ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ВРЕМЯ ЖИЗНИ ФОТОНА И ДОБРОТНОСТЬ РЕЗОНАТОРА

Рассмотрим некоторую моду устойчивого или неустойчивого резонатора и предположим, для общности, что у нее существуют и другие потери, кроме дифракционных. Например, потери могут происходить на зеркалах за счет того, что их отражательная способность меньше единицы. Потери могут быть также обусловлены рассеянием в некоторых оптических элементах внутри резонатора. Попробуем при этих условиях определить скорость затухания энергии данной моды. С этой целью обозначим через 70 начальную интенсив­ность, соответствующую амплитуде напряженности электрического поля Ё(хг, у1уО) в точке с данными поперечными координатами хг, ух. Пусть че­рез и #2 обозначены коэффициенты отражения (по мощности) двух зер­кал, а через Ть — относительные внутренние потери энергии за счет дифрак­ции и других причин при одном проходе через резонатор. Интенсивность /(£ і) в той же самой точке хг, уг в момент времени = 2Ь/с, т. е. после одного обхода резонатора, будет равна

/(*!> = ВД,(1 - ВД). (5.3.1)

Отметим, что поскольку величина Ть введена здесь как относительные внут­ренние потери энергии за один проход, то интенсивность уменьшается в

(1 - раз при проходе в одном направлении и в (1 - Т^2 раз при двойном

(полном) проходе через резонатор. Тогда интенсивность в той же самой точке после т полных проходов, т. е. в момент времени

£т = 2 тЬ/с, (5.3.2)

Будет равна

Щт) = [Д, Д2(1 - Т,)2Г10. (5.3.3).

Пусть теперь ф(£) обозначает полное число фотонов в данной моде резона­тора в момент времени £. Поскольку пространственная форма моды восста­навливается после каждого обхода, то можно считать, что ф(£) ос /(£). Тогда, используя (5.3.3), можно записать

Ф(*Л) = [Я, Я2(1 - Г;)2ГФо> (5.3.4)

Где фо — число фотонов в моде, изначально находящихся в резонаторе.

Это выражение можно также представить в виде:

Ф(<т) = [ехр(-^т/тс)]фо, (5.3.5)

Где тс — некоторая константа. Действительно, сравнивая выражения (5.3.5) и (5.3.4), с использованием (5.3.2), находим, что

Exp (-2mL/cxc) = [RxR2(1 - Ть)2]т. (5.3.6)

Отсюда видно, что параметр тс не зависит от числа обходов т и определяется соотношением:

Тс = -2L/cln[#!#2(1 - Г*)2]. (5.3.7)

Предположим теперь, что выражение (5.3.5) справедливо не только в мо­менты времени tm, но и в любой момент времени t(> 0). Тогда можно записать:

Ф(0 = exp (-t/тс)ф0. (5.3.8)

Это подтверждает оправданность использования выражения вида (5.1.1) для напряженности электрического поля моды и позволяет определить, на осно­ве соотношения (5.3.7), время жизни фотона в резонаторе. Можно заме­тить, что (5.3.7), с помощью соотношений (1.2.4) и (1.2.6), можно легко при­вести к виду:

Тс = L/cy. (5.3.9)

Отсюда видно, что время жизни фотона в резонаторе равно времени прохода хТ =Ь/с волны через резонатор в одном направлении, деленному на величину (логарифмических) потерь в резонаторе у.

Пример 5.2. Расчет времени жизни фотона в резонаторе. Положим = И2 = Я = 0,98, а Ть = 0. Из (5.3.7) получаем тс = тг/[-1пВ] = 49,5тт, где тг — время прохода через резонатор в одном направлении. Из этого приме­ра видно, что время жизни фотона в резонаторе гораздо больше времени прохода через резонатор, что характерно для резонаторов с малыми поте­рями. Если положить £ = 90 см, то получим тт = 3 не, а тс £ 150 не.

Если известно время жизни фотона в резонаторе, то временную зависи­мость напряженности электрического поля в произвольной точке внутри ре­зонатора можно, в соответствии с (5.1.1), в скалярном приближении запи­сать в виде Е(1:) = Еехр[(-£/2тс) + /со£], где со — угловая резонансная частота моды. В этом случае аналогичная временная зависимость характерна для напряженности электрического поля волны, выходящей из резонатора че­рез одно из зеркал в результате конечного пропускания этого зеркала. Если сделать Фурье-преобразование приведенного выражения, то нетрудно пока­зать, что спектр мощности излучения из резонатора имеет лоренцев контур с полной шириной линии резонатора (ЕЛ^ГНМ), равной

Дус = 1/2птс. (5.3.10)

Отметим, что найденный таким образом спектр излучения не совпадает со спектром пропускания интерферометра Фабри-Перо, представленным в раз­деле 4.5, форма которого не является лоренцевой (см. соотношение (4.5.6)). В частности, приведенное здесь выражение для Аус (см. (5.3.10)), если в нем вместо тс подставить соотношение (5.3.7) при Ть = 0, не совпадает с выраже­нием, полученным в разделе 4.5 (см. (4.5.12) при V = Ь). Это расхождение можно связать с приближением, которое было сделано при записи выраже­ния (5.3.8). Однако численные различия в результатах, полученных из рас­четов по указанным формулам, крайне малы, особенно при высоких значе­ниях коэффициентов отражения, как это будет видно из примера 5.3. Поэто­му в дальнейшем будем считать, что форма линии излучения из резонатора является лоренцевой с шириной, определяемой соотношением (5.3.10), а вре­мя жизни фотона в резонаторе дается соотношеним (5.3.7).

Пример 5.3. Ширина линии резонатора. Если снова положить^ = Я2 = = 11 = 0,98, аТ^О, то из (5.3.10) и (5.3.7) получаем Аус = 6,4307 • 10~3 х х (с/21,), тогда как из (4.5.12) имеем Аус = 6,4308 • 10_3 • (с/2Ь). Для част­ного случая Ь = 90 см получаем Аус =1,1 МГц. Даже при относительно низ­ких коэффициентах отражения = 0,5 расхождение невелико. Дей­

Ствительно, из (5.3.10) и (5.3.7) определяем Аус = 0,221 • (с/2Ь), тогда как из (4.5.12) Аус = 0,225 • (с/2Ь). Снова при Ь = 90 см имеем Аус^ 37,5 МГц. Таким образом, обычно Аус может изменяться от нескольких МГц до не­скольких десятков МГц.

Рассмотрев время жизни фотона в резонаторе, введем теперь понятие доб­ротности, или Q-фактора, резонатора (от англ. quality — качество), и най­дем связь этой величины с временем жизни фотона. Для любой резонансной системы, и в частности для оптического резонатора, добротность Q опреде­ляют как Q = 2п х (запасенная энергия)/(энергия, теряемая за один период колебания). Таким образом, высокая добротность резонатора означает ма­лость потерь в резонансной системе.

Поскольку в рассматриваемом случае запасенная энергия равна фйу, а энергия, теряемая за один период колебания, составляет hv(-d$/dt)(l/v) = = - h(d$/dt), то имеем:

Q = -2nvty/(dty/dt). (5.3.11)

При этом из (5.3.8) находим соотношение

Ф = 2лутс, (5.3.12)

Которое, используя (5.3.10), можно преобразовать к более удобному виду

Q = у/Аус. (5.3.13)

Таким образом, Q-фактор резонатора можно интерпретировать как отноше­ние резонансной частоты у данной моды к ширине линии резонатора Avc.

Пример 5.4. Я фактор резонатора лазера. В соответствии с приме­ром 5.2 положим тс = 150 не и будем считать, что V = 5 • 1014 Гц (т. е. X = 630 нм). Из (5.3.12) получаем 0 = 4,7- 108. Таким образом, ©-фактор лазерного резонатора может достигать очень высоких значений, и это оз­начает, что в течение одного периода колебаний резонатор теряет весьма незначительную долю энергии.