СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Передаточные функции линейных систем

Передаточная функция линейной системы определяется как отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразованию Лапласа входной переменной при усло­вии, что все начальные условия равны нулю. Передаточная функция системы (или элемен­та) однозначно описывает динамическую связь между этими переменными.

Передаточная функция существует только для линейных стационарных (с постоян­ными параметрами) систем. В нестационарных системах один или несколько параметров зависят от времени, поэтому преобразованием Лапласа воспользоваться нельзя. Переда­точная функция описывает поведение системы в терминах вход-выход и не несет никакой информации о внутренних переменных и характере их изменения.

Передаточная функция системы масса-пружина получается, если в исходном уравне­нии (2.19) все начальные условия положить равными нулю:

Mv2K(.v) + bsY(s) + kY(s) = R(s). Отсюда находим передаточную функцию:

выход. K(.v) 1

= G(s) = —-= ---------------------

вход R(s) Ms2 +bx+k

Передаточная функция ЛС-цепи, изображенной на рис. 2.13, получается путем запи­си в операторной форме уравнений Кирхгофа относительно напряжений:

(2.40)

и далее

К2(*) = /(*)і-.

Выражая I(s) из (2.40) и подставляя его в (2.41), по­лучим:

Тогда передаточная функция будет иметь вид:

G(s) = ^^=—-—= - J_=_^L., (2.42)

F[(5) flCs+l ts+1 5+1/т

где т = RC есть постоянная времени цепи. Единственный полюс функции G(s) равен s = - 1/т. Выражение (2.42) можно было бы получить сразу, если рассматривать цепь как обычный делитель напряжения, т. е.

Ут№ = —^(f)— (2 43)

F,(s) Z,(.v)+Z2(.v)

где Z,(.v) = Л, Z2(.v) = 1/Су.

Многоконтурная электрическая цепь или подобная ей механическая система с неско - gm. лькими массами описываются системой уравнений относительно переменной пре - образования Лапласа. Решать такие уравнения обычно удобнее с помощью матриц и определителей. С матрицами и определителями можно познакомиться на Web-сайте MCS.

Теперь рассмотрим поведение системы высокого порядка и найдем ее реакцию на входной сигнал после затухания собственного (свободного) движения. Пусть дифферен­циальное уравнение системы имеет вид:

т/7 ,, 1/1-1 ІЛ-1 _ 1П-2

“ У « у а г а г /п...

<2 44)

где j>(t) есть реакция системы, a r(t) — входной сигнал, т. е. возмущающая функция. Если все начальные условия равны нулю, то вход и выход системы можно связать передаточной функцией:

У(Д)=С(л-)Д(Д)=^/г(Д)= ‘ +Р"-^П 2+-+Ро R(S). (2.45)

cj(s) s + q„_S +...+qQ

Реакция системы состоит из свободного движения (определяемого начальными усло­виями) и вынужденного движения, обусловленного входным сигналом. В результате можно записать:

W

Ф) Ф)

где q(s) = 0 есть характеристическое уравнение системы. Если изображение по Лапласу входного сигнала представляет собой дробно-рациональную функцию

d(s)

ТО

У(Ю ==^ ^= Yx (s)+ Y2 (s)+ r3 (s), (2.46)

q(s) q(s) d(s)

где K|(.v)— составляющая, характеризующая свободное движение, У2(5) — составляющая, обусловленная сомножителями q(s), а У3(у) — составляющая, включающая в себя сомно­жители d(s).

Обратное преобразование Лапласа дает:

АО = УМ + УїС) + Уг( /)•

Переходный процесс в системе обусловлен составляющими}^?) +y2(t), a y^fjt) есть устано­вившееся движение системы.

Пример 2.2. Решение дифференциального уравнения

Рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением

d2y. dy „ „ , „

— +4 — + 3y=2r(t)

dt

<Г

dy

с начальными условиями >’(0) = 1. —

dt

Преобразуя это уравнение по Лапласу, получим:

[ґВД - ч<0)] + 4[вВД ->'(0)] + ЗВД = 2R{s). Поскольку /?(.у) = - и _>j(0) = 1, то

■У

s+ 4

Y(s) =

s2+4s+3 s(s2+4s+3)’

где q(s) = s'+ 4s + 3 = (s + 1 )(s + 3) = 0 есть характеристическое уравнение, a d(s) = s. Tогда раз­ложение У(х) на простые дроби дает:

Следовательно, реакция системы описывается уравнением:

2 3

а в установившемся режиме lim ylt) = — .

/->® 3

Пример 2.3. Передаточная функция операционного усилителя

Операционный усилитель (ОУ) относится к важному классу аналоговых интегральных схем, обычно используемых в качестве элементов систем управления и во многих других устройст­вах. Операционные усилители являются активными элементами (т. е. они имеют внешний ис­точник питания) с высоким коэффициентом усиления при работе в линейном режиме. Модель идеального операционного усилителя приведена на рис. 2.14.

Для идеального ОУ характерным является следующий режим работы: (1) /, = i2 = 0, что соот­ветствует бесконечному входному сопротивлению, И (2) v2 - V, = 0 (т. е. v2 = V|). Связь между входом и выходом идеального ОУ определяется соотношением:

v0 = K(v2 - v,) = - A'(v, - v2),

где К —> то. В данном примере мы будем считать, что имеем дело с идеальным ОУ, работаю­щим в линейном режиме.

Рассмотрим инвертирующий усилитель, изображенный на рис. 2.15. При указанных выше условиях можно считать, что ix = 0, и для данной схемы справедливо соотношение

■ = Q

R,

Так как v, = v, (см. рис. 2.14) и v2 = 0 (см. рис. 2.15), от­сюда следует Vj = 0. Таким образом,

Vi v„

0,

Л, Г<2

откуда имеем

^ _ _^2 V, R,

Если принять /?, = R2, то данная схема просто инверти­рует знак входного напряжения.

Пример 2.4. Передаточная функция системы

Рассмотрим механическую систему, изображенную на рис. 2.16(c) и ее аналог в виде электри­ческой цепи на рис. 2.16(6). Как было показано в табл. 2.1, сквозными переменными-аналога­ми в механической и электрической схемах являются, соответственно, сила и ток. Скорости V[(/) и v2(/) механической системы являются прямыми аналогами напряжений v,(/) и v2(0 в электрической цепи. Уравнения, описывающие движение механической системы, в случае ну­левых начальных условий имеют вид:

MisVi(s) + (fc, + b2)V,(s) - b, V2(s) = R(s), (2.47)

Эти уравнения получены на основании сложения сил, действующих на элементы механиче­ской системы. Перегруппируя члены, входящие в (2.47) и (2.48), получим:

[Mxs + (Ь, + Ь2)]У^) - b, F2(s) = R(s),

-by{{s) + ^M2s + + — j V2(s) = 0,

или то же самое в матричной форме:

б)

Рис. 2.16. (а) Механическая система с двумя массами;

(б) Электрическая цепь с двумя узлами — аналог механической системы. Параметры-аналоги: С) = Мл, С-г = Mi, L - 1 /к, /?1 = 1 jb, /?2 = /Ь2

Считая выходной переменной скорость массы Л/,, с помощью обращения матрицы либо по правилу Крамера получим:

т =-------------- (M2s + bl + kls)R(s) (250)

(M{s + і) + b2)(M2s + bj + kh)- fc.

Тогда передаточная функция механической (или электрической) системы будет равна:

G(s) = ii^ =_________ (M2s+ + к Is) =_______ (M2s2 + t^s + к)_______

R(s) (Mts+ + b2)(M2s+ + k/s)-bf (M^+bj+b2)(M2s2 + b^+k)-l^s

Если за выходную переменную принять перемещение jc,(/), то передаточная функция примет вид:

ЛГ](я) КДя) _ G(s)

R(s) sR(s) s

В качестве еще одного примера получим передаточную функцию очень важного эле­мента электрических систем управления — двигателя постоянного тока. Подобные двигатели используются для перемещения нагрузки и носят название исполнительных устройств.

Исполнительное устройство — это элемент системы управления, обеспечиваю­щий поступление на вход объекта управления сигнала достаточной мощности.

Пример 2.5. Передаточная функция двигателя постоянного тока

Двигатель постоянного тока — это мощное исполнительное устройство, снабжающее нагруз­ку энергией, как показано на рис. 2.17(c): схематическое устройство двигателя показано на рис. 2.17(6). На рис. 2.18 изображена в разрезе конструкция такого двигателя. Двигатель пре­образует электрическую энергию постоянного тока в механическую энергию вращательного движения. Основная часть момента, создаваемого ротором (якорем) двигателя, используется для управления внешней нагрузкой. Благодаря таким качествам, как высокий вращающий мо­мент, возможность регулирования скорости в широком диапазоне, компактность, хорошие на­грузочные характеристики и одинаковая способность быть использованными в различных си­стемах управления, двигатели постоянного тока широко применяются в роботах-манипулято - рах, лентопротяжных механизмах, дисководах, в машиностроении и исполнительных устрой­ствах следящих систем.

Передаточную функцию двигателя постоянного тока мы получим путем линейной аппрокси­мации реальных характеристик, пренебрегая такими второстепенными эффектами, как гисте­резис и падение напряжения на щетках. Входное напряжение может быть подано на обмотку возбуждения либо на якорь. Если отсутствует насыщение, то магнитный поток в воздушном зазоре пропорционален току возбуждения, т. е.

Ф = Kf ij. (2.53)

Предполагается, что момент, развиваемый двигателем, линейно зависит от Ф и тока якоря: Тт = А'Ф /„(г) = KtKf if(t)ia(t). (2.54)

Из уравнения (2.54) вытекает, что для того чтобы двигатель можно было считать линейным элементом, один из токов должен быть постоянным, а второй следует рассматривать в качест­ве входного тока. Сначала мы рассмотрим двигатель, управляемый по цепи возбуждения, за счет чего обеспечивается значительное усиление по мощности. Преобразуя (2.54) по Лапла­су, получим:

TJs) = (KiK/JIj (s) = KJjis), (2.55)

где /0 = /„ есть постоянный ток якоря, а Кт носит название постоянной электродвигателя. Ток возбуждения связан с напряжением возбуждения соотношением

V/(s) = (Rj + Ljs)J/(s). (2.56)

Развиваемый двигателем момент прикладывается к нагрузке. При этом можно записать:

TnXs)=TL(S)+Us). (2.57)

где Tj(s) — момент нагрузки, a TJs) — возмущающий момент, которым часто можно прене­бречь. Однако возмущающий момент в ряде случаев принципиально надо учитывать, напри­мер, когда на систему действуют внешние силы (скажем, сила от порыва ветра, действующая на антенну). Момент нагрузки в случае ее вращательного движения (см. рис. 2.17) записывает­ся как

T,{s) = Js2Q(s)+ bsB(s).

Из (2.55)-(2.57) имеем:

Ti.(s) = TJs) - Tds), TJs) = Km 1/s).

Vf{s)

Jf(s) =

Rf + LjS

Следовательно, при TJs) = 0 передаточная функция двигателя равна

KJJL,

(2.62)

Vf(s) s(Js + b)(LjS + Rf) s(s+ blJ){s + RfILf)

Модель электродвигателя, управляемого по цепи возбуждения, в виде структурной схемы при­ведена на рис. 2.19. Альтернативное выражение для передаточной функции можно получить, если ввести в рассмотрение постоянные времени:

K^/bR,

= C{s) =

Vf(s) s(xjs+ I)(t, s+ 1)

где X/ = Lf/Rj H T, = ЛЬ. Обычно T, > Ту, и постоянной времени обмотки возбуждения можно пренебречь.

В двигателе, управляемом по цепи якоря, входным (управляющим) воздействием является ток якоря 1Я. Поле, создаваемое статором, может быть образовано током в обмотке возбужде­ния или постоянными магнитами. В первом случае, если ток возбуждения является постоян­ным, момент, развиваемый двигателем, определяется как

TJs) = (KxKjIj)la (s) = KJa (4 (2.64)

При использовании постоянных магнитов мы имеем:

TJs) = Кт Ja(s),

где Кт — коэффициент, зависящий от магнитной проницаемости. Ток в цепи якоря связан с напряжением, приложенным к якорю, соотношением

Уа(*) = (Я, + Las)la(s) + Vb{s), (2.65)

где Vb(s) — противоЭДС, пропорциональная скорости вращения. Следовательно,

= Кь сф) (2.66)

Рис. 2.19. Структурная схема двигателя, управляемого по цепи возбуждения

и ток якоря

(2.67)

Я, + О'

Из уравнений (2.58)-(2.59) получим выражение для момента нагрузки:

T/{s) - Js2Q(s) + bs6(s) = Tm(s) - TAs). (2.68)

Связь между переменными, характеризующими динамику двигателя, управляемого по цепи якоря, схематически показана на рис. 2.20. С помощью уравнений (2.64), (2.67) и (2.68) или не­посредственно по структурной схеме, полагая TJs) = 0, получим передаточную функцию дви­гателя:

G(j) = -^- =-------------------- ^------------------ = —---------------- - (2.69)

К, (s) + Las){Js + b)+К hKm] s(s + 2C, o)„s + ш*)

Для многих двигателей, однако, постоянной времени якоря т = La /11а можно пренебречь. Тогда С(-) е<^) Кт KJ(Rab+KbKJ

K,(s) s[RJJs+ b)+К hKm] s(t, s+1)

где эквивалентная постоянная времени т, = RctJI{Rab + A^m).

Интересно заметить, что Кт = Кь. Это можно показать, если рассмотреть установившийся ре­жим работы двигателя и баланс мощностей в предположении, что сопротивлением якоря мож­но пренебречь. Мощность, подводимая к якорю, равна Кьюіа, а мощность, сообщаемая валу, равна Ты. В установившемся режиме эти мощности равны, так что Kbmia = Ты: поскольку 7’= Kmia (см. 2.64), то отсюда следует, что Кь = Кт.

Электродвигатели применяются для перемещения нагрузки в тех случаях, когда не требуется высокого быстродействия и развиваемой мощности. Типичные параметры такого двигателя приведены в табл.2.4.

Рис. 2.21

Сравнение по быстродействию и развиваемой мощности электромеханических и электрогидравлических устройств

Прокатные станы. Возможные 4 гидроприводы :

Краны и подъемники;

Типичные. электрогидравлические устройства

Станки

" j "Управление антеннами

Типичные ■ ' Роботы

электромеханические; устройстеа;..;

•Регуляторы ;

автфмббильйых двигателей.

... ;РеіЧуійторьі уровня

5 7 10 20 30 40 50 70 100 200 300 500 1000

400 700

Быстродействие (в обратных единицах)

Более значительной нагрузочной способностью обладают гидравлические исполнительные устройства. На рис. 2.21 показаны в сравнении обычные сферы применения электромеханиче­ских и электрогидравлических приводов.

Пример 2.6. Передаточная функция гидравлического исполнительного устройства

Для линейного перемещения массы может быть использовано гидравлическое исполнитель­ное устройство, приведенное в табл. 2.5 (поз. 9). Подобное устройство способно обеспечить значительное усиление по мощности. Будем считать, что жидкость подается от источника под постоянным давлением и что ее сжимаемостью можно пренебречь. Перемещение золотника вниз, обозначенное через x(t), приводит к поступлению жидкости в верхнюю часть гидроци­линдра и, соответственно, поршень также перемещается вниз. Малая мощность, необходимая для перемещения x(t), преобразуется в высокую мощность, связанную с перемещением по­ршня y{t). Объемный расход жидкости Q зависит то перемещения x(t) и разности давлений, действующих на поршень, т. е. Q = g(x, Р). Воспользовавшись методом линеаризации путем разложения в ряд Тейлора, запишем:

в = {¥) *+(И] Р=^-крР. (2.71)

где g = g(x, Р) и (хд, Р0) — координаты рабочей точки. Сила, развиваемая поршнем гидроци­линдра, равна произведению его площади А на давление Р, т. е.

А

АР = M^~y+ Ь - dt2 dt

Кроме того, объемный расход жидкости связан с перемещением поршня соотношением

Q = A^. (2.74)

dt

Тогда, подставляя (2.74) в (2.73) и перегруплируя члены, получим:

у - (2-75)

dt

Далее, используя преобразование Лапласа, получим передаточную функцию

У(д) К

X(s) s(Ms+ В)

где

Акх А2

К = —- и В = Ь+ — .

кР К

Заметим, что по форме передаточная функция гидравлического исполнительного устройства совпадает с передаточной функцией электродвигателя. Кроме того, если это исполнительное устройство работает при высоких давлениях и от него требуется большое быстродействие, то в расчетах должен быть принят во внимание эффект сжимаемости жидкости.

Обозначения многих переменных в табл. 2.5 и единицы их измерения помещены на Web-came MCS. Там же можно найти таблицы взаимных преобразований единиц измере­ния между Международной системой СИ и английской системой единиц.

Понятие передаточной функции и основанные на нем методы являются очень важ­ными, поскольку они предоставляют в распоряжение исследователя и проектировщика столь ценное средство, как математическая модель элементов систем управления. Следу­ет признать, что передаточная функция оказывает неоценимую помощь в попытках полу­чения моделей динамических систем. Особая ценность передаточной функции заключа­ется в том, что ее нули и полюсы на s-плоскости дают полное представление о переходной характеристике системы. В табл. 2.5 приведены передаточные функции некоторых дина­мических элементов.

В технике часто требуется передавать вращательное движение от одного вала к дру­гому. Например, в автомобиле мощность, развиваемая двигателем, передается вращаю­щимся колесам через коробку передач и дифференциал. Коробка передач позволяет води­телю выбирать то или иное передаточное отношение в зависимости от дорожных усло­вий, тогда как дифференциал находится в неизменном положении. В этом случае ско­рость движения не является постоянной — водитель может менять ее по своему усмотрению. Другим примером является система редукторов, с помощью которой враще­ние вала электродвигателя преобразуется в поворот антенны вокруг ее оси. Примерами механических преобразователей данного типа могут служить зубчатые, цепные и ремен­ные передачи. В электрических системах типичным преобразователем является транс­форматор. Примером устройства, преобразующего вращательное движение в поступате­льное, является передача зубчатое колесо-рейка (см. поз. 17 в табл. 2.5).

6. Двигатель постоянного тока с управлением по цепи якоря (вращательное движение)

6(s) К,_________

F» s[(Ra + Las)(Js+b)+KhKm]

7. Двухфазный двигатель переменного тока (вращательное движение)

8. Электромашинный усилитель

Vo(s) (K/RcRg) Vc(s) (stc + 1)(їт9 + 1)

Т с Lc/Ro T, J Lq/Rq В режиме холостого хода

id - 0. « Tq

0,05 с < тс < 0,5 с

У12 = Уф Уз4 = К,

9. Гидравлическое исполнительное устройство

^q(s)

Xm(s) + (b/M)s+ к/М

Для низкочастотных колебаний, где ш < ш№

*,(» ,, ш2 ^О'й) к/м У(з) 1

q(s) C, s+ (QS + 1/Л) ГДЄ Т- То-Т,, — разность температур С, — теплоемкость Q — расход жидкости = const 5 — удельная теплоемкость воды R, — тепловое сопротивление изоляции q(s) — тепловая мощность

нагревательного элемента

17. Зубчатое колесо и рейка

х = ИЗ

преобразует круговое движение в прямолинейное