ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

СОБСТВЕННЫЕ МОДЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Рассмотрим двухзеркальный резонатор общего вида (рис. 5.5а), образо­ванный сферическими зеркалами с разными радиусами кривизны (положи­тельными или отрицательными), которые разнесены на расстояние L друг от друга; этот резонатор может быть устойчивым или неустойчивым [1]. Пред­положим, что пучок произвольной формы вводится в резонатор, например со стороны зеркала 1, и рассмотрим его распространение внутри резонатора в прямом и обратном направлениях. Такое распространение можно считать эквивалентным прохождению через периодическую систему линз (англ. lens - guide structure), показанную на рис. 5.5б, когда такой же пучок распростра­няется в одну сторону, например вдоль положительного направления оси 2. Отметим, что фокусные расстояния fx и /2 н& рис. 5.5б связаны с радиусами кривизны зеркал Rx и R2 на рис. 5.5а хорошо известными соотношениями f = R/% и /2 = R2/2. Отметим также, что две диафрагмы 1 и 2, с диаметра­ми соответственно 2 ах и 2а2, которые расположены за линзами нарис. 5.5 б,

А) Двухзеркальный резонатор общего вида. б) Эквивалентная этому резонатору система линз

Моделируют апертуры зеркал на рис. 5.5а. Обозначим теперь через Ё(х19уг, 0) комплексную амплитуду напряженности поля в некоторой заданной точке с поперечными координатами хх и ух на диафрагме 1, продольная координата которой определена как 2 = 0. Можно рассчитать амплитуду напряженности поля E(x, y,2L) после прохождения одного периода системы линз, т. е. при г = 2L, если известно распределение Е(хх, ух, 0) и заданы параметры линзо­вой системы (т. е. величины /х, /2, а1у а2 и L). Для такого расчета можно воспользоваться, например, уравнением Гюйгенса-Френеля (см. раздел 4.6). Как будет видно из раздела 5.5.2, расчет может усложниться при конечных размерах 2аг и 2а2 апертур. Расчет может стать еще более сложным, если необходимо будет принять во внимание наличие в резонаторе, показанном на рис. 5.5а, некоторых дополнительных оптических элементов (например, линзы или системы линз).

Вообще говоря, вследствие линейности уравнения Гюйгенса-Френеля по напряженностям полей, можно записать:

E(x, y,2L) = (exp-2jkL) ^K(x, yxl, yx)E(xl, yl, Q)dxldyl, (5.2.1)

1

Где двойной интеграл берется по апертуре 1 плоскости на входе (г = 0), а функ­ция К (называемая функцией распространения, или пропагатором) зависит от поперечных координат как в плоскости на входе (при г = 0), так и в плоско­сти на выходе (при г = 2L). Некоторые примеры таких функций будут приве­дены в разделе 5.5.2. Однако уже видно, что если функция Ё(хг, z/i, 0) являет­ся двумерной 5-функцией Дирака, с центром в точке х[, у[, т. е. если выпол­няется равенство Ё(х1,у1у0) = 5(хх - х[уу1 - у'), то соотношение (5.2.1) дает Ё(х9 у, 2L) = ехр(-2jkL)K(x, у; х{,у'). Таким образом, с точностью до фазово­го множителя ехр (-2jkL) функция распространения К(х, у; хг, ух) представ­ляет собой распределение напряженности электрического поля волны в плос­кости на выходе, созданное точечным источником излучения, расположен­ным в точке с координатами х19 ух плоскости на входе.

Вместо того чтобы рассматривать прохождение через систему линз на рис. 5.5б пучка общего вида, рассмотрим теперь пучок с поперечным рас­пределением, соответствующим моде резонатора на рис. 5.5а. В этом слу­чае, для того чтобы выполнялось условие самосогласованности, необходи­
мо, чтобы первоначальное распределение в пучке воспроизводилось после прохождения им одного периода системы линз. А именно, требуется выпол­нение условия

Е(х, у,2Ь) = 6 ехр(-2уй£)Е(л;, £/,()), (5.2.2)

Где константа а обычно является комплексной величиной, поскольку функ­ция распространения К является комплексной. Поэтому можно записать:

Ст=|д|ехр7ф,

Ожидая, что амплитуда |а| меньше 1 в результате ослабления пучка из-за дифракционных потерь. При этом фаза ф определяет дополнительный вклад в очевидный фазовый сдвиг за счет распространения плоской волны на рас­стояние 2Ь в свободном пространстве, т. е. -2ИЬ, при обходе резонатора (или на одном периоде системы линз). В соответствии с (5.2.2) и (5.2.3) полный набег фазы за один проход равен

Аф = —2 кЬ + ф.

Если левую часть соотношения (5.2.1) заменить теперь правой частью соот­ношения (5.2.2), то получим выражение

6Ё(х, у, 0) = ^К(х, у;х1,у1)Ё(х1,у1,0)ёх1йу1, (5.2.5)

Которое представляет собой однородное интегральное уравнение Фредголь - ма второго рода. Его собственные решения (х, у, О) (если таковые вообще

Существуют) описывают первоначальные распределения напряженности электрического поля волны, которые воспроизводятся после прохождения ею каждого периода системы линз на рис. 5.5б. Следовательно, они также описывают распределения напряженности электрического поля на апертуре зеркала 1, отвечающие собственным модам резонатора на рис. 5.5а. Каж­дое собственное решение (5.2.5) из бесконечного набора характеризуется па­рой целочисленных индексов I пт. Соответствующие собственные значе­ния будут обозначаться как.

Из предшествующего рассмотрения следует, что собственные значения д1т таковы, что величина 16*т |2 определяет множитель, показывающий во сколько раз изменяется интенсивность излучения после одного обхода резо­натора. Поскольку такое изменение связано с дифракционными потерями, то должно выполняться условие | |2 < 1; тогда величина

Уіт = !- І^гтІ2

SHAPE \* MERGEFORMAT

Определяет относительную долю потерь мощности при одном обходе за счет дифракции. Видно, что согласно (5.2.4) величина Дф = -2кЬ + ф*т равна из­менению фазы при одном обходе. Если распределение напряженности поля воспроизводится после каждого полного прохода, то это требует выполнения условия Аф;ш = -2ппу где п — целое число. Таким образом, получаем: -2кЬ + 4- ф^ш = -2пп. Используя соотношение к = 2яу/с, получаем выражение для ре­зонансных частот в виде

(5.2.7)

Отметим, что здесь явно указана зависимость этих частот от величин трех целых чисел (индексов) I, тип. Индексы / и т нумеруют собственные реше­ния уравнения (5.2.5), тогда как индекс п определяет полное изменение фазы волны после одного обхода резонатора в единицах 2я (т. е. п = -Лф^/2я).

В заключение этого раздела отметим, что найденные в виде собственных функций Еіт решения интегрального уравнения (5.2.5) описывают напря­женность электрического поля собственных мод в любой точке заданной плос­кости; для каждой моды Еіт амплитуда | д1т | собственной величины діт определяет, в соответствии с соотношением (5.2.6), дифракционные потери мощности при одном обходе резонатора, тогда как ее фаза ф/т определяет, согласно соотношению (5.2.7), соответствующие резонансные частоты.