ПЕРЕРАБОТКА СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ В. МАШИНАХ БАРАБАННОГО ТИПА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА КЛАССИФИКАЦИИ

Для учета воздействия вибрации предложено использовать модифицированную ячеечную модель [25, 26].

Поднимающийся слой полидисперсного материала делится на ячейки концентрическими окружно­стями с постоянной разницей радиусов и радиальными сечениями с постоянной разницей в углах. Каж­дый подслой дополняется ячейками, находящимися в скатывающемся слое. В результате такого разде­ления получается ряд замкнутых подслоев. Ячейки, находящиеся в одном подслое, имеют одинаковые объемы, но по подслоям, объемы ячеек разные.

На рис. 6.7 в развернутом виде дана схема соединения ячеек.

где Ат - время одного перехода; 5(A) - вектор состояния системы после перехода к, Р - матрица пере­ходных вероятностей.

При к= 0, т. е. в самом начале процесса можно считать, что мелкие частицы равномерно распреде­лены по всему объему материала, т. е. концентрации этих частиц во всех ячейках будут равны.

Элемент Pjj матрицы переходных вероятностей Р численно равен вероятности перехода мелких

частиц из ячейки і в ячейку j. Численные значения определяются при идентификации параметров мате­матической модели.

Традиционно в математических моделях, построенных на закономерностях марковских цепей, все ячейки имеют одинаковый объем. В рассматриваемой модели ячейки имеют одинаковый объем только в пределах каждого подслоя, но по подслоям эти объемы разные. Эту проблему предложено решить пу­тем умножения вероятностей Р1} на масштабные коэффициенты к1Г которые численно равны отноше­нию объема ячейки і к объему ячейки j.

Рассмотрим предлагаемый вариант на элементарном примере. Пусть имеется цепь из трех ячеек с объемами 7, 2и J, как это показано на рис. 6.8.

Рис. 6.8. День из трех ячеек с разными объемами

Загрузим в первую ячейку ключевой компонент с объемом, равным 1, тогда вектор начального со­стояния будет иметь вид 5(0) = (1; 0; 0}. Допустим, что вероятности перехода ключевого компонента из ячейки 1 в ячейку 2 и из ячейки 2 в ячейку 3 равны 0,5. В этом случае стандартная матрица переходных вероятностей имеет вид:

(6.16)

Если пользоваться этой матрицей, то получим:

Д1) = (0,5; 0,5; 0}; 5(2) = {0,25; 0,5; 0,25}.

Совершенно очевидно, что для ячеек разного объема это неверное решение. Действительно, с уче­том объемов ячеек мы получим, что объем ключевого компонента равен 2, в действительности этот объ­ем равен 1.

В предлагаемом варианте ki = 0,3, а С. з = 0,666. Матрица переходных вероятностей будет иметь следующий вид:

Если использовать данную матрицу, то получим

ОД = {0,5; 0,25; 0}; 5(2) = {0,25; 0,25; 0,08333}.

Учитывая, что объем ключевого компонента в каждой ячейке равен произведению объема этой ячейки на концентрацию ключевого компонента, можно увидеть, что во всех случаях объем ключевого компонента остается неизменным и равным 1.

Следует отметить, что использование масштабных коэффициентов без ограничений возможно толь­ко в тех случаях, когда происходит переход частиц ключевого компонента из ячеек меньшего объема в ячейки с большим объемом. В обратном случае возможны варианты, при которых концентрация ключе­вого компонента в ячейке станет больше 1, что с физической точки зрения невозможно.

Таким образом, для моделирования процесса смешивания - сегрегации можно использовать тради­ционную матрицу переходных вероятностей, дополненную масштабными коэффициентами.

В реальном грохоте зернистый материал постоянно находится в движении, и как отмечалось ранее, происходит угловое смещение ячеек.

а)

б) в)

Угловое смещение ячеек, т. е. движение сыпучего материала в поперечном сечении, можно имити­ровать путем умножения, на каждом переходе, вектора предыдущего состояния системы не только на матрицу переходных вероятностей, но и на матрицу перемещений. Элементы матрицы перемещений равны либо нулю, либо единице.

Рассмотрим имитацию движения на элементарном примере. Пусть имеется замкнутый циркуляци­онный контур, состоящий из пяти ячеек, как показано на рис. 6.9.

Известен вектор начального состояния, например

ДО) ={0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5},

т. е. в первой ячейке объем мелких частиц составляет 0,1 от общего объема, во второй - 0,2 и т. д. Пусть за один переход в системе происходит перемещение на одну ячейку слева направо. В этом случае мат­рица перемещений имеет следующий вид:

(6.18)

После первого перехода вектор состояния будет равен

5(1) = 5(0) Р= {0,5; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4}.

Как видно из вектора, произошло перемещение ячеек на одну слева направо.

Рассмотрим теперь наш случай. Пусть материал во внешнем циркуляционном подслое (ячейки 1-7 и 24 - 30) за один переход перемещаются на три ячейки, в среднем подслое (ячейки 8 — 12и19 — 23) — на две ячейки, а во внутреннем подслое (ячейки 13 - 18) - на одну ячейку. В этом случае вероятности

а оставшиеся вероятности Р„,у и Р„, L J равны нулю.

Таким образом, чтобы получить вектор состояния системы после /-го перехода, необходимо проде­лать следующие операции:

S' (/) = S(j - )РS(j) = S' (i)Pm, (6.19)

где S' (/) - вспомогательный вектор состояния на переходе /'; Р— матрица переходных вероятностей; Рт - матрица перемещений.

Образование дополнительных частиц мелкой фракции за счет самоизмельчения частиц крупной фракции можно учитывать следующим образом. Концентрация крупной фракции на любом переходе в любой ячейке определяется по одной и той же формуле:

скр(а)=-ф, к). (6.20)

Умножив концентрацию крупной фракции на коэффициент Казм, получим второе слагаемое в фор­муле (2.37). Таким образом, можно на каждом переходе, используя вспомогательный вектор S состоя­ния системы, у которого все элементы равны единице, проделать следующие операции:

ад=ад+[з-5(*КзМ. (6.21)

В данном случае не требуется ни каких масштабных переходов, поскольку преобразования осуще­ствляются в пределах одной и той же ячейки.

Сделаем допущение о том, что отсев мелких частиц осуществляется только из ячеек, непосредст­венно контактирующих с просеивающей поверхностью барабана. Для рассматриваемого примера это ячейки 1 - 7 на рис. 6.7. Поскольку объем мелкой фракции, который отсеивается из ячейки і на переходе к, однозначно зависит от концентрации мелкой фракции в данной ячейке, нет необходимости создавать дополнительную матрицу, а вероятности отсева, как вероятности перехода частиц мелкой фракции из ячейки і в ячейку /, с учетом масштабных коэффициентов следует внести в матрицу переходных веро­ятностей. Если объем каждой ячейки, в которую высыпаются из барабана мелкие частицы, обозначить Vo, то суммарный объем мелких частиц, высыпавшихся из барабана после перехода к., можно рассчи­тать по следующей формуле:

Фактически уравнения, приведенные в данном разделе, являются математической моделью процес­са грохочения. Модель используется следующим образом: рассчитываются параметры распределения сыпучего материала в поперечном сечении барабана; составляется цепь Маркова; по гранулометриче­скому составу исходного материала формируется вектор начального состояния; рассчитываются мас­штабные коэффициенты; по известным вероятностям переходов мелких частиц из одних ячеек в другие формируется матрица переходных вероятностей, включающая в себя масштабные коэффициенты; фор­мируется матрица перемещений; производится последовательное перемножение вектора состояния на транспонированные матрицы переходных вероятностей и матрицы перемещений:

У (1) = Х(0)Д S" (1) = У (l)Pm, S( 1) = 5" (1) + [5*1 - S' (ІЖизм];

У (2) = S(l)P, S' (2) = S (2)Pm, S(2) = S' (2) + [Si - 5" (2)A;,M];

S (/) = S(i - )P S' (/) = У (i)Pnh S(i) = S' (/) + [5*1 - S' (/Ж„зм],

где S (/), S' (/) - вектора промежуточных состояний системы на переходе /; У - вспомогательный век­тор; Р- матрица переходных вероятностей; Рт - матрица перемещений.

При идентификации параметров математической модели вероятности переходов частиц из одних яче­ек в другие при первом расчете принимают равными 0,1, при второй итерации изменяют в нужную сторо­ну.

Имитационная модель процесса грохочения представляет совокупность математических моделей движения, смешивания, сегрегации и грохочения. Кроме этого, введены генераторы случайных чисел и соответствующие фильтры, что позволяет имитировать отклонения параметров от их средних значений (например, отклонения углов трения покоя и движения). Имитационная модель позволяет не только рас­считывать, но и оптимизировать режимные и геометрические параметры.