СЧЁТ И ЧИСЛО

ГДЕ И КАК ВОЗНИКЛА НЫНЕШНЯЯ (ПОЗИЦИОННАЯ) СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Мы видели, что некоторые народы — евреи, греки, римляне, русские—употребляли буквы не только для записи слов, но и для записи чисел. Другие народы пи­сали при помощи значков, похожих на иероглифы, но зато придумали, как с помощью немногих знаков записы­вать большое "количество чисел.

Особенна любопытный способ записи чисел возник в древнем Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитках из мягкой глины и обжигали потом свои «ру­кописи». Получались прочные кирпичные «документы»; некоторые из них частично сохранились и до нашего вре­мени. Учёные нашли при раскопках немало кирпичных актов, государственных и торговых договоров, даже учеб - ников. Поэтому жизнь древнего Вавилона нам хорошо известна.

Сама техника письма палочкой по мягкой глине при­вела к тому, что все картинки-иероглифы вавилонян были

Построены из узких вертикальных или горизонтальных

Клинышков — таких: Y или таких: <£ . Письменность

Древних вавилонян так и называют «клинописью». На рисунке 7 изображено два вавилонских кирпи­чика с клинописью; на этих кирпичиках написаны таблицы цифр.

Примерно 37- веков, т. е. без малого 4 тысячи лет

Тому назад, в Месопотамию — долину между реками Тигром и Евфратом на территории нынешнего Ирака — пришли два кочевых народа: сумеоийцы и аккадяне. Это были народы для своего времени очень развитые: они умели пахать землю, разводить скот, знали ремёсла и тор­говлю. Через два века они слились в одно мощное госу­дарство — Вавилон.

Ко времени слияния каждый из этих народов — и су - мерийцы, и аккадяне — имел свои весовые и денежные единицы. Основной единицей веса у сумерийцев была «м и н а» — на наш вес приблизительно V2 килограмма. Денежной единицей у них служила мина серебра. У ак - кадян масштабы были мельче. Их единица веса — «ш е - кель» — была в шестьдесят раз меньше сумерийской мины (конечно, не точно, а приблизительно в шестьдесят раз, но грубые весы того времени не улавливали раз­ницы). После слияния «имели хождение» обе единицы веса, как у нас в первое время после Октябрьской револю­ции пользовались и фунтом, и килограммом. В денеж­ном обращении м-ины и шекели серебра играли роль наших рублей и копеек, только шекель был не сотой, а шестидесятой частью более крупной денежной еди­ницы — мины.

Торговля^ и хозяйство развивались, обороты росли. Как нам, кроме граммов и килограммов, нужны тонны, так и в Вавилоне понадобилась более увесистая единица.

Естественно, что новую весовую единицу установили в шестьдесят раз больше мины: число «шестьдесят» было уже привычным при хозяйственных расчётах. Её назвали «талан т». Возникла и новая денежная единица — та­лант серебра, равный 60 минам серебра (или 60X60 = =3600 шекелей серебра).

Наличие трёх единиц (весовых и денежных), из кото­рых каждая равна шестидесяти меньшим, привело к тому, что вавилонянам не приходилось называть и записывать чйсла, большие чем шестьдесят. Как мы не говорим «двести пятнадцать копеек» или «тысяча тридцать семь граммов», а говорим «два пятнадцать» или «кило тридцать семь граммов», так и вавилоняне говорили: «две мины сорок шекелей» вместо того, чтобы ска­зать «сто шестьдесят шекелей». Поэтому им для обо­значения чисел нужно было только пятьдесят девять значков.

Мы уже говорили, что вавилонское письмо строилось из клинышков. Единица обозначалась одним вертикаль­
ным клинышком, два —двумя и т. д., до девяти клиныш­ков. Вот вавилонские значки для первых девяти чисел:

7 ^ W

В

Клинышки в этих значках расположены так разумно, что при чтении не приходится их пересчитывать: коли­чество их сразу бросается в глаза.

Для десяти был особый значок — широкий поперечный клинышек. Вот как записывались числа второго десятка:

< о 4?? <т

13

15

Подобно этому записывались и большие числа. Вот несколько примеров:

<«гг <« /

38

53

Первоначально мины обозначались значками большего размера, чем шекели. Например, 20 мин 34 шекеля запи­сывались так;

В более поздние времена все единицы стали записы­вать совершенно одинаково: только положение значка показывало, какие единицы он обозначал. Например, 2 таланта 13 мин 41 шекель записывалось так:

Вавилонский народ развивался, земледельцам понадо­бился календарь, торговцы научились плавать по морю. И календарь, и мореплавание требовали знания движения небесных светил. Возникла наука о светилах — астро­номия. В Вавилоне астрономия пользовалась большим уважением. Её развитие требовало, в свою очередь, усовершенствования счёта. Приходилось записывать всё большие и большие числа, причём числа эти обозначали теперь не вес и не деньги, а самые разнообразные величины. Появился интерес к числам самим по себе, не связанным с пересчитываемыми или измеряемыми предметами. Такие числа называются «отвлечён­ным и».

Для записи отвлечённых чисел не стали придумывать новых значков, а использовали уже имеющиеся. Запись

Стала обозначать не двадцать одну мину тридцать два шекеля, как раньше, а тридцать две единицы, да ещё двадцать один раз шестьдесят таких единиц (то-есть, по-нашему, число 1292). Иначе говоря, левый значок обозначает двадцать одну единицу второго раз­ряда, а правый — тридцать две п р о с ты е еди­ницы. Единица второго разряда в шестьдесят раз больше простой единицы, как мина была в 60 раз больше шекеля. Запись

ЛЧП

Означает «тринадцать единиц второго разряда и тринад­цать простых единиц», т. е., по-нашему, число 793. Точно так же и у нас, например, в числе 33 — тройка, стоящая слева, обозначает три десятка, т. е. три единицы второго разряда, а тройка, стоящая справа—три простые еди­ницы.

Такая система записи чисел, когда смысл значка меняется в зависимости от его положения, называется позиционной системой счисления или позиционной нумерацией (от латинского слова positio — позйцио, что значит «положение»).

Позиционную систему счисления, как мы видим, изо­брели вавилоняне. У нас теперь тоже принята позицион­ная нумерация, но значок (цифра), поставленный слева, у нас обозначает число в 10 раз большее, чем такой же значок, стоящий справа, а не в 60 раз, как у вави­лонян.

Поэтому говорят, что у нас десятичная система счисления, а в Вавилоне была шестидесяти­ричная система счисления.

Позиционная система позволила вавилонянам запи­сывать очень большие числа. Наш миллион, например, они записали бы так:

Y /f Ш

Ц*80*60*60 + 37 *60 *60 + W * 50 + 40

664000 + 133ZOO Ч - г 760 + 40 = 10ОО ООО

Вавилоняне записывали и значительно большие числа, вплоть до чисел, в миллион раз больших миллиарда.

.Долгое время — сотни лет — у вавилонян не было значка, соответствующего нашему нулю. Число 65, со­стоящее из одной единицы второго разряда (60) и пяти простых единиц, они записывали так:

ч •

А для числа 3605, содержащего одну единицу третьего разряда (3600 = 60 X 60), совсем не содержащего единиц второго разряда и содержащего пять простых единиц, — оставляли пустое место посередине и писали его так:

T ?

При письме от руки, особенно на глине, как это делали вавилоняне, промежутки получались неодинаковой вели­чины, а это, в свою очередь, вело к путанице в расчётах и документах. Начиная с некоторого времени, на вавилон­ских кирпичиках появляется новый знак — знак разделе­ния $ — он соответствовал нашему нулю и показывал,

Что в числе совсем нет единиц того разряда, на месте ко­торого стоит этот значок. Так, например, число 3 605 (в нём отсутствуют единицы второго разряда) стали за­писывать так:

— смешать эти числа больше было нельзя.

Но вот что любопытно. Введя знак разделения в сере­дине чисел, вавилоняне так и не додумались до того, чтобы ставить его на конце. Числа 1, 60, 3600 записыва­лись у вавилонян одинаково:

?

Писать же

Как это сделали бы мы, они не догадались. Поэтому некоторая путаница в документации у вавилонян осталась и после введения знака разделения.

Вавилонская арифметика оказала значительное влия­ние на греческую, китайскую и, особенно, на индийскую науку. Следы её сохранились до сих пор. Так, и сейчас мы делим время по образцу вавилонян: час делится на 60 минут, минута — на 60 секунд (подобно тому как та­лант делился на 60 мин, а мина — на 60 шекелей).

Вавилоняне умели выполнять действия не только с целыми, но и с простейшими дробными числами. Они составили ряд математических таблиц, учебников и сбор­ников задач — всё это, разумеется, на кирпичиках. В Месопотамию приходили новые народы, сменялись цари и царства, но вавилонская культура держалась. Она про­существовала пятнадцать столетий.

Хотя вавилонские математики умели записывать очень большие числа, но они не могли представить себе, что чисел бесконечно много. Это, как мы уже говорили, поняли только греки. С другой стороны, сама форма записи чисел у вавилонян не была совершенна; нужно было, сохранив позиционную систему, заменить основ­ное число «шестьдесят» меньшим числом и научиться правильно употреблять знак «нуль». Это было сделано индусами.

У древних греков математика достигла необычайного расцвета. Можно сказать, что вся нынешняя математика выросла из греческой. Сами слова: «арифметика», «математика», «геометрия» — греческие. Греки прекрасно выполняли действия с целыми и дробными числами. Один из крупнейших греческих математиков, Архимед, живший 22 века тому назад в городе Сираку­зах (на острове Сицилия), построил систему счисления, которая, во-первых, ясно показала, что чисел бесконечно много, а во-вторых, позволила назвать каждое число, как бы велико оно ни было.

Архимед был замечательным математиком, физиком, машиностроителем и военным инженером. Он написал очень много книг по математике и механике. По арифме­тике он написал замечательное сочинение, которое назвал «Псаммит или исчисление песку в шаре неподвижных звёзд».

Когда про какие-нибудь предметы хотят сказать, что их так много, что и пересчитать нельзя, то часто говорят: «бесчисленны, как песок морской». Архимед показал, что можно назвать числа, которые значительно больше числа песчинок на земле. Мало того, если бы вся доступная нам Вселенная — до самых далёких звёзд, которые только охватывает глаз — была набита тончайшей пылью, то и для такого количества пылинок нашлось бы число, и можно было бы назвать числа ещё гораздо большие.

Греческая культура перешла к древним римлянам, которые переняли и сохранили её. Но пятнадцать веков тому назад Римская империя перестала существовать.

В Европе происходили постоянные войны, нашествия, малокультурных народов. Очень тяжёл был гнёт хри­стианской церкви, достигшей к тому времени большой силы. Всё это привело к падению культуры; многими ремёслами перестали заниматься, а достижения науки были забыты. Европа того времени вполне довольство­валась примитивным счётом в пределах десятков тысяч и римскими цифрами. Великие творения греческих му­дрецов были забыты.

Но в далёкой Индии наука и искусство достигли в это время пышного расцвета. Наиболее высоко развилась астрономия, сохранившая все достижения вавилонской науки о звёздах. Особенно почиталась математика, пото-^ му что с её помощью можно было рассчитать календарь, установить наступление времён года, предсказывать' солнечные и лунные затмения. Математики пользовались в Индии большим уважением. «Как солнце своим блеском затмевает звёзды, так мудрец превзойдёт всех, если он в народном собрании предложит задачи и искусно решит их», — говорили индусы. Один из разделов математики назывался «Л и л а в а т и», что значит «прекрасная», а задачи принято было облекать в форму стихотво­рений.

Но особенно любили индусы большие числа. И вот для записи больших чисел была изобретена система счи­сления, в которой соединялся привычный счёт десятками с вавилонской позиционной записью, и стал разумно употребляться знак «нуль». Этой системой записи чисел мы пользуемся и поныне.

Как же эта система попала из Индии в Европу?

На Аравийском полуострове, лежащем на полпути между Европой и Индией, в VII веке нашей эры про­изошли крупные события. Арабские племена, населявшие этот полуостров, объединились и, руководимые блестя­щим полководцем и вдохновенным пророком Магометом, захватили и организовали в единую державу ряд неболь­ших соседних государств. При наследниках Маго­мета арабское государство расширилось и, осваивая культуру западных и восточных соседей, достигло боль­шого расцвета. На западе, у египтян, арабы переняли то, что сохранилось от культуры древних греков, а на востоке заимствовали у индусов искусства строить и считать.

Это слияние западной и восточной культур у моло­дого народа, который быстро развивался и распро­странял своё влияние, привело к необычайному расцвету наук. Развитие мореплавания, торговли и строительного искусства привело к расцвету математики.

Восприняв у индусов искусство счёта, арабы заим­ствовали от них и значки для записи чисел — цифры (слово «цифра», кстати сказать, тоже арабского проис­хождения). Вот эти значки в арабском начертании:

I

1Z3 45B18 30

Использовались эти значки точно так же, как мы теперь используем наши цифры. Вот запись некоторых чисел у арабов:

15—

537-------- Л р V

8Оц — Л • L

Порядок цифр у арабов был такой же, как и у нас.

Эти цифры сохранились и сейчас у народов араб­ской культуры: у турок, иранцев, афганцев: На рис. 8 изображены современные почтовые марки с арабскими пифрами. До введения алфавита, построенного по рус­скому образцу, эти цифры были в ходу и у некоторых народов Советского Союза (у татар, азербайджанцев, туркмен и других). Крайняя правая марка на рисун­ке 8 —марка Азербайджанской ССР 1922 года.

В восьмом веке нашей эры арабы вторглись в Ев­ропу и завоевали почти всю Испанию. Обратное отвое - вание продолжалось несколько сотен лет. Годы войны чередовались с годами мирного соседства. Арабские купцы торговали во Франции и в Италии; европейские молодые люди ездили учиться в Кордову и Толедо — арабские города, славившиеся своей учёностью. Менее культурные европейцы заимствовали у более культурных арабов науки и искусства. Особенно быстро переняли европейские купцы искусство счёта—ведь не умея сча - тать невозможно торговать. Десятичная система счи­сления быстро распространилась по Европе и вытеснила римские цифры. Сами цифры были взяты у арабов, но в течение веков изменились и постепенно приняли то начертание, которым мы пользуемся теперь.

Заметим, что наши теперешние цифры обычно называ­ются «арабе ки ми», хотя и отличаются от них до­вольно сильно (кроме единицы и девятки, совершенно оди­наковых у арабов и у нас). Правильнее было бы гово­рить не «арабские цифры», а «арабская система счи­сления», и даже не «арабская», а «индийская», потому что разработали её индусы, а арабы только занесли в Европу.

В самом начале XIII века один замечательный мате­матик написал несколько интересных и полезных книг. В «Книге о счёте» он подвёл итог всему, что к тому времени было известно по арифметике. С тех пор прошло 750 лет, математика шагнула вперёд семимильными шагами, были разработаны совсем новые отделы этой науки. Но практический счёт с тех пор почти не ме­нялся, и наш школьный учебник арифметики в главах о целых числах мало чем отличается от учебников тех времён.