ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Кондорсе

Ж. А. Кондорсе (1743—1794 гг.)—политический дея­тель времен буржуазной революции во Франции, известен как социолог и экономист и менее известен как матема­тик. Но он был избран в 1769 г. в члены Парижской Академии наук за свои математические работы.

Наиболее крупной его работой по теории вероятно­стей является «Очерк применения анализа к вероятности решений, вынесенных по большинству голосов», опубли­кованный в 1785 г. в истории Королевской Парижской Академии наук за 1781—1784 гг. Эта работа состоит из «Предварительного рассуждения» и самого очерка, со­стоящего из пяти частей.

В «Предварительном рассуждении» Кондорсе излага­ет основные результаты книги в форме, понятной не толь­ко для математиков, а также излагает основные принци­пы теории вероятностей.

Задача первой части охарактеризована в ее началь­ных словах: «В первой части предполагается известной вероятность решения каждого голосующего и отыскива­ется вероятность решения, принятого по большинству голосов при разных условиях; в начале рассматривается только одно собрание, которое голосует только один раз (предполагается, что одно и то же собрание производит голосование до тех пор, пока не получится требуемое большинство голосов), затем р а осматривается решение в зависимости от суждения нескольких собраний, предпо­ложив, что выбирают только между двумя противопо­ложными предложениями, или что выбирают из трех предложений, или, наконец, что выбирают или из не­скольких людей, или из нескольких предметов, степень качеств которых нужно определить».

Далее в этой части рассматриваются 11 гипотез. Ниже мы приведем некоторые из них.

Первая гипотеза. Пусть будет 2q+\ избирателя, кото­рые считаются одинаково способными к суждениям, v — вероятность того, что голосующий решает правильно, е— что неправильно (v и е — начальные буквы слов verite — истина и erreus — ошибка). Очевидно, v+e=l. Отыскивается вероятность того, что большинство голо­сующих будет за правильное решение вопроса, предло­женного голосующим.

Во второй гипотезе в тех же условиях требуется опре­делить вероятность определенного большинства голо­сов и т. п.

Большое значение Кондорсе придавал девятой гипо­тезе, о которой он пишет: «До сего времени мы ппелпо- лагали только один трибунал. Однако во многих странах одно и то же дело подлежит решению нескольких судов, или должно быть решено несколько раз одним и тем же судом, но согласно новым указаниям, пока не получится определенное число совпадающих решений. Это предпо­ложение подразделяется на несколько случаев, которые мы будем исследовать отдельно. В самом деле, можно требовать: 1) единогласия этих решений; 2) известного большинства или по абсолютной величине или по отно­шению к числу вынесенных решений; 3) определенного числа последовательно совпадающих решений».

В этой гипотезе он исследует вероятность того, что решение, утвержденное судебными инстанциями, окажет­ся правильным. Для этого он решает несколько задач, представляющих самостоятельный интерес.

Задача. Известна вероятность наступления события при отдельном испытании. Требуется определить вероят­ность того, *что в г испытаниях событие наступит р раз подряд.

Этой задачей занимался ранее де Муавр [49, зада­ча 74].

Задача. Найти вероятность, что при г испытаниях ■отбытие наступит р раз подряд раньше, чем оно не насту­пит р раз подряд.

Задача. Определить вероятность того, что событие, уже появившееся в т + п опытах т раз, появится в сле­дующих r+t опытах г раз.

Кондорсе для искомой вероятности получил следую­щую формулу

_ (т + п 4-І)! (от -f- г)\ (л -f- Q! mini (т + n + r + t +1)!

Из этой формулы как следствие получается, что вероят­ность появления события при следующем испытании, если оно появилось при т предыдущих испытаниях, равна

р=і±і.

m+2

Этими задачами позже занимался Лаплас. В частно­сти, относительно последнего вывода он пишет: «После того, как Событие произошло подряд некоторое число раз, вероятность того, что оно произойдет еще следующий раз, равна этому числу, увеличенному на единицу, деленному на то же число, увеличенному на две единицы» [66, стр. 23].

■Нелепость этого вывода очевидна. При т= 1 получа­ем р=2/3. Если мы производим испытание, в результате которого будет какой-нибудь исход, то из приведенного правила следует, что, повторив испытание, мы получим, что вероятность того же исхода равна 2/3. Например, в урне находится неизвестное количество занумерованных карточек. При первом извлечении появился номер 597, вероятность, что второй раз, после возвращения карточки в урну, мы вытянем тот же номер, по приведенному пра­вилу будет 2/3. Это же повторится с любым номером, ко­торый мы вытянем первый раз.

Современный математик Д. Пойа относительно этого правила пишет: «Посмотрим на него более конкретно. Припишем т числовое значение и не будем игнорировать повседневных ситуаций... В иностранном городе, где я едва понимал язык, я питался в ресторане с большими опасениями. Однако после 10 посещений ресторана я не почувствовал никаких болезненных последствий и поэто­му совершенно уверенно шел в ресторан одиннадцатый раз. Правило говорит, что вероятность того, что я не буду отравлен во время следующего посещения, рав­на 11/12.

Мальчику 10 лет. Правило говорит, что, прожив 10 лет, он имеет вероятность 11/12 прожить еще один год. Дедушка этого мальчика достиг 70 лет. Правило гово­рит, что он имеет вероятность 71/72 прожить еще один год.

Эти применения кажутся глупыми... Однако правило может превзойти и эту нелепость. Применим его к слу­чаю т=0: вывод правила имеет такую же силу для это­го случая, как и для всякого другого. Но для т = 0 пра­вило утверждает, что любое предположение без какого бы то ни было подтверждения имеет вероятность 1/2. Каждый может придумать примеры, демонстрирующие чудовищность такого утверждения (кстати, оно и проти­воречиво)» [10, стр. 398].

Десятая гипотеза Кондорсе предполагает, что голосу­ющие могут не только высказывать свое мнение, но и воз­держиваться от принятия определенного решения.

Одиннадцатая гипотеза связана с выбором одного из троих кандидатов.

Во всех задачах первой части были известны три ве­личины: число голосующих, требуемое большинство го­лосов и вероятность правильности каждого голоса. Во второй же части предполагаются известными две из этих величин и результат голосования. В этих предположени­ях решается ряд задач. Как мы уже видели, некоторые математики выдвигали идею морального ожидания и мо­ральной достоверности. В частности, эти понятия отста­ивал Бюффон. Кондорсе во второй части критикует по­ложения Бюффона о моральной достоверности. Он пи­шет: «Это мнение неточно само по себе, так как оно направлено к смешению двух вещей совершенно различ­ной природы — вероятности и достоверности; это точно так же, если бы мы смешивали асимптотику кривой с ка­сательной, проведенной к очень удаленной точке. Подоб­ного рода предположения не могут быть допущены в точных науках без разрушения их точности».

В этой же части Кондорсе рассматривает математиче­ское ожидаййё, ссылаясь при этом на работы Д. Бер­нулли.

Кондорсе так определяет задачу третьей части. «Она должна содержать исследование двух разных вопросов. В первом дело касается определения, согласно наблюде­ниям, вероятности решений суда или голоса каждого голосующего; второй касается определения степени не­обходимой вероятности, чтобы можно было поступать при различных обстоятельствах либо благоразумно, либо справедливо. Но легко видеть, что исследования этих двух вопросов требуют сперва установления общих прин­ципов, согласно которым можно определять вероятность будущего или неизвестного события не на основании зна­ния числа возможных сочетаний, к которым приводит это событие, или ему противоположное, но только на ос­новании знания порядка известных или прошлых событий того же рода. Это и является предметом следующих задач».

Третья часть содержит 13 задач. Приведем некоторые из них.

Задача 1. Известно, что событие А наступило т раз, а событие N — п раз. После этого предполагается, что одно из этих двух событий наступило. Отыскивается ве­роятность того, что это событие А (или событие N).

Несомненный интерес представляет задача 5. Здесь в предположениях первой задачи требуется отыскать веро­ятность того, что: 1) вероятность А не будет меньше за­данной величины; 2) эта вероятность будет отличаться от

——          не более, чем на а: 3) она будет отличаться от

ҐҐІ -}- ҐІ

не более, чем на а. Если вероятность А дана,

т + п 4-2

требуется отыскать, каков предел а.

Задача 7. Найти вероятность того, что А при q испы­таниях наступит q—q' раз, а событие N наступит q' раз, в предположении, что А до этого наступило т раз, а N— п раз.

О четвертой части Кондорсе говорит: «До сего време­ни мы рассматривали наш вопрос только абстрактно и делаемые нами общие предположения слишком удаля­лись от действительности. Эта часть предназначена раз­вить метод, вводящий в вычисление основные данные, ко­торые нужно принимать во внимание, чтобы найденные результаты были применимы на практике».

Четвертая часть разделяется на 6 вопросов, которые посвящены способностям и честности голосующих. Кон- дорсе придает в этих вопросах большое значение едино- гласности решений.

.Во введении Кондорсе говорит о пятой части. «Пред­метом этой последней части является применение к не­которым примерам развитых нами принципов. Нужно было бы желать, чтобы это применение могло быть сде­лано на основании действительных данных, но трудности получить эти данные, трудности которых не мог надеять­ся преодолеть частный человек, принудили удовольство­ваться применением теоретических принципов к простым предположениям, чтобы показать, по крайней мере, ход, которому могли бы следовать для действительного при­менения те, кто сумел бы получить действительные дан­ные, долженствующие служить для этого применения».

Далее рассматривается четыре примера.

Первый пример рассматривает форму суда по граж­данским делам, второй — по уголовным, третий пример касается способа выборов кандидатов на должности, четвертый — относится к вероятности правильности ре­шения большого собрания.

Для понимания того, как складывались основные по­нятия и принципы теории вероятностей, а также, в какие заблуждения попадали совсем не второстепенные мате­матики своего времени, интересен «Мемуар об исчисле­нии вероятностей» Кондорсе. Этот мемуар состоит из 6 частей. В первой части Кондорсе рассматривает «Пе­тербургскую задачу». Во второй части, очень краткой (всего 8 стр.), обсуждается вопрос о применении теорий вероятностей к астрономическим наблюдениям. Третья часть начинается следующими словами: «Уничтожение феодального строя оставило существовать в Европе боль­шое число эвентуальных прав, которые можно свести в две основные группы; одни из них оплачиваются при переходе права собственности через продажу, а другие через наследование по прямой и боковой линиям, или только боковой линии». Эта часть работы Кондорсе по­священа установлению суммы, которую следует упла­тить, чтобы освободить имущество от этих феодальных прав.

Пятая часть — «О вероятности необычайных событий» и шестая — «Применение принципов предыдущей части к некоторым-вопросам критики» тесно связаны между собой.

В шестой части Кондорсе вначале останавливается на вероятности событий, указывая, что «не следует пони­мать под собственно вероятностью события отношение числа имеющих место сочетаний к общему числу сочета­ний.

Например, если из 10 карт извлекается одна карта и свидетель говорит мне, что это была именно эта карта, то собственно вероятность этого события, которую нужно сопоставить с вероятностью, рождающейся из свидетель­ства, не есть вероятность извлечь эту карту, которая будет 1/10, а вероятность извлечь эту карту предпочти­тельно, чем другую какую-либо определенную карту, и так как все эти вероятности одинаковы, то собственно вероятность будет в этом случае 1/2. Это различие явля­ется необходимым, и его достаточно для объяснения про­тивоположности мнений двух групп философов. Одни одинаковые свидетельства могут производить для нео­бычного события вероятность, равную той, которую они производят для обычного события, и что если, например, я верю здравомыслящему человеку, который сказал мне, что женщина родила мальчика, то я должен одинаково верить ему, если бы он сказал мне, что она родила четы­рех. Другие, напротив, убеждены, что свидетельства не сохраняют всю свою силу для необычных и мало вероят­ных событий, и они поражаются тому, что если извлека­ется один билет из 100000 и человек достойный доверия говорит, что первый выигрыш выпал, например, на номер 256, но никто не усомнится в его свидетельстве, хотя можно заключать пари 99 999 против одного, что это событие не произойдет. Однако на основании предшест­вующего замечания видно, что во втором случае, собст­венно вероятность события будет 1/2 и свидетельство со­храняет всю свою силу, тогда как в первом случае, поскольку собственно вероятность является очень малой, то вероятность свидетельства будет почти ничтожной. Поэтому я предлагаю принимать за собственно вероят­ность события отношение числа сочетаний, производя­щих это или подобное событие, к общему числу соче­таний.

Таким образом, в случае, когда извлекается одна из десяти карт, число сочетаний, при которых извлекается какая-либо определенная карта, есть единица, и число сочетаний, при которых будет извлечена какая-либо дру­гая определенная карта, тоже есть единица, значит, соб­ственно вероятность выразится через 1/2».

После ряда примеров Кондорсе применяет свои рас­суждения к достоверности некоторых положений из исто­рии Рима.

Считается, что продолжительность царствования семи императоров Рима составляет 257 лет. Проверив досто­верность этого утверждения, Кондорсе приходит к выво­ду, что его собственно вероятность составляет 1/4.

Для утверждения, что авгур, Акциус Нэвиус рассек ножом камень, он исчисляет собственно вероятность 2/1000000.

Мы видим, что понятие собственно вероятности нео­боснованно. Его противопоставление понятию вероятно­сти чисто субъективное и математически нечеткое. В на­уке оно не сохранилось. Его возникновение показывает, какими сложными путями вырабатывалось понятие ве­роятности.

Вообще вся направленность работы Кондорсе оказа­лась в целом несостоятельной. Не имея четких представ­лений о применимости теории вероятностей и отыскивая возможные применения, Кондорсе пошел по ложному пути. Все попытки применить теорию вероятностей к ус­тройству судов, решениям собраний и т. п., хотя еще до­вольно долго и продолжались после Кондорсе (и не им были начаты), временами привлекая к себе значитель­ные усилия многих математиков, со временем были от­вергнуты как не входящие в компетенцию теории вероят­ностей. Но из этого не следует, что все, что написано по этим вопросам, следует зачеркнуть и никогда к этим ра­ботам не возвращаться. Мы видим, что в ходе своих рас- суждений Кондорсе иногда ставил конкретные математи­ческие задачи, которые были определенным вкладом в развитие теории вероятностей.