ТЕОРИЯ сварочных процессов

Распространение теплоты от неподвижных источников

МГНОВЕННЫЙ ТОЧЕЧНЫЙ источник

Приращение температуры в точках бесконечного тела в слу­чае действия мгновенного точечного источника будет выражено следующим уравнением:

АТ= , Q '3/2 е-я,/(4«0, (6.1)

ср(4яШ)3/2 v ’

где ДТ — приращение температуры в рассматриваемой точке с координатами х, у, z; / — время, отсчитываемое с момента вве­дения теплоты; R — -jx2 - f - у2 + z2 — расстояние до рассматривае­мой точки от начала координат, где была введена теплота.

При t=0 во всех точках, где R^= 0, имеем ДГ=0. В точке R=0 при /=0 имеем ДТ —>■ оо. В правильности выбора постоян­ного множителя в уравнении (6.1) можно убедиться путем вы­числения интеграла, выражающего полное количество введенной теплоты во всем объеме бесконечного тела. Это количество в лю­бой момент времени равно Q, так как тело в данном случае не отдает теплоты в окружающее пространство. Распределение тем­пературы при распространении теплоты от мгновенного источ­ника теплоты, приложенного в точке О на поверхности полубес - конечного тела (рис. 6.1), аналогично (6.1) для бесконечного

АТ--

Распространение теплоты от неподвижных источников

оТ. К

.e-R*/(4at) (6.2)

Плоскость хОу

тела. Это объясняется тем, что граница тела хОу при­нимается непропускающей теплоту. Так как теплообмен на границе хОу отсутствует и теплота распространяется только в одну сторону от плоскости хОу, то процесс будет выражаться уравнени­ем (6.1) с заменой в нем величины Q величиной 2Q:

2 Q

ср(4ла1)3/2

Рис. 6.1. Распределение приращений тем­пературы по радиусу R в различные мо­менты времени в процессе распростране­ния теплоты от мгновенного точечного источника в полубескоиечном теле (<? = 2000Дж, ср = 4 Дж/(см3 • К), а = = 0,1 см2/с)

Теплоотдачей с поверх­ности хОу можно пренеб­речь, потому что распреде­ление теплоты в полубеско - нечном теле в основном за­висит от распространения ее путем теплопроводности в глубь тела, а не от тепло­отдачи. Теплоотдача с по­верхности безусловно оказы­вает некоторое влияние на распределение температуры, но в ряде случаев может не учитываться.

Изотермические поверхности, описываемые уравнениями (6.1) и (6.2), представляют собой сферические поверхности. Убывание температуры по радиусу выражается множителем e~R2^ia‘ в то время как множитель Q/[cp(4nal )3/2] показывает изменение тем­пературы точки R = 0 во времени. Наибольшая температура всегда в точке R = 0.

Структура уравнения (6.2) позволяет установить влияние количества введенной теплоты и теплофизических свойств мате­риала на температуру отдельных точек тела. Чем больше Q, тем выше температура точек тела в любой момент времени. Прира­щение температуры прямо пропорционально количеству введен­ной теплоты Q (рис. 6.2, а).

Температура точек тела, расположенных на различных рас­стояниях R от точки О, вначале повышается, достигает максиму­ма, а затем уменьшается (рис. 6.2, б). Чем дальше от места вве­дения теплоты находится точка, тем позже достигается макси­мальная температура и тем ниже ее значение. С течением време­ни конечное количество теплоты растекается в неограниченном объеме полубесконечного тела и приращения температуры всех точек стремятся к нулю.

При постоянной теплоемкости ср увеличение коэффициента

Распространение теплоты от неподвижных источников

6) AT

Распространение теплоты от неподвижных источников

R=0

т

,1,5 с

м

^=5

О! Z 3ft

Рис. 6.2. Приращения температур от мгновенного точечного источника в полу­бесконечной теле в зависимости:

а — от количества введенной теплоты Q; б — от расстояния R до точки О, в — от тепло­емкости материала ср

теплопроводности металла к приводит к ускорению процесса распространения теплоты. Максимальные достигаемые значения приращений температуры в различных точках остаются теми же самыми, но продолжительность времени с момента введения теп­лоты до достижения максимальной температуры сокращается во столько раз, во сколько раз повышается теплопроводность мате­риала к. Указанная закономерность обнаруживается, если преоб­разовать уравнение (6.2), приняв а = к/(ср):

SHAPE * MERGEFORMAT

Распространение теплоты от неподвижных источников

АТ--

(6.3)

2Qi/cp —r’c/iai. i)

(4лХ03/2

Коэффициент к входит как сомножитель времени t. Поэтому с увеличением к картина распределения приращения температур в теле остается подобной, но процесс изменения температур ускоряется.

Теплоемкость металла ср при постоянной теплопроводности к оказывает более сложное влияние на процесс распространения теплоты в полубесконечном теле. Изменение теплоемкости можно представить как одновременное действие двух процессов: изме­нения количества введенной теплоты и изменения скорости рас­пространения теплоты. Запишем уравнение (6.2) иначе:

-R7[4«/7p)]

(6.4)

А Т--

[4иМ/(Ср)]3'2

2Q/(cp)

Увеличение теплоемкости ср при к = const равносильно одно­временному уменьшению Q и к. Приращение температуры точек тела уменьшается при одновременном замедлении процесса рас­пространения теплоты. На рис. 6.2, в представлены для сравне­ния термические циклы в одной и той же точке тела при раз­ных ср.

Приращение температуры в пластине от мгновенного линей­ного источника с равномерным распределением теплоты по тол­щине при отсутствии теплоотдачи с поверхностей может быть получено путем интегрирования температурных полей (6.1) от мгновенных точечных источников:

(6.5)

cpinat

где r=-jx2--y2 — расстояние до рассматриваемой точки от нача­ла координат, где была введена теплота Q; 6 — толщина пла­стины.

Температурное поле симметрично относительно оси 2, тем­пература равномерна по толщине.

Влияние Q, X и ср на процесс распространения теплоты и на распределение температур будет таким же, как и в случае мгно­венного точечного источника теплоты в полубесконечном теле.

Изменение температуры во времени качественно протекает так же, как и в полубесконечном теле, т. е. температура отдель­ных точек пластины вначале повышается, достигает максимума, а затем уменьшается. Более удаленные точки нагреваются до меньших максимальных температур. Однако распространение теплоты в. пластине происходит более стесненно, чем в полубес­конечном теле. В то время как в полубесконечном теле теплота распространяется в направлении трех координатных осей, х, у, z, в пластине теплота распространяется только в двух направле­ниях — х и у. Это приводит к тому, что процесс изменения тем­пературы во времени происходит в пластине медленнее.

Теплоотдача через поверхности пластины оказывает более заметное влияние на поле температур, чем в полубесконечном теле. При расчетах температур в пластинах в ряде случаев, в особенности если пластины тонкие, необходимо учитывать теп­лоотдачу в окружающую среду. Процесс распространения теп­лоты в пластине с поверхностной теплоотдачей выражается урав­нением (6.5), в которое введен сомножитель e~bi (см. п. 5.2):

(6.6)

Д Т _ Q/6 с-г2/(Ш) - Ы

ср(4ла/)

Уравнение (6.6) содержит множитель e~bt, который учитывает теплоотдачу в окружающее пространство, но не отражает того факта, что теплота отдается с поверхности пластины и темпера­тура по ее толщине неравномерна. В тонких пластинах, несмотря на значительную теплоотдачу, неравномерность распределения температуры по их толщине незначительна и ею можно прене­бречь. В некоторых случаях неравномерность температуры по толщине пластин может достигать нескольких десятков градусов
(см. п. 7.9). Чем продолжительнее процесс распространения теплоты, тем большее значение имеет теплоотдача в изменении температуры пластины.

МГНОВЕННЫЙ ПЛОСКИЙ источник

Приращение температуры от мгновенного плоского источника Q2=Q/F в стержне без теплоотдачи выражается уравнением

AT = --QLF e-*V(4aP (67)

cp(4naf)1/2

Приращение температуры зависит только от координаты х в направлении вдоль стержня и времени t.

Теплота от мгновенного плоского источника в стержне рас­пространяется в основном в направлении вдоль стержня. Если пренебречь теплоотдачей боковых поверхностей, то температуру по поперечному сечению стержня можно считать равномерной, а процесс распространения теплоты — линейным. В случае за­метной теплоотдачи с поверхности температура по поперечному сечению стержня будет неравномерной. Теплоотдачу учитывают путем введения в уравнение (6.7) сомножителя е, который отражает лишь понижение средней температуры в сечении, но не выражает неравномерности температуры по толщине стержня:

АТ = —Ш—е-*3^-ь‘. (6.8)

ер(4ясЦ)1/2

Здесь 6, так же как и для пластины, представляет собой коэффициент температуроотдачи для стержня:

b = ap/(cpF),

где р — периметр поперечного сечення стержня, см.

Тепловой поток в воздух в единицу времени с единицы длины стержня в случае одинаковой начальной температуры стержня Ти и среды Гс равен q—apAT. Тепловой поток в стержне еще более стеснен по сравнению с пластиной и массивным телом, поэтому процесс изменения температуры во времени происходит еще медленнее, чем в пластине.

НЕПРЕРЫВНО ДЕЙСТВУЮЩИЕ НЕПОДВИЖНЫЕ ИСТОЧНИКИ

Процесс нагрева тела непрерывно действующим неподвиж­ным источником теплоты можно представить как серию дейст­вующих друг за другом мгновенных источников теплоты. Ис­пользуя принцип наложения, можно найти распределение темпе­ратур в случае непрерывно действующего источника теплоты путем интегрирования температурных полей от отдельных источ­ников.

Распространение теплоты от неподвижных источников

-«7(440,

(6.10)

замену

Рис. 6.3. Изменение температуры во времени при действии неподвижного источника тепло­ты [ {У = 25 В; / = 100 А; г = 0,6; Д = = 0,38 Вт/(см-К); ср = 4,8 Дж/(см3* К)] в точках на расстояних 0,7, 1 и 1,5 см от источника:

2qdt

ср(4ла1)3/2

Вводим R2/(at)= "2 ем

дг=—-—

2лХ/?

где

Ф(и)=—e~uldu.

■уло

Из выражения (6.11) следует, что при t = const приращение температуры убывает с увеличением расстояния R несколько

быстрее, чем 1 /R, так как и также уменьшается с ростом R.

На рис. 6.3, а показано нарастание температуры отдельных точек во времени. В точках, расположенных ближе к источнику теплоты, предельная температура достигается быстрее.

Пример 1. На поверхности массивного тела из низкоуглеродистой стали горит неподвижная дуга, которую можно считать точечным непрерывно дейст­вующим неподвижным источником теплоты. Определить приращение темпера­туры в точке на расстоянии R= 1,5 см спустя / = 20 с после начала нагрева прн t/=30B; /=200 А; к. п. д. г| = 0,7. По табл. 5.1 находим значение теплофизн - ческих коэффициентов:

Х = 0,4 Вт/(см-К); а = 0,08см2/с.

и и интегриру-

;i—Ф(«)]э (елі)

а — точечный источник теплоты в полубеско - нечном теле; б — линейный источник теплоты в бесконечной пластине б = 1,2 см; в — плоский источник теплоты в бесконечном стержне F = — 8 см2

Точечный источник теплоты на поверхности полубесконечного тела.

Предположим, что мгно­венный точечный источ­ник теплоты мощностью q действовал в течение бесконечно малого от­резка времени dt и с тех пор прошло время t. Тог­да приращение темпера­туры точек тела на осно­вании уравнения (6.2)

Если источник теплоты не прекращал своего дей­ствия в течение времени t, то приращение темпера­туры определится путем интегрирования выраже­ния (6.9) в пределах от О до t: .

А Т=

л <

/г <

Л

м

V

2__

а) Т„К

WOO

800

600

WO

200

Определяем эффективную МОЩНОСТЬ

q = ц VI = 0,7 • 30 • 200 = 4200 Вт.

Находим

ф(«) = ф(0,59) = 0,596.

Приращение температуры определяем по формуле (6.11)

4200

АГ=2.3,Т4.0,4-.1,5(1-°'596^450К-

Линейный источник теплоты в пластине. Рассмотрим случай линейного источника теплоты в пластине без теплоотдачи. Так же как и для точечного источника теплоты, из уравнения (6.6) находим приращение температуры:

dT = —e-'V(4*>. (6.12)

6ср(4лсЦ)

Интегрируем от 0 до t и вводим замену z= r2/(4at):

ДГ =

4яХ6

<-7(4af)

где Ei — интегральная показательная функция.

Изменение температуры во времени показано на рис. 6.3, б. В отличие от точечного источника теплоты в полубесконечном теле, где температуры отдельных точек стремятся к определен­ным значениям, в пластине температуры точек возрастают бес­предельно. Непрерывное нарастание температуры объясняется тем, что в пластине тепловой поток стеснен и теплота не успевает перетекать в более холодные зоны. При наличии теплоотдачи с поверхностей пластины (см. п. 5.2) температуры точек стре­мятся к определенным конечным значениям.

Пример 2. Пластина из низкоуглеродистой стали толщиной 6 = 0,5 см нагре­вается неподвижной дугой мощностью q= 4000 Вт. Определить время, необхо­димое для нагрева на Д7" = 800К пятна диаметром 2 см. Теплофизические коэф­фициенты находим из табл. 5.1: X = 0,4 Вт/(см - К); а=0,08см2/с.

К-вг)-

Используем формулу (6.13)

, ДГ4лХ5 800-4-3,14-0,4-0,5

* I ) =---------------- —- --------- 4000------- = -0’502-

По таблицам для интегральной показательной функции находим, что значе­ние аргумента —r2/(4at) = — 0,55; / = г2/(4а-0,55)= 6 с.

Плоский источник теплоты в стержне. Рассмотрим случай нагрева плоским источником теплоты полубесконечного стержня без теплоотдачи. Поступая аналогично предыдущим случаям, из выражения (6.8) с учетом Ь = 0 находим приращение темпе­ратуры:

dT= 2ЯЁ* e-*V(ta0. (6.14)

Fcp(4na<) 1

Интегрируя от 0 до t и вводя замены, находим

Распространение теплоты от неподвижных источников

Так же как и в случае линейного источника теплоты, темпе­ратура точек стержня беспредельно возрастает с ростом t (рис.

6.3, в). Нагрев тел неподвижными источниками теплоты, дейст­вующими бесконечно длительное время, рассмотрен в п. 6.2.

Неподвижный непрерывно действующий источник теплоты переменной мощности. Определение приращений температуры точек тела при действии источника теплоты переменной мощно­сти принципиально ничем не отличается от ранее рассмотренных случаев с источниками теплоты постоянной мощности. Если мощ­ность источника теплоты изменяется во времени, т. е. q = q{t), то необходимо взамен постоянной величины q в уравнения (6.9), (6.12) и (6.14) подставить функцию q(t), а затем провести интег­рирование. Разумеется, при этом может оказаться, что интегралы взять невозможно. В таких случаях их определение следует про­изводить численно, составляя таблицы или программу для ЭВМ.

Выравнивание температур. Определять температуру точек тела в процессе выравнивания, когда источник теплоты прекра­тил свое действие, можно двояко.

Во-первых, начальное неравномерное распределение темпера­туры Тн можно рассматривать как некоторую температуру, воз­никшую вследствие выделения теплоты мгновенными элементар­ными источниками теплоты в момент времени t= 0. Зная закон распределения температуры от отдельного мгновенного источ­ника теплоты, можно путем интегрирования по объему тела определить температуру от суммарного действия всех элемен­тарных источников, т. е. описать процесс выравнивания темпе­ратуры. Рассмотрим в качестве примера выравнивание темпе­ратуры в бесконечном стержне сечением F, который при f=0 был нагрет до Тя на участке длиной 21; будем полагать, что остальная часть стержня находилась при Т = 0 (рис. 6.4). Выде-

Т

Распространение теплоты от неподвижных источников

x-(x'+dx') х

I

I

о

х

Рис. 6.4. Начальное распределение температуры 7"н в стержне на участке 2/

Рнс. 6.5. Процесс выравнивания температуры в неограниченном стерж­не, участок которого 21 = 2 см нагрет при / = 0 до 7'н= 1000/(; а = 0,1 см2/с:

а — распределение температуры в различные моменты времени; 6 — кривые изменения температуры во времени, в — стержень

лим некоторый элементарный слой толщиной dx', в котором при /=0 содержится количество теплоты dQ = срТпЕ dx'. Будем рас­сматривать его как мгновенный плоский источник теплоты. Дан­ный элементарный источник теплоты находится от рассматри­ваемой точки А на расстоянии х — {х’ --dx'). Следовательно, при­ращение температуры в точке А через время t от данного источ­

Процесс выравнивания описываемый уравнением ставлен на рис. 6.5.

Второй прием, с помощью которого можно рассчитать процесс выравнивания, основан на использовании фиктивных ис­точников и стоков теплоты. Его целе­сообразно применять в тех случаях, когда известен закон действия источника теп­лоты вплоть до начала процесса вырав­нивания. Например, известно, что на поверхности полубесконечного тела в течение времени t0 действовал точечный источник теплоты постоянной мощности q

-MSS?*****'””- (*•'«

Полная температура в точке А от всех элементарных источ­ников определится путем интегрирования на участке от —I до

cpT9dx’

;=^К#)-ф(дё=)]

ника теплоты составит dTА

dQ/F

Тл4

е-(*-х')7(4аг)

Ср(4яЩ)|/2

У4at '

(6.17) температуры, (6.17), пред-

тпд

ш

I

lift

,'Ki I

1 .U

t-t

Рис. 6.6. Схема действия фиктивного источника / и фиктивного стока теп­лоты II для определения выравнивания темпера­туры

неподвижный (рис. 6.6).

Искусственно можно представить, что после прекращения действия источника теплоты q продолжают действовать одновре­менно в одной и той же точке фиктивный источник теплоты q и фиктивный сток теплоты —q. Под стоком теплоты будем пони­мать такой источник теплоты, действие которого вызывает отри­цательное приращение температуры. Фиктивный источник и фик­тивный сток теплоты будут взаимно уничтожаться, т. е. будет соблюдаться условие о прекращении существования действи­тельного источника теплоты начиная с момента времени t = t0. Изменение температуры в период выравнивания определится как разность приращений температур источника ДГИ и стока теплоты АД. Например, для точечного источника, используя выражение

(6.11) , находим

Д7’=ДГи-ДГс=-4-[ 1_ф(_5_У|

1_фГ _«—]} =

2лIR ( L ^4a(t-tо)

_{ф[---------------------------- * 1_ф(_«_и (6.18)

2nXR 1 L - v/4a(/-/o)J 4 УїоГ'

где t — время от начала действия источника теплоты до рассмат­риваемого момента времени; to — продолжительность действия источника теплоты.

Аналогично можно определить выравнивание температур после окончания действия линейного или плоского неподвижного источника теплоты.

Пример 3. Для условий примера 1 определить приращение температуры течки 7? = 1,5 см спустя 25 с после прекращения горения дуги. Время нагрева t0 =20 с.

Используем формулу (6.18). Полное время t — 45с.

АГ 4200

Э | Г 1,5 ] Г 1,5 ] 1

2-3,14-0,'

= 1115[Ф(0,53)-Ф(0,4)]= 132 К.

,4-1,51 L 4-0,08(45—20) J L 4-0,08-454 >

ТЕОРИЯ сварочных процессов

Граничные условия

Чтобы решить дифференциальное уравнение теплопроводно­сти, необходимо задать распределение температур в начальный момент времени (начальное условие) и условия взаимодействия тела с окружающей средой на его границах (граничные условия). Начальное условие определяется …

Основные допущения и упрощения, принятые в классической теории распространения теплоты при сварке

На современном уровне развития математики аналитическое решение уравнения теплопроводности в общем виде (5.21) еще не найдено, однако при введении некоторых допущений и упрощений можно получить пригодные для практического использования ча­стные …

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Сложный процесс изменения температуры точек тела с коор­динатами jc, у, z во времени t описывается дифференциальным уравнением теплопроводности. Для вывода этого уравнения необ­ходимо рассмотреть баланс теплоты в некотором элементарном объеме …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.