СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Математические модели систем

Обзор

При анализе и синтезе систем управления мы используем математические модели физиче­ских объектов. Их динамика в общем случае описывается обыкновенными дифференциа­льными уравнениями. Мы будем рассматривать широкий круг систем, включая механиче­ские, гидравлические и электрические. Поскольку большинство реальных систем являют­ся нелинейными, мы рассмотрим методы их линейной аппроксимации, что позволит воспользоваться преобразованием Лапласа. Затем мы получим связь между входом и вы­ходом элементов и систем в виде передаточных функций. На основании передаточных функций могут быть построены структурные схемы или сигнальные графы, отражающие взаимные связи между элементами систем. Структурные схемы (и сигнальные графы) яв­ляются очень удобным и естественным средством анализа и синтеза сложных систем управления. В завершение этой главы мы воспользуемся передаточными функциями в примере синтеза с продолжением (система чтения информации с диска).

Для того чтобы изучить свойства сложной физической системы и научиться управлять ей, необходимо получить ее математическую модель. Для этого требуется установить все взаимосвязи между переменными, характеризующими поведение системы. Поскольку все реальные системы по своей природе являются динамическими, то для их описания естест­венно использовать дифференциальные уравнения. Если, кроме того, эти уравнения мо­гут быть линеаризованы, то тогда можно воспользоваться преобразованием Лапласа. В действительности, сложность системы и игнорирование нами ряда привходящих факторов обуславливают возникновение некоторых допущений, связанных с функционированием данной системы. Поэтому часто бывает полезным игнорировать эти допущения и произве­сти линеаризацию системы. В результате на основании физических законов, описываю­щих поведение эквивалентной линейной системы, мы можем получить систему дифферен­циальных уравнений. Наконец, используя математический аппарат, такой как преобразо­вание Лапласа, мы сможем получить решение, характеризующее поведение данной системы. В итоге алгоритм исследования динамики системы сводится к следующему:

1. Определить систему и ее компоненты.

2. Составить математическую модель и выдвинуть необходимые допущения.

3. Записать дифференциальные уравнения, описывающие поведение модели.

4. Решить уравнения относительно желаемых выходных переменных.

5. Проанализировать решения и допушения.

6. При необходимости провести повторный анализ или синтез системы.