Оптоэлектроника

Тепловой шум

Для расчета теплового шума мы вначале рассмотрим электрон в полупроводнике, в котором нет ни поля, ни градиента концентрации носителей. Эволюцию функции распределения такого электрона дает уравнение Больцмана (смотрите главу 6):

Э/(у, 0 = /(у, О - Л (у) Э/ г»

Здесь /(V, /) есть вероятность того, что в момент времени t электрон обладает ско­ростью V (уравнение (6.7)). Мы использовали аппроксимацию времени релаксации для интеграла столкновений (уравнение (6.12)).^(у)есть распределение Максвелла при термодинамическом равновесии.

Решение этого уравнения получить достаточно просто:

Если мы фиксируем скорость в момент времени на величине у0, то в этом слу­чае мы имеем /(у0) = <?(у — у0) и (11.А.19) дает причинную функцию распределения, т. е. вероятность того, что скорость в момент времени / составляет V при условии, что в момент времени і = 0 она равна у0:

/(у, / I У0, 0)= б(у - У0)ехр

(11.А.20)

Г>о).

Комбинированная функция распределения, т. е. вероятность того, что скорость составляет V в момент времени / и у0в момент времени / = 0, соответственно есть:

/(v, t;y0, 0)= /o(v0)<J (v - v0)exp
(11.A.21)

Из этого комбинированного распределения мы получаем автокорреляционную фун­кцию для V при / > 0:

S„U) = Jdvdv0v^0x/(v, г; v0, 0)= Jdv0v02,/0(v0)exp

(11. А. 26)

Далее, каждый электрон дает вклад в ток — дуJL, и поскольку движение элект­ронов является некоррелированным для спектра мощности /, мы имеем: $А<о)= 7г(Х = (11.А.27) п т / п При этом в комбинации с (11.А.26) мы получаем:

Sll(o))= 2kT - jjqЯ = 2kTG

(11.А.28)

Компонента теплового тока в спектре шума тока Здесь: G = /R есть проводимость полупроводника. Связь между флуктуациями, описываемая токовой автокорреляционной функцией S.. и проводимостью G явля­ется частным случаем достаточно общей флуктуационно-диссипативной теоремы. Связь между линейным откликом G и флуктуациями / показывает, что диссипатив­ные процессы не могут существовать без флуктуаций или шума. Таким образом, не­возможно измерить отклик системы в условиях возмущения без того, чтобы сама система не была бы источником шума. Применяя соотношение (11.А. 11) для мощности в полосе частот Ац обуслов­ленной тепловым шумом, мы находим:

(1 I. A. 29)

Тепловой шум в полосе частот А у

Это последнее выражение может быть интерпретировано следующим образом: тепловая мощность Ri2, рассеиваемая на резисторе R в полосе частот А V эквивален­тна средней тепловой энергии 4кТ, рассеиваемой в течение времени Ау~1.

Найдем стандартную дисперсию тока из-за теплового шума при 300 К в резисторе номиналом в 50 Ом при интегрировании сигнала в течение 1 мс. Спектральная ширина составляет 103 Гц, при этом выражение (11.А.29) дает У(4 х 1,3 х 10-23 Дж К"1 х х 300 К х 103 Гц/50 Ом) или 0,57 нА. Этот ток далек от того, чтобы быть пренебре­жимо малым.