторилось т раз, а противополож­ное ему событие В — п раз (т>п). Какова вероятность того, что вероятность появления события А «больше веро­ятности появления В. Лаплас для этой вероятности по­лучает выражение

_ (ц — т) (р — т +1) ... и- Г (Уг)^ц , т] (¹/₂)^м'~¹ ,

1-2 •••т             [ ц р р — 1

т т-1 (Ч^ j                           т т-1      _              1       (Vs)»-"¹]

|А (х —1 р—2    "" р р—1           р —m+1 р —т J*

где р=т+П+1.

Затем решается вопрос, как велика вероятность, что со­бытие, которое наблюдалось т раз подряд, повторится

при k следующих наблюдениях (р = ■                       \ ■

\ m + k+lj

Выше мы уже указывали на несостоятельность этих расчетов.

У Лапласа мы снова встречаем задачу о разделении ставки [142, стр. 22]: А п В играют до s выигранных пар­тий. Игра прерывается, когда А выиграл р партий, а В — q. Как справедливо разделить ставку? Естественно, что ставку нужно делить пропорционально вероятностям А и В получить весь выигрыш.

Лаплас находит вероятность выигрыша для А, кото­рая является функцией от V=s—р и W—s—q.

/(y,^=(7/[l+V-7₂ + ^^(V₂)² + •••

, V(V+1) ... <y + V*-2) _/1)ЧГ-і1

• ••+----------- сг^їїі------------- ^(/г) J*

Вероятность выигрыша для В будет 1—f(V, W).

Лаплас поставил задачу: найти наилучшую комбина­цию наблюдений для определения неизвестной величины при условии, что положительные и отрицательные ошибки равновероятны и число их неограниченно большое. Не делая никаких предположений относительно закона рас­пределения ошибок, Лаплас нашел, что способ наимень­ших квадратов дает наилучшую комбинацию наблюдений.

Лаплас дал новое доказательство теоремы Я. Бер­нулли. Он находит асимптотическую формулу для веро­ятности суммы независимых случайных величин, каждая из которых может принимать лишь все целочисленные значения между —а и +а, используя при этом фактйче- ски элементы теории характеристических функций.

Фундаментальный труд Лапласа содержит очень большое число различных задач. Все эти задачи и при­ложения имеют большое значение в теории вероятностей. Но центральным местом всей книги, да и всего творче­ства Лапласа в области теории вероятностей, было дока­зательство одной из важнейшей предельной теоремы теории вероятностей. Эта теорема относится к распреде­лению отклонений частоты появления события при неза­висимых испытаниях от его вероятности. Эта теорема сейчас называется теоремой Лапласа. Один ее частный случай, как было указано выше, был известен уже Муав- ру (для р = 7г)- Теорема Лапласа состоит в следующем^[2]: пусть при каждом из п независимых испытаний вероят­ность появления некоторого события Е равна р(0<р<1) и пусть т обозначает число испытаний, в которых собы­тие Е фактически наступает; тогда вероятность неравен­ства

< ^т Л^Р- <z_% (q = 1— р)

У npq

при достаточно большом числе испытаний п сколь угод­но мало отличается от

Это утверждение еще называют интегральной теоремой Лапласа.

Вероятность точно т появлений события Е при п ис­пытаниях приближенно равна

¹ _с-*/*₇ У 2nnpq где

т — пр

У npq

Это последнее утверждение иногда называют локальной теоремой Лапласа.

Теорема Лапласа применяется на практике, начиная с п порядка нескольких десятков. Получаемые при этом погрешности достаточно малы.

Лаплас придавал своей теореме большое значение. Он считал, что открытый закон полностью объясняет по­ведение случайных массовых ансамблей, к которым он относил большинство явлений. Лаплас считал, что пред­ложенная им схема почти всеобъемлющая. Схема состоя­ла в следующем. Имеется большое число величин, из­меняющихся случайным образом, но законы этих изменений нам неизвестны. Тогда оказывается, что ре­зультирующая этих случайных величин в ее колебаниях вокруг среднего значения подчиняется одному закону. Этот закон А. Пуанкаре назвал нормальным законом.

Только после работ Лапласа стало возможным ши­рокое применение научно обоснованных методов в тео­рии вероятностей.

Но при трактовке своих работ Лаплас иногда впадает в ошибки. Основная ошибка Лапласа в теории вероят­ностей состоит в том, что, считая историю человеческого общества областью, в которой всецело господствует сле­пой случай, он предполагает, что .теория вероятностей является той наукой, которая исчерпывающе объяснит эту историю, и поэтому анализом общественных явлений должна заниматься теория вероятностей. Лаплас считает, что все закономерности любой области массовых явле­ний полностью сводятся, возможно, к одному нормаль­ному закону, так же как небесные явления сводятся к одному закону всемирного тяготения. Исходя из этой точки зрения, он пытается применить теорию вероятно­стей к судебным процессам, к решениям собраний и т. п. Подобное необоснованное и ошибочное распространение применений теории вероятностей оказало отрицательное влияние на развитие науки.

Современный немецкий историк математики К. Бир­ман отмечает, что Лаплас в теории вероятностей «зат­мил всех своих предшественников. Одновременно с этим мы должны констатировать распространенную переоцен­ку по отношению к нему» [8].

[1] Производящие функции применяются не только в теории ве­роятностей, они нашли применение в алгебре и других разделах ма­тематики.

^[2] Иногда эту теорему называют теоремой Муавра — Лапласа.