СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Модели в виде сигнальных графов

Структурные схемы адекватно представляют взаимосвязь между управляемыми и входными переменными. Однако для систем достаточно сложной конфигурации проце­дура упрощения их структурных схем является весьма трудоемкой и часто трудно выпол­нимой. Мейсоном был предложен альтернативный метод представления взаимосвязи между переменными системы, основанный на использовании сигнальных графов. Преи­мущество этого метода состоит в том, что по сигнальному графу, без каких-либо его пре­образований, с помощью специальной формулы сразу можно установить связь между пе­ременными системы.

Сигнальный граф представляет собой диаграмму, состоящую из узлов, соединен­ных между собой отдельными направленными ветвями, и является графическим средст­вом описания линейных соотношений между переменными. Сигнальные графы особенно важны для систем управления с обратной связью, поскольку теория этих систем в первую очередь рассматривает распространение и преобразование сигналов. Основным элемен­том сигнального графа является однонаправленный отрезок, называемый ветвью, кото­рый отражает зависимость между входной и выходной переменной наподобие того, как это делает отдельный блок в структурной схеме. Например, ветвь, связывающая выход двигателя постоянного тока 0(s) с напряже­нием возбуждения Vf(s), изображенная на____ q ^ q 0(v)

рис. 2.28, подобна структурной схеме на

рис. 2.22. Точки входа и выхода, на рисун - Рис. 2.28. Сигнальный граф двигателя

ке похожие на клеммы, называются узла - постоянного тока

ми. Аналогично, сигнальный граф, соот­ветствующий уравнениям (2.77), (2.78) и рис. 2.24, изображен на рис. 2.29. Преобразова­ние каждой переменной охарактеризовано надписью около направленной стрелки. Все ветви, выходящие из узла, предают сигнал другому (выходному) узлу каждой ветви, при­чем однонаправленно. Сумма всех сигналов, входящих в узел, образует соответствую­щую этому узлу переменную. Путь — это ветвь или последовательность ветвей, которые могут быть проведены от одного узла к другому. Контур — это замкнутый путь, который начинается и заканчивается в одном и том же узле, причем вдоль этого пути ни один дру­гой узел не встречается дважды. Некасающимися называются такие контуры, которые не имеют общего узла. Два касающихся контура имеют один или более общих узлов. Рас­смотрев еще раз рис. 2.29, мы можем записать:

У,(5) = С„(5)ВД + Gl2(s)R2(s), (2.87)

y2(s) = G21(s)fl,(s) + G22(s)R2(s), (2.88)

Сигнальный граф — это просто наглядный метод записи системы алгебраических уравнений, показывающий взаимосвязь между переменными. В качестве еше одного при­мера рассмотрим следующую систему алгебраических уравнений:

«11*1 + «12*2 + ri= х1> (2.89)

«21*1 + «22*2 + Г2= х2.

Здесь гхиг2 — входные переменные, axj их2 — выходные переменные. Сигнальный граф, соответствующий уравнениям (2.89) и (2.90), изображен на рис. 2.30. Уравнения (2.89) и (2.90) можно записать в ином виде:

*i(! - flu) + Х2І - ап) = ri,

*l( - a2l) + *20 - «22> = г2 ■

Решая последнюю систему по правилу Крамера, получим:

X (~а2гУ+аПг2 _ (1-^22 )

1 (1 —«11 )(1 —«22 ) —«12«21 А

_ _ О-Oil >2 +«21'І (1-«ц)

Л-}-------------------------------------------------

(1 —аП )(1-«22 )_а12а21 Д

В этих решениях знаменатель равен определителю, составленному из коэффициен­тов при неизвестных, и его можно записать так:

А = (1 — Яц)(1 — Я22) — Яі2а21 = 1 «11 а22 + аиа22 ~ а2а2- (2-95)

В данном случае знаменатель равен единице минус коэффициенты передачи отдельных контуров аи, «22 и а12а21 плюс произведение коэффициентов передачи двух некасающихся контуров ах і и а22. Контуры а22 иа12а21 являются касающимися, так же, как и контуры ахха а2а12-

В решении для X) по отношению ко входу гх числитель равен единице, умноженной на (1 - а22), т. е. значению определителя некасающегося пути от гх к хх. В решении для х, по отношению ко входу г2 числитель просто равен аХ2, т. к. этот путь касается всех конту­ров. Числитель выражения ДЛЯ х2 симметричен соответствующему числителю ДЛЯ Х|.

В общем случае линейная зависимость Тп между независимой переменной х, (часто называемой входной переменной) и зависимой переменной х, определяется по формуле Мейсона:

X Рцк &ijk

где Рф коэффициент передачи к-ГО пути ОТ переменной X, К переменной Xj,

А — определитель графа,

А1/к -- дополнительный множитель ДЛЯ пути Рф

а суммирование производится по всем возможным к путям от xt кхг Дополнительный мно­житель Aljk равен определителю всех касающихся контуров при удалении А-го пути. Опре­делитель А находится как

(2.97)

где есть коэффициент передачи q-то контура. Таким образом, правило вычисления А че­рез значения Z,, L2, J-ъ ■■■, LN таково:

Д = 1 - (сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров) +

+ (сумма произведений всех возможных комбинаций из 2 некасающихся контуров) - - (сумма произведений всех возможных комбинаций из 3 некасающихся контуров) + + ...

Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном виде для определе­ния связи между выходной переменной K(s) и входной переменной R(s), т. е.

(2.98)

А

где T(s) = Y(s)/R(s). Коэффициент передачи пути Рк (или Р,/к) определяется как непрерывная последовательность ветвей, простирающихся в направлении, указанном стрелками, при­чем ни один узел не встречается в этой цепи более одного раза.

Простоту и удобство применения данного метода мы проиллюстрируем нескольки­ми примерами. Хотя формула (2.96) на первый взгляд кажется трудно воспринимаемой, всё же следует помнить, что она представляет обычный процесс суммирования, а не сложных преобразований.

Пример 2.8. Передаточная функция системы с параллельными путями

На рис. 2.31 изображен сигнальный граф с двумя параллельными путями. Примером системы управления, граф которой имеет несколько путей, может служить шагающий робот с несколь­кими конечностями. От входа R(s) к выходу K(s) ведут следующие пути: путь 1 — Р| = GlG2GiG4 и путь 2 — Р2 = G5G6G7G8.

Граф содержит четыре контура:

L = ^2^2’ L2 = G3//3, = СЬНЬ, Z-4 = С7У/7.

Рис. 2.31

Сигнальный граф с двумя параллельными путями

Контуры и Ь2 не касаются контуров и Л4. Следовательно.

Д = 1 — (Ц + L2 + Л^ + L4 Х+ (/-]/•; + + /^/4 + І2І4). (2.99)

Дополнительный множитель определителя для пути 1 вычисляется в результате удаления из Д контуров, касающихся пути 1. Поэтому

L, = L, = 0 и Д, = 1 - (L3 + Ц).

Аналогично, дополнительный множитель для пути 2 принимает вид

Д2 = 1 — {L + L-y).

Таким образом, передаточная функция системы

T(s) = = ^1 + ^2^2 _ Gfi-f}fi4(1 - L3 - L4) + GfibGJ3b ^

R(s) A l-Ll-L2-L3-L4+LlL3 + LiL4+L2LJ + L2L4'

Пример 2.9. Двигатель, управляемый по цепи якоря

На рис. 2.20 изображена структурная схема двигателя постоянного тока, управляемого по цепи якоря. Схема отражает связь между переменными в виде уравнений (2.64)-(2.68). Сигна­льный граф может быть получен либо на основании тех же уравнений, либо непосредственно по структурной схеме. Этот граф изображен на рис. 2.32. Полагая T/s) = 0, получим переда­точную функцию 0(s)/ VJs) с помощью формулы Мейсона. Граф имеет прямой путь Р, (s), каса­ющийся одного контура Lv(s), где

/j(s) = - G,(s)G2(j) и і,(ї) = - KhG^(s)G0(s).

s

Следовательно, передаточная функция имеет вид

Щ P'(S) ________ ёт________

l-A(s) І+КьС^уГф) $_{Ra + Las)Us+b)+KhKm что полностью совпадает с выражением (2.69). полученным ранее.

Формула Мейсона дает достаточно простой метод анализа сложных систем. Чтобы сравнить этот метод с методом упрощения структурных схем, который является ненамно­го более сложным, рассмотрим еще раз систему из примера 2.7.

Пример 2.10. Передаточная функция многоконтурной системы

На рис. 2.26 приведена структурная схема многоконтурной системы. Здесь нет особой необхо­димости перерисовывать эту схему в виде графа, поэтому мы сразу применим формулу Мей­сона (2.98). Схема имеет один прямой путь l = GlG2G3G4 . Контуры в схеме таковы:

L = — G2G3H2, L2 — GiG4Hu Z-з = — G1G2G3G4W3. (2.101)

Все контуры имеют общие узлы, поэтому они являются касающимися. Кроме того, путь Pt ка­сается всех контуров, поэтому Л| = 1. Тогда передаточная функция замкнутой системы опреде­ляется выражением

У(і) _ /{Л, _

(2.102)

R(s) 1 - Ц-L^-L^ 1 + С/;з//2 - С3С4//, + GfjjJfitH3

Пример 2.11. Передаточная функция сложной системы

В заключение мы рассмотрим достаточно сложную систему, для которой метод упрощения структурной схемы представлял бы значительные трудности. Такая система с несколькими контурами и прямыми путями изображена на рис. 2.33. Прямые пути следующие:

/*| = GXG2G3G4G^G^, Р2 — Gj C^G-jG P3 — G|G2G3G4G^.

Кроме того, имеем следующие контуры:

L = — G2G3G4G$H2, L2 — — G$G(J/[, L3 = — GgHi, L4 = — С7//2С2, L3 = — GA/*.

L(, — — G (G2G3G4G sGbH3. L і — — GxG2GnG6H3, L% = — G yG2G3G4GgH3.

Контур Ls не касается контура Z,4 или контура Ly. контур L3 не касается контура 14; все осталь­ные контуры являются касающимися. Поэтому определитель графа

Д = 1 — (Lі + Z.2 + L3 + L + L$ + Ьь + L^ + L$ ) + (L$Lq + L5L4 + L3L4). (2.103)

Дополнительные множители:

Ді — Д3 = 1 и Д2 = 1 - L5 = 1 + G4.W4.

Окончательно, передаточная функция имеет вид:

У(і) _ Р] + Р2А2+Р3

(2.104)

r(s)