Оптоэлектроника

Взаимодействие между волноводными модами: теория связанных мод

Волноводные моды представляют собой собственные состояния электромагнитно­го поля в волноводе. Они образуют полный базис (вместе излучательными состоя­ниями, которые могут распространяться в волноводе, но которыми мы пока будем пренебрегать), в рамках которого мы можем использовать разложение по возмуще­ниям. Такие возмущения могут иметь много источников: гофрирование волновода (хаотичное или периодическое), нелинейные взаимодействия (например, генера­ция второй гармоники) или, возможно, присутствие второго волновода, располо­женного столь близко, что становится возможной связь за счет фотонного туннели­рования. Все эти возмущения можно рассмотреть в рамках очень эффективного формализма, известного под названием теории связанных мод. Эта теория очень похожа на теорию возмущений в квантовой механике.

Начнем же мы с уравнений Максвелла в среде:

VxE(r, 0 = -|-В(г,0 ot

VxB(r, t) = //0^-D(r, t) ot

Здесь D есть вектор смещения:

Б(г, /) = £0Е(г, 0 + ад(г)Е(г, /) + Ррсг(г, /) = £(г)Е(г, О + Ррег(г, /) (9.32)

В этой последней формуле е(г) = п2 (г) есть диэлектрическая постоянная для различных материалов, образующих волновод (1,2, ...) и Ррег есть возмущающая по­ляризация, которая исключает диэлектрический отклик различных слоев (посколь­ку он включен в £(г)). В этом случае уравнения (9.31) приобретают вид:

У2Е(г)-/г0£(г)-^тЕ(г) = Мо^т Э/ Э/

Уравнение распространения с возмущающим поляризационным источником

Это уравнение образует базис для трактовки с использованием метода возму­щений различных эффектов в волноводах (рассеяние, дифракция, ...), и оно играет центральную роль в оптоэлектронике (смотрите, например, главу 12). Для того, чтобы не усложнять чрезмерно систему обозначений, мы не будем рассматривать изменения по у, но будем интересоваться амплитудой электрического поля вдоль еу, которую мы будем обозначать как Дг, /). В этом случае дифференциальный оператор V2 есть (д2!дх2) + (<?2/с? г2).Поле дг, /) может быть разложено по базису волноводных мод Ет(г, /) = ЪуЕт(х)&{ш~ Рт1) или:

Е(г>() = тХ ■ ■' - (9'34)

+ к. с.

Мы напоминаем, что здесь каждая мода должна удовлетворять уравнению:

Э2

-Ет(х)+ [к2є(г)-^]Ет(х)= О

Дх

Члены Ат представляют собой амплитуды волноводной волны, изменяющиеся вдоль I вследствие влияния возмущений. С учетом нормировки (9.20) квадрат модуля | Лт |2 есть оптическая мощность моды т на единицу ширины волновода. В отсутствие возмущений члены Лт не зависят от z^ Подставляя (9.34) в (9.33), мы получаем:

Т-Т Е„(х)~ Д,2Ет(*)+ цае(г)»2Ет{х)

(9.36)

|г

Здесь Ру есть компонента вектора возмущающей поляризации в направлении Оу. Заметим, что первая сумма равна нулю с учетом (9.36). Мы также используем апп­роксимацию, когда амплитуда волны слабо изменяется (аппроксимация огибаю­щей функции). Это позволяет нам записать:

«А

Эг

Аппроксимация огибающей функции

В этом случае (9.36) принимает вид:

_Э_

К

После чего умножим это выражение на Е^), и возьмем интеграл, что эквивалентно проецированию (9.33) на собственный базис волновода. Используя условия орто­нормальности (9.22) после перегруппировки подобных членов мы получаем:

Мы напоминаем, что здесь р0 есть константа нормировки (р0 = 1 Вт/м). В этом последнем уравнении А + и А ~ есть амплитуды моды /, распространяющейся в на­правлениях +z и — z соответственно. Уравнение (9.39) описывает, каким образом возмущающая поляризация Р (г, t) может индуцировать перенос энергии между различными собственными модами резонатора. Часто возмущающая поляризация является функцией других возмущенных мод и (9.39) (или уравнение связанных мод) вызывает их связь. Это очень эффективный формализм с широкой областью при­менения. Мы будем использовать его для описания функционирования оптических согласователей (дополнение 9.Б), лазеров с распределенной обратной связью (До­полнение 13.А), а также оптического преобразования частоты в нелинейных волно­водах (дополнение 9. В).