СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Относительная устойчивость систем управления с обратной связью

Критерий Рауса-Гурвица дает только частный ответ на вопрос об устойчивости, а именно, он исследует абсолютную устойчивость системы, проверяя, расположены ли ка - кие-либо корни характеристического уравнения в правой половине s-плоскости. Однако, если система удовлетворяет критерию Рауса-Гурвица и является абсолютно устойчивой, полезно установить ее относительную устойчивость, т. е. исследовать затухание, обу­словленное каждым корнем характеристического уравнения. Относительную устойчи­вость системы можно определить как свойство, оцениваемое действительной частью каж­дого корня или пары корней характеристическо­го уравнения. Так, например, корень г2 на рис. 6.6 относительно «более устойчив», чем

А

корни г, и Гу. Относительную устойчивость сис­темы можно также оценивать по коэффициентам затухания С,, соответствующим каждой паре ком - плексно-сопряженных корней, и, следовательно, по скорости нарастания ее реакции и величине перерегулирования.

Анализ влияния каждого корня на относите­льную устойчивость принципиально необходим, потому что, как мы выяснили в гл. 5, положение полюсов замкнутой системы на s-плоскости определяет и ее качество. Это обязывает нас еще раз обратиться к характеристическому полиному q(s) и рассмотреть некоторые методы определения относительной устойчиво­сти.

Первый из этих методов, связанный с использованием s-плоскости, предполагает распространение критерия Рауса-Гурвица для определения относительной устойчивости. Идея метода состоит в замене переменной, приводящей к сдвигу оси s-плоскости. Анализ

А

рис. 6.6 показывает, что если сдвинуть ось ординат влево на величину ст,, то корни г, и г, окажутся на этой оси. Правильную величину сдвига можно получить только путем проб и ошибок. Тогда, не прибегая к решению уравнения пятого порядка, можно будет опреде-

Л

лить действительную часть доминирующих корней г, иг,.

Пример 6.6. Сдвиг оси координат

Рассмотрим простой характеристический полином третьего порядка:

q(s) = s3 + 4s1 + 6s + 4 . (6.17)

В качестве первой попытки возьмем sn = s + 2, при этом обнаружим, что таблица Рауса не будет содержать нулей в первом столбце. Однако при замене (сдвиге) переменной s„ = s+ 1 мы полу­чим:

(s, -1)3 + 4 (s„ -1)2 + 6(5,, - 1) + 4 = si + s2„ + s„+ 1. (6.18)

Тогда таблица Рауса примет вид:

4 і і

4 і і

4 О о

,„° 1 0.

На сдвинутой мнимой оси оказываются два корня, которые можно определить по вспомогате­льному полиному:

и С*») = ■*» + ! = С*И + Л(*„ - J) = (s + 1 + Л(і - + 1 - j)• (6.19)

Определение относительной устойчивости путем сдвига оси ординат является очень полезным методом, особенно для систем высокого порядка, имеющих в замкнутом состоянии несколько пар комплексно-сопряженных полюсов.