Оптоэлектроника

Оптические фононы и фрелиховское взаимодействие

Рассмотрим теперь, каким образом фононы влияют в материале на динамику носи­телей. Взаимодействия такого рода чрезвычайно важны как при рассмотрении яв­лений переноса (т. к. электронная подвижность при комнатной температуре опре­деляется взаимодействием с фононами), так и при рассмотрении релаксационных явлений с участием носителей, которые возбуждаются оптически или сильными электрическими полями.

6. Б.1. Фононы

Фононы представляют собой колебательные волны атомов решетки. Для начала мы нач­нем с изучения простой модели, представляющей собой линейную цепочку двухатом­ных молекул. В качестве аппроксимации используем предположение о том, что межа­томные силы линейно возрастают с увеличением смещения от состояния равновесия, при этом они направлены таким образом, чтобы возвращать атомы в положение равновесия при й/2 (рис. 6.Б.1).

Такая двухатомная модель очень удачно описывает бинарные полупроводнико­вые соединения, такие как ваАБ или 1пР.

Предполагается, что смещение атома у по отношению к его равновесному поло­жению для тяжелых атомов (масса М) и легких атомов (масса т).

СУ

М---------------- ►

М к т к Лллл/Юлллм

Х, УI *уч 1 У у+1 ХуЧ2 У1+2.

Рис. 6.Б.1. Линейная цепочка из атомов с массами М и т. Межатомные силы пред­

Ставлены на рисунке пружинками таким образом, что сила между прилега­ющими атомами составляет к(у] - х). При этом хи у обозначают расстояния смещения атомов от своих равновесных положений.

Классический гамильтониан такой системы представляет собой:

#(*,, Ур У^ = *'2 +тІЇ +к^і~хі) + (6Б1)

При этом сопряженные переменные имеют вид:

ЭЯ

ЭЯ

Г’>~~5Г~ т*‘

В этом случае динамическое поведение системы описывается уравнениями: Рх, = А/ *, = = - к(х1 - у,)- к:(*, - УМ)

ЭЯ

Ру, =тУ1 = = -*6о - *іУ кІУі - х/>|)

Таким образом:

М хі = к(уІ + у^-2х;) ту і = к{хі, х+хі-2у])

Приведенные выше выражения представляют собой уравнения Ньютона для смеще­ния каждого атома.

Будем искать решения в виде волн с частотами со (> 0):

Х. = X ехр(і#/</ - ісої) у. = У ехр(і#/</ - їсої)

Подставляя (6.Б.5) в (6.Б.4) и полагая со* = 2к/Ми со* = 2к/т, получаем:

(б>т ~0)2)Х - О),

(6.Б.6)

■ со

Условие существования нетривиального решения дает частотные моды:

Т4 - (<у,, + а>1 )у2 + ща>1 віп

2 (ОХ. + сот, (О - — — ±

Рисунок 6.Б.2 демонстрирует дисперсионные зависимости со (д). Отметим на­личие двух ветвей, называемых ветвями оптических и акустических фононов.

В пределе при д —> 0 мы легко получаем:

Л1®2м + (»1

Сопг

М т

(6.Б.8)

Дсі

Т

А при д = к/й мы находим, что (оо^ = сот и соас = сом.

Приведенные выше решения лежат в пределах зоны, определяемой —п/й < д<п/й, поскольку решение для д = д0 +2лп/с1 представляет то же самое смещение, что и решение, соответствующее д0. В самом деле:

Су = X ехр (і^оУ^ + 27rnj - ісоґ) = X ехр (і - і<у/)

Более того, если цепочка не является бесконечно длинной, а имеет конечную длину £ = Л# (см. также уравнение (5.10)), использование периодических граничных условий = х. и ум+. = у. приводит к дискретным значениям для д:

ДИс1 = 2т ■■

2

Л

<7„=Т -

В этом случае плотность мод для каждой ветви составляет Ц2л, а полное число мод равно 2И, т. е. равно числу степеней свободы в системе из 2#атомов.

Уравнение (6.Б.6) дает для каждого решения соотношение амплитуд X(д) и У(д), при этом в особом случае вблизи центра зоны (д ~ 0) для оптических фононов мы имеем:

(°т Соі

(6.Б.11)

А в случае акустических фононов:

(6.Б.12)

Таким образом, оптические фононы характеризуются противонаправленным дви­жением двух типов атомов, что и объясняет их высокие частоты. В то же время акустические фононы не вызывают смещения пружинок при # —> 0 и таким образом не обладают упругой энергией (что и объясняет, почему их частота стремится к нулю в центре зоны).

Мы не будем изучать распространение модели нашей линейной цепочки на случай трехмерной кристаллической решетки. Необходимый в этом случае форма­лизм потребовал бы внушительное число индексов для того, чтобы отследить трех­мерные смещения каждого из атомов и их волновые векторы в зоне Бриллюэна. При этом сущность модели и в этом случае осталась бы неизменной. Для бинарной системы типа СаАз полное число мод становится равным 6УУ (где 2УУ есть число атомов в объеме V). Таким образом, решения распределены по трем акустическим ветвям с со(ц) —» 0 для ц —> 0 и трем оптическим ветвям, для которых *у(0) Ф 0.

Основным отличием одномерного и трехмерного случаев является существо­вание мод, для которых смешения не являются параллельными волновому векто­ру ч — это поперечные моды. Рис. 6.Б. З иллюстрирует различные варианты смеще­ний для волн, распространяющихся направо в симметричном случае (в любой ре­шетке в общем случае смещения, связанные с модами, не являются параллельными или перпендикулярными волновому вектору).

Теперь возвратимся к одномерному случаю, который вплоть до настоящего времени рассматривался чисто классически. Для получения картины, более близкой к реальности, следует рассмотреть систему с точки зрения квантовой механики. Таким образом, мы долж­ны заменить наше выражение для гамильтониана в (6.Б.1) на оператор гамильтониана, по­лучаемый заменой р^ —> (й /ОЭ/Эх. и т. д. и при использовании коммутаторов [х, /?У ] = Ь и т. д. Однако более изящный путь заключается в трансформировании гамильтониана до введения операторов.

С этой целью давайте введем нормальные координаты:

(6.Б.13)

При этом обратное преобразование осуществляется с помощью соотношений:

(6.Б.14)

Шштшт

^•0»0»0»0»0»0»0<

,0»0«0«0»0»0.0«0

П:ии«ннии1;2пй? К1;||

Йй11!:р!1111;

Шшшшрщш

1111111:11111

► О •

ТА - фонон

•0[9]0аала*0,0*0*°*о*о*о*о*о*о

0*°*АЛЛА*0*0*0*о*ооо*о*0‘

*0,0АЛЛЛА°*0*0*0*9999*0*0 0*0* А Л Л А *°*0*0*° 9 9 9 °*0*

•°*0А6а6аа6А0-0-0,о‘оУо9о^о-о-о

0*0ААЛЛАА°*0*0*0*999*0*0* *° А А Л А А 0*0*0*9 9 9 9*0*°

° • ° • а а л а * ° * ° * ° * о о о о о * о •

*0,0аллла0*0*0*°*9999*0*0 о. о.о666о. о.о*о*о*0*0*п*ов

°*°»аааа®*ооооо*о

•®*о.666о. о.о*о*о*оооо*о*<

•°-0А6л6А6А0-0-0,°’о-одсо-о-

0*0Аллла0,0*0*0*9999*0*0

•°-0а6аа6а0-0-0,°‘оУо9о9оУо-о-

®?°АААА^°?®*0*0*0000*0*0

5 А А А А • ° • ° * ° * ° * 9 О 0 0*0*0

°*0*АААА*0*0*°*оУодоо*о*

.0 6 6 6.0. о.

.О.00000о. о.о-о*оуоуоуо-0*0 ° * ° • X а. А А • ° * ° * о * о о о о о * о •

”^*°» а а а *0,0*0*0*С ---

>0»°аааа0*0*0*®*0 > *°ДбАбАбАб* О * О * О * о * с

°*0*АААА0*0,0*°*о‘о'о'о'

*0,0А А А А А0*0*0*0‘9 9 д <?'

•0-°46жг)ж6ж0.0-0-0-0У09090УС

Л3АЛЛА°А0*0*0‘09990’°*

,0*ААААА0*9999*0*0

0*0*0А6ААА0*0*0,°,0У0У0У0У0,0'

*0*0АаааА°*0*0*0*9990*0*0

0,0» # д д » »0,0*0*0 0 0 0*0*0*

*0*0АЛЛЛ*0*0*0*°*9999*0*0 о • ° • а а а а * ° * ° * ° * о о о о о * о •

•° • °а а а а а°* ° * ° * ®* о о о о * о * о О.0.0.6.6В6.о. о.о. о'о*оУо ово*о«

ТО - фонон

SHAPE \* MERGEFORMAT

Собственные моды, обладающие временной зависимостью типа е“ Для каждой моды амплитуды связаны соотношением:

(6.Б.18)

Это позволяет нам устранить У из функции Гамильтона, но приводит к необходи­мости суммирования по всем модам:

Введение переменных X приводит нас к функции Гамильтона, представляющей со­бой сумму независимых осцилляторных функций Гамильтона, обладающих собственными частотами о)ц ±. Вместе с сопряженными переменными мы окончательно получаем:

(6.Б.20)

При использовании этого уравнения в качестве исходного пункта переход к квантовой механике становится очевидным: каждый классический гармонический осциллятор ста­новится квантово-механическим осциллятором (смотрите Дополнение 1.Г) с собственными энергиями:

(6.Б.21)

Где «число фононов» пд ± в моде либо равно нулю, либо дается целым положительным числом.

Отметим сильное подобие квантования атомных перемещений в решетке и квантования электромагнитного поля. Да и сам термин фонон отражает близкую аналогию с фотоном. В связи с этим по аналогии с фотонами мы можем говорить

О корпускулярной природе фононов. В рамках такого описания мы можем гово­рить об эмиссии/создании и поглощении/уничтожении фононов и т. д. Очевид­но, что такое описание базируется на операторах рождения и уничтожения гармо­нического осциллятора (смотрите дополнение 1.Г)

Поскольку число фононов, которые могут существовать в моде п, не является ограниченным, фононная заселенность определяется той же самой статистикой засе­ленности, которая характеризует фотоны, что делает их бозонами. При термодинами­ческом равновесии (при температуре 7) среднее число фононов в моде дается таким образом соотношением:

(6.Б.22)