ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Распределение случайных ошибок

При любом измерении возникают случайные ошибки. Над вопросом о том, как их избежать или учесть, ученые работалняочень давно. Но только с привлечением теории вероятностей эту проблему можно было решить удовлет­ворительно. Она была рассмотрена с достаточной пол­нотой в начале XIX в.

Два математика, независимо друг от друга, почти одновременно получили один и тот же основной резуль­тат, состоящий в выводе нормального закона распреде­ления случайных ошибок. Один из этих математиков — великий немецкий ученый К. Ф. Гаусс (1777—1855 гг.), другой — малоизвестный математик из Америки Р. Эд- рейн (1775—1843 гг.). К своему результату они пришли разными путями. Эдрейн решал частную задачу и в виде ее обобщения получил распределение случайных ошибок. Гаусс разрабатывал теорию ошибок измерений, и нор­мальное распределение случайных ошибок было необхо­димой и одной из важнейших частей этой теории. Вывод закона распределения случайных ошибок измерений у Гаусса был не только итогом, но и основой дальнейшей разработки теории ошибок. И хотя Эдрейн опубликовал свою работу несколько ранее Гаусса, их роль в выводе этого закона различна.

Работа Эдрейна была опубликована в 1808 г. (77]. В этой статье наибольший интерес представляют два вы­вода нормального закона распределение случайных оши­бок измерений.

Пусть АВ— истинное значение измеряемой величи­ны, например некоторой длины. Измеренное значение этой величины пусть будет АЬ, а погрешность ЬВ (рис. 8).

А                  о       0

1___________ I_____ I

Рис. 8

Пусть АВ, ВС...— несколько последовательных рас­стояний, измеренные значения которых АЬ, Ъс. Полная ошибка будет сС. Пусть АЬ, Ъс, сС даны (рис. 9). При­нимается как очевидное, что погрешности в измерении АВ, ВС пропорциональны их длинам. Введем обозначе­ния: Ab = a, Ьс=Ь, Сс=с; погрешности измерения АЬ обозначим через х, погрешности измерения Ьс — через у. Тогда для наибольшей вероятности получаем уравнение x/a=y/b. Пусть X я Y будут вероятности того, что в рас­стояниях а и Ь имеются погрешности х я у. Вероятность совместного осуществления этих, погрешностей будет XY.

Необходимо найти X и У при условии, что вероятность XY максимальна.

Введем обозначения: f(x) = lnX; <p(y) = lnY. Тогда максимуму XY соответствует f(x)+<p(y) =max. Продиф­ференцируем последнее соотношение^[1].

. р (х) х’ + ф' (у) у’ =0; /' (х) х' = — ф' (у) у'.

Но для наибольшей вероятности x+t/=const и х'+у'=0; х'=—у'. Разделим полученные уравнения друг на друга:

А               6 В               -       С

I________ 1 I------------ J---- 1

Рис. 9

f'(x) = ц>'(у). Это уравнение должно быть эквивалентно х[а=у/Ь. В простейшей форме это выполняется, если

а                           а

Рассмотрим первое соотношение:

/'(*) = —; а

df (X) = ™dx-,\ df (х) = С^ dx; f(x) = а,+

CL                            щ) Cl

, mx*

f(x)=lnX^a₁ + ^-, X = e' “

. mx*

Функция jj _ £ la названа Эдреином «общим урав-

нением кривой вероятностей» [77, стр. 94].

Далее доказывается, что т<0 [77, стр. 95].

В этой же статье Эдрейн дает второй вывод закона распределений случайных ошибок измерений. В этом выводе он рассматривает измерение отрезка АВ с по­грешностями как по длине, так и по азимуту. Эдрейн ^[2] предполагает, что геометрическое место равной вероят­ности положения • точки В, определенной измерениями длины и азимута АВ, должно представлять собой прос­тейшую фигуру, т. е. это должна быть окружность с центром в точке В. В этих условиях он приходит к выво­ду, что вероятности погрешностей соответственно равны _ес+пх*/г и e^c+ⁿv*/2_{) где} х и у есть соответствующие ошибки: Вт—х, тп—у, с—const (рис. 10) *.

Рис, 10

В статье Эдрейна, кроме этого, содержится вывод принципа наименьших квадратов и принципа среднего арифметического, определение вероятнейшего положения судна и другие задачи {78].

К. Ф. Гаусс опубликовал свой вывод нормального закона распределения случайных ошибок наблюдений в 1809 г. в работе «Теория движения» {80].

Занятия астрономией и геодезией привели его к раз­работке методов обработки результатов наблюдений. В астрономии и геодезии производятся многочисленные измерения в различных местах, различными инструмен­тами, различными наблюдателями. Результаты этих из­мерений подвержены влиянию ошибок. Поэтому возни­кает проблема установления наиболеё вероятного значе­ния искомой величины. Эти вопросы привели Гаусса к созданию теории ошибок измерений, которая непосред­ственно связана с идеями и понятиями теории вероят­ностей.

И. М. Виноградов говорил, что «обширные прибли­женные вычисления, которые приходилось практически производить лично Гауссу при решении задач, относя­щихся к астрономии и к геодезии, привели его к более глубокой разработке способа наименьших квадратов и к ¹ выяснению центрального значения нормальной кривой распределения в вопросах, связанных с теорией вероят­ностей» [79, стр. 9].

Наряду с необыкновенно широким диапазоном твор­чества характерной особенностью исследований Гаусса является глубокая связь между теоретическими и при­кладными вопросами. Общие математические идеи у него часто появлялись в результате решения конкретных задач. Это относится к к вопросам теории вероятно­стей.

Хотя работы Гаусса по теории вероятностей были свя­заны с приложениями, но они не ограничивались только ими. Работы Гаусса сыграли значительную роль в раз­витии ряда разделов теории вероятностей. Так, напри­мер, теория ошибок наблюдений, разработанная Гаус­сом, потребовала выяснения условий применимости нор­мального закона распределения. После работ Гаусса встала задача оценки параметров нормального закона распределения. Гаусс обосновал способ наименьших квадратов с помощью теории вероятностей, приняв за аксиому начало арифметической середины.

Первой работой Гаусса, имеющей отношение к теории вероятностей, была «Теория движения небесных тел, об­ращающихся около Солнца по коническим сечениям» (1809 г.). В последней части работы «Определение ор­биты, возможно точно удовлетворяющей любому числу наблюдений» Гаусс впервые изложил теорию ошибок наблюдений.

К этой части примыкают две другие работы: «Иссле­дование об эллиптических элементах. Паллады на осно­вании противостояний 1803, 1804, 1805, 1807,1808,1809 го­дов» и «Определение точности наблюдений» (1816 г.).

Эти работы были обобщены и дополнены в труде «Теория комбинации наблюдений, подверженных наи­меньшим ошибкам» (1823 г.). В 1828 г. выходит «Допол­нение к теории комбинации наблюдений, подверженных наименьшим ошибкам».

В 1845—1851 гг. Гаусс написал «Приложение теории вероятностей для определения баланса вдовьих касс» и рассчитал «Таблицы для определения значений времени однократной прожиточной ренты и связанной ренты» *.

¹ Все эти работы теперь опубликованы в [89].

Большое значение для теории вероятностей имеют также его заметки и письма.

В XVIII в. стала актуальной задача о наиболее целе­сообразном сочетании результатов измерений для полу­чения надежных результатов.

Еще Тихо де Браге в 80-х годах XVI в. для устране­ния ошибок производил наблюдения одного и того же объекта в видоизмененных условиях и, комбинируя эти наблюдения, стремился избавиться от случайных оши­бок. Эта проблема всегда интересовала исследователей.

А. Лежандр в работе «Новые методы для определе­ния орбит комет», в приложении «О методе наименьших квадратов» предложил метод наименьших квадратов. Он писал: «Из всех принципов, которые можно предложить для этой цели, не существует более простого, чем тот, которым мы пользовались в предыдущем изложении: он состоит в том, чтобы обратить в минимум сумму квадра­тов погрешностей». Лежандр четко и ясно сформулиро­вал основные принципы и правила этого способа. «Когда все условия задачи выражены соответствующим обра­зом, следует так определять коэффициенты, чтобы ошиб­ки были возможно меньше. Метод, который кажется мне наиболее подходящим для этой цели, состоит в том, что­бы приводить сумму квадратов ошибок к минимуму. При этом получается ровно столько же уравнений, сколь­ко имеется неизвестных... Способ, который я называю способом наименьших квадратов, сможет, вероятно, при­нести большую пользу во всех вопросах физики и астро­номии, где требуется получить из наблюдений возможно более точные результаты» (80, стр. 7—8].

Гаусс впервые изложил метод наименьших квадра­тов в работе 1809 г. Но он пишет: «Впрочем, наш прин­цип, которым мы пользуемся с 1795 г., еще недавно был изложен известным Лежандром в его труде «Nouvelles methodes pour la determination des orbites des cometes, Paris, 1806» («Новые способы определения орбит ко­мет») [80, стр. 104]. Эту же дату, 1795 г., Гаусс указыва­ет и в письме к Лапласу от 30.1.1812 г.

Гаусс неоднократно возвращается к этому вопросу. Так, например, в письме к Ольберсу он пишет: «Прин­цип, которым я пользуюсь с 1794 г., а именно, для того, чтобы наилучшим образом представить несколько вели­чин, которым нельзя дать точных знаний, нужно приве­сти к минимуму сумму квадратов ошибок; применяется также и в работе Лежандра и излагается в ней весьма основательно» (80, стр. 8J.

Гаусс указывает две даты: 1794 г. и 1795 г. Современ­ные исследователи склонны считать, что верная дата — это 1794 г.

В начале работы Гаусс делает ряд общих интересных замечаний. «Так как в действительности все наши из­мерения и наблюдения представляют собой только при­ближения к истине, и то же самое можно предполагать о всех основанных на них вычислениях, то окончатель­ную цель этих вычислений сложных явлений следует ви­деть в том, чтобы возможно ближе подойти к истине. Этого можно достигнуть только целесообразной комби­нацией большого числа наблюдений, что обязательно требуется для определения неизвестных величин» [80, стр. 89].

Далее он пишет о том, чтобы результаты выводились не из отдельных наблюдений, а из комбинированных, так, чтобы случайные ошибки по возможности уничто­жались.

После этого Гаусс рассматривает следующую зада­чу. При равноточных измерениях некоторой величины случайные ошибки имеют дифференциальную плотность распределения вероятностей <р(Д). Требуется определить ф(А), если наиболее вероятное значение измеряемой ве­личины равно среднему арифметическому из наблюдае­мых значений. Приведем слова Гаусса.

«Предположим..., что нет никаких оснований считать, почему бы одно наблюдение было менее точным, чем другое, и что одинаковые по величине ошибки у отдель­ных наблюдений следует принимать за равновероятные. Итак, вероятность, приписываемая любой ошибке Д, вы­разится функцией от Д, которую мы будем обозначать <р(Д)... Мы можем утверждать, что ее максимум получит­ся, когда Д=0, и что в большинстве случаев она одина­кова для равных противоположных по знаку значений Д. ф(Д) должна быть составлена так, чтобы от значения Д=0 в обе стороны она асимптотически приближалась к

нулю» [80, стр. 83]. В этих предположениях Гаусс прихо-

h —л*д*

дит к выводу: ф(Д)«-"р:^в        . Величину п Гаусс рас-

сматривает как меру точности наблюдений.

Гаусс в качестве следствия вывел утверждение о том, что плотность вероятности данной совокупности на­блюдений достигает максимального вначения при усло­вии, что сумма квадратов уклонений наблюдаемых зна­чений от истинного значения измеряемой величины обра­щается в минимум. Этот же принцип распространен и на неравноточные наблюдения. Гаусс считает, что этот принцип должен считаться аксиомой, так же как долж­но считаться за аксиому и то, что среднее арифметиче­ское из многих наблюденных значений одной и той же величины принимается за наиболее вероятное ее зна­чение.

Получив нормальный закон распределения случайных

Гаусс указывает на недо- статок, которым, с его точки зрения, обладает этот за­кон. В соответствии с этим законом возможны в принци­пе погрешности любой величины. «Полученная таким об­разом функция, очевидно, не может со всей строгостью выразить вероятности ошибок. Так как возможные ошиб­ки всегда заключаются в известных пределах, то вероят­ность более крупной ошибки (лежащей вне этих преде­лов) всегда должна равняться нулю, а между тем наша формула всегда дает некоторое конечное число» {80, стр. 96].

Следует иметь в виду, что Гаусс при выводе нормаль­ного распределения существенно использовал принцип среднего арифметического, который он формулировал следующим образом: «Конечно, как аксиома должна быть принята гипотеза: если какая-нибудь величина бу­дет определена из многих непосредственных наблюдений, произведенных при одинаковых обстоятельствах и с оди­наковой тщательностью, то среднее арифметическое из всех наблюдавшихся значений окажется наиболее веро­ятным значением, если и не абсолютно точно, то по край­ней мере очень близко к этому, так что всегда будет наи­более надежным придерживаться именно такого значе­ния». Эта аксиома привлекла к себе большое внимание. Ряд авторов старался ее доказать, сведя к другим, на их взгляд, более простым положением. Обзор таких дока­зательств приведен в [158].

Нормальный закон длительное время считался уни­версальным, и это задержало появление количественных

критериев отбраковки измерений, так как этот закон до­пускает возможность погрешностей любой величины, что привело к убеждению в необходимости удерживать ре­зультаты всех измерений, ничего не отбрасывая. Это мнение господствовало до середины XIX в., когда стали появляться первые вероятностные критерии отбраковки измерений.

^[1] По атому вопросу см. подробнее [78, 140].

^[2] Эдрейн нигде не говорит, по какому переменному он дифферен­цирует. Более того, он не останавливается даже на вопросе, что яв­ляется аргументом его функций. Все это, конечно, является недостат­ком его работы.