ТЕОРИЯ сварочных процессов

Движущиеся источники теплоты

Для составления уравнений, описывающих процесс распро­странения теплоты от движущихся непрерывно действующих источников, используют принцип наложения. С этой целью весь период действия источника теплоты разбивают на бесконечно малые отрезки времени dt. Действие источника теплоты в течение бесконечно малого отрезка времени dt представляют как дейст­вие мгновенного источника теплоты. Суммируя процессы распро­странения теплоты от действующих друг за другом в разных мес­тах тела мгновенных источников теплоты, получают уравнение температурного поля при непрерывном действии движущегося источника теплоты.

ТОЧЕЧНЫЙ ИСТОЧНИК НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ТЕЛА

Точечный источник теплоты постоянной мощности q движется с постоянной скоростью v прямолинейно из точки О о в направ­лении оси х (рис. 6.7, а). Допустим, что с момента движения источника прошло время tH и он находится в точке О. Вместе с источником теплоты перемещается подвижная система коорди­нат, начало которой совпадает с местоположением источника теплоты, т. е. с точкой О. Требуется определить приращение температуры точки А{х, у, z).

Для этого запишем приращение температуры в точке А от мгновенного точечного источника теплоты, который действовал в течение времени dt в точке О'. С момента выделения теплоты в точке О' прошло время t. Используем уравнение (6.2), полагая

Q = qdt, а расстояние О'А = sj{x + vt)‘2+ у2+ z2. Тогда

(6.19)

(*+1>02+уЧг*

Движущиеся источники теплоты

Суммируем приращения температуры от всех элементарных источников теплоты на линии ОО0. Время распространения теп­лоты от мгновенного источника в точке О равно нулю, а от мгновенного источника в точке Оо равно tn. Поэтому интеграл берем в пределах от 0 до tK:

(*+оОЧуЧ2*

Движущиеся источники теплоты

(6.20)

Движущиеся источники теплоты

а) *

Я

2

В) Оо 0' О А(Х)

Движущиеся источники теплоты

Рис. 6.7. Схема движения непрерывно действующего источника мощностью q, перемещающегося со скоростью и:

а — точечный на поверхности полубесконечного тела; б — линейный в бесконечной пластине; в — плоский в бесконечном стержне

После преобразований получим

Движущиеся источники теплоты

4 о 4а/

(6.21)

где /?2 — х24-у24-z2 (рис. 6.7, а).

Уравнение (6.21) выражает приращения температур в полу­бесконечной теле в стадии теплонасыщения, т. е. когда темпера­тура отдельных точек непрерывно повышается. Приращение тем­пературы в стадии теплонасыщения численно определяют по номограмме, приведенной в п. 6.3.

Предельное состояние. После продолжительного действия источника теплоты достигается так называемое предельное со­стояние, когда температура точек в подвижной системе коорди­нат перестает изменяться во времени. Такое состояние достига­ется при £н—>-оо и называется квазистационарным.

В этом случае уравнение (6.21) интегрируется после подста­новки R2/{Aat) = и и принимает вид

Движущиеся источники теплоты

(6.22)

Температурное поле предельного состояния симметрично отно­сительно оси Ох (рис. 6.8). Изотермы на поверхности хОу пред­ставляют собой овальные кривые, которые сгущены впереди ис­точника теплоты и раздвинуты позади него (рис. 6.8, а). Изотер­мические поверхности как бы образованы вращением изотерм относительно оси Ох. Смещенность изотерм относительно друг друга и их вытянутость зависят от безразмерного параметра vR/(2a). В области малых значений vR/(2a) изотермы близки к окружностям, при больших значениях они вытянуты вдоль оси Ох.

Распределение приращения температуры по поверхности мас­сивного тела на расстоянии у, равном 1, 2, 3 см, представлено соответствующими кривыми на рис. 6.8, в. Температура точек при приближении источника теплоты резко возрастает, дости­гает максимума, а затем убывает. Снижение температуры проис­ходит с меньшей скоростью, чем ее подъем. Максимум темпера­туры в точках, находящихся не на оси Ох, достигается после прохождения источником теплоты плоскости, параллельной yOz, в которой находится рассматриваемая точка. В более удаленных от оси Ох точках максимальная температура достигается позже и имеет меньшее численное значение по сравнению с точками, расположенными ближе к оси Ох. Штриховой линией на рис. 6.8, а соединены точки с максимальной температурой на плоско­сти хОу. Поверхность раздела областей нагрева и остывания получается путем вращения штриховой кривой относительно оси Ох. Область впереди штриховой кривой нагревается, поза­ди — остывает.

Движущиеся источники теплоты

Движущиеся источники теплоты

Рис. 6.8. Приращение температур в предельном состоянии при движении точечного источника теплоты на поверхности полубес- конечного тела д = 4000Вт, v — 0,1 см/с, а = 0,1 см2/с, Х =

= 0,4 Вт/(см*К) ]:

а — изотермы на поверхности хОу (штриховая кривая разделяет область нагрева и область остывания), б — изотермы в поперечной плоскости xOz, проходящей через центр источника; в — распределение прираще­ний температуры по прямым, параллельным оси х и расположенным на поверхности массивного тела, г — распределение приращений темпера­туры по прямым, параллельным оси у н лежащим в поперечной плоско­сти xOz; д — схема расположения координатных осей

Движущиеся источники теплоты

Неподвижный источник теплоты. Если в уравнении (6.22) и = 0, то это будет случай стационарного температурного поля в полубесконечном теле

АТщ=д/(2яХЯ). (6.23)

Температура в направлении от источника теплоты убывает обратно пропорционально R, т. е. по закону гиперболы. Прира­щения температуры на данном расстоянии R прямо пропорцио­нальны мощности источника теплоты q и обратно пропорциональ­ны коэффициенту теплопроводности к. Распределение темпера­туры не зависит от теплоемкости материала ср.

Пример 4. По поверхности массивного тела движется точечный источник теплоты мощностью 6000 Вт. Определить расстояние от источника теплоты до конца изотермы Д7'= 700 К. Коэффициент теплопроводности металла X — = 0,4 Вт/(см-К).

Используем формулу (6.22). Так как позади источника теплоты по оси R=—x, то ДТнр = q/(2nXR), откуда R= q/(2nXTn?) = 6000/(2-3,14-0,4-700) = = 3,44 см.

ЛИНЕЙНЫЙ ИСТОЧНИК В БЕСКОНЕЧНОЙ

ПЛАСТИНЕ

Линейный источник теплоты мощностью q с равномерным рас­пределением ее по толщине пластины движется с постоянной скоростью и (см. рис. 6.7,6). Граничные плоскости z = 0 и z — 8 отдают теплоту в окружающую среду, температуру которой Тс принимаем равной начальной температуре тела Г„. Коэффициент теплоотдачи а.

Уравнение, описывающее приращение температур в пластине, получим так же, как в случае точечного источника теплоты. При­ращение температуры в точке А от мгновенного линейного источ­ника теплоты, который действовал в точке О', составит в соот­ветствии с уравнением (6.6)

dT= ■ Ne ш. (6.24)

6cp(4nat)

Интегрируя от 0 до и преобразовывая, получим

VX / v7 г1

ДТ=-Э—е~~^ (6.25)

4яМ> JQ t к '

где г2 = х2--у2.

Уравнение (6.25) выражает приращение температур в пласти­не в стадии теплонасыщения. Предельное квазистационарное состояние достигается при оо. В этом случае уравнение (6.25) интегрируется и принимает вид

<6-26>

где Ко—функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка;

Ь = -~ (см. п. 5.2 и 6.1).

срб v ’

Предельное состояние. При нагреве пластины линейным ис­точником теплоты распределение температуры по ее толщине согласно уравнению (6.26) равномерно. Следует, однако, иметь в виду, что в действительности из-за наличия теплоотдачи с по­верхности пластины всегда наблюдается некоторая неравномер­ность распределения температуры по ее толщине. Эта неравно­мерность будет тем значительнее, чем больше величина 4ba/v2. Кроме того, при расчете температуры с учетом теплоотдачи коэф­фициент теплоотдачи а принимался не зависящим от темпера-

а)

у£м

Движущиеся источники теплоты

Движущиеся источники теплоты

Рис. 6.9. Приращение температур в предельном состоянии при дви­жении линейного источника теплоты в бесконечной пластине [<7 = = 4000 Вт, v = 0,1 см/с, 6 = 1 см, а = 0,1 см2/с; X = 0,4 Вт/ (см • К), Ь = 2,8-1031 /с]:

а — изотермы на поверхности пластины (штриховая кривая — точки с мак­симальными температурами); б — распределение приращений температуры в сечениях, параллельных оси х; в — распределение приращений температуры в сечениях, параллельных оси у; г — схема координатных осей

туры и имел некоторое среднее значение. Фактически это озна­чает, что в области высоких температур теплоотдача на самом деле будет происходить интенсивнее, а в области низких темпе­ратур слабее, чем это получается из расчета.

Картины распределения приращения температуры в пластине (рис. 6.9) и в плоскости хОу массивного тела (см. рис. 6.8) качественно имеют много общего. Отличие заключается в том, что изотермы в пластине еще более вытянуты, чем в полубеско - иечном теле. Степень вытянутости изотерм зависит не только от условий сварки и теплофизических свойств материала, но и от теплоотдачи в воздух.

Неподвижный источник. Если в уравнении (6.26) принять v = 0, то получим уравнение стационарного температурного поля в пластине:

(6.27)

А Г,

К

пр

2яХб

(л/?)-

Температурное поле осесимметрично. В отличие от полубеско - нечного тела, где стационарное состояние достигается благодаря значительному теплоотводу в трех направлениях, стационарное состояние в пластине возможно лишь при наличии теплоотдачи в окружающее пространство. Если теплоотдача отсутствует, т. е. б-v0, температура АТпр возрастает беспредельно, так как при

V6F/W0 значение функции Ка{л1 Ьг2/а) стремится к бесконеч­ности. Распределение температуры при стационарном процессе в пластине зависит не только от мощности и коэффициента теп­лопроводности К, но и от коэффициента теплоотдачи а и толщи­ны пластины 6.

Пример 5. Построить график изменения температуры в пластине на участке от *=2 см до х=—8 см, р= 2 см (см. рис. 6.7,6) при нагреве ее движущимся линейным источником теплоты, когда достигнуто предельное квазистационар - ное состояние; (?=4000Вт, п = 0,1 см/с, 6=1 см; а = 0,085 см2/с, Х=0,42 Вт/(см-К); ср = 4,9 Дж/(см3-К).

Коэффициент теплоотдачи а находим по графику, приведенному на рис. 5.6 для Т=900 К; а=6- 1(Г3 Вт/(см2-К).

Перед вычислением определяем необходимые коэффициенты:

6 = 2а(ср6) = 2,45-10-3 с-1; V v'^/^a'1) + Ь/а = 0,612 см-1;

—о/(2а)= -0,59 см"'; q/(2лЩ = 1515 К-

Температуры определяем для точек х=2 0; —2; —4; —6; —8 см по формуле (6.26). Для удобства вычислений результаты вносим в таблицу в такой последо­вательности:

X., СИ

г, см

-vx/{2 а)

е-«/(2.)

и = г

Ко («•)

А Г, к

Уй+А

v 4 а а

2

2,83

— 1,18

0,307

1,73

0,1593

74

0

2

0

1

1,22

0,310

470

_ 2

2,83

+ 1,18

3,25

1,73

0,1593

785

—4

4,47

+2,36

10,59

2,73

0,0476

763

-6

6,32

+3,54

34,46

3,87

0,0129

673

—8

8,23

+4,72

112,2

5,03

0,00357

607

При больших значениях аргумента и = r-^v‘2/(4а2) 4- Ь/а (свыше 10) зна­чения Ко(и) можно вычислять по асимптотической формуле

Ко (и) » e-“VvM11 - 1/(8и)].

ПЛОСКИЙ ИСТОЧНИК В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ

Представим, что плоский источник теплоты ПОСТОЯННОЙ мощ­ности q равномерно распределен по поперечному сечению стерж­ня F и перемещается с постоянной скоростью v в направлении вдоль стержня (см. рис. 6.7, б). Боковая поверхность отдает теплоту в окружающую среду при постоянном коэффициенте теплоотдачи а.

Приращение температуры в точке А от мгновенного плоского источника, который действовал в точке О' t с назад, составит

qdt

dT

(6.28)

Fcp (4ла<)1,

о—(* + »OV(4oO — bt

Начало координат движется вместе с источником теплоты и находится в точке О.

Интегрируем приращения температуры от всех мгновенных источников теплоты в пределах от 0 до t„-

■(£ + *)'

л

,1/2

-27*

(6.29)

cpF (4яа)1/2

А Г =•

Уравнение (6.29) описывает приращение температуры в плас­тине в стадии теплонасыщения. Предельное квазистационарное состояние достигается при t„ оо. В этом случае уравне­ние (6.29) после введения замены t = и2 и интегрирования при­нимает вид

ух -“Ъ5- V

1 + ■

* 2а 2а~

(6.30)

где b - -21L cpF

cpvF^J 1 + 4 ba/v2 (см. п. 6.1 ) .

АТ =■

Предельное состояние. При нагреве стержня плоским источ­ником теплоты распределение температуры по поперечному сече­нию стержня согласно уравнению (6.30) равномерно. В действи­тельности из-за теплоотдачи с поверхности стержня всегда бу­дет наблюдаться некоторая неравномерность распределения тем­пературы по его поперечному сечению.

Распределение температуры вдоль стержня будет характери­зоваться быстрым нарастанием температуры впереди источника теплоты и весьма плавным спадом температуры позади источ­ника (рис. 6.10). Если 4ba/v2 — 0, т. е. теплоотдача отсутствует,

. то температура позади ис­

— 0,8 ПК

4 0,1

0,15

ЇЬа/у

Ц05

лТ

-УХ

Za

-10 -8 -6-ї

УХ

точника теплоты будет ос­таваться постоянной.

• - yjbx2ja

Неподвижный источ­ник. Если в уравнении

(6.30) v = 0, то получим уравнение стационарного температурного поля в стержне:

ЬТ пр =

~2cpF-Jba

(6.31)

Рис. 6 10. Распределение приращений темпе­ратуры по длине стержня при движении плоского непрерывно действующего источ­ника

Стационарное состоя­ние в стержне возможно лишь при наличии тепло­отдачи в окружающую
среду. Распределение приращений температуры при стационар­ном процессе в стержне зависит от к, b, F и eg.

ТЕОРИЯ сварочных процессов

Граничные условия

Чтобы решить дифференциальное уравнение теплопроводно­сти, необходимо задать распределение температур в начальный момент времени (начальное условие) и условия взаимодействия тела с окружающей средой на его границах (граничные условия). Начальное условие определяется …

Основные допущения и упрощения, принятые в классической теории распространения теплоты при сварке

На современном уровне развития математики аналитическое решение уравнения теплопроводности в общем виде (5.21) еще не найдено, однако при введении некоторых допущений и упрощений можно получить пригодные для практического использования ча­стные …

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Сложный процесс изменения температуры точек тела с коор­динатами jc, у, z во времени t описывается дифференциальным уравнением теплопроводности. Для вывода этого уравнения необ­ходимо рассмотреть баланс теплоты в некотором элементарном объеме …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.