Оптоэлектроника

Нестационарные возмущения второго порядка

В главе 1 мы видели, каким образом нестационарный гамильтониан может обусло­вить переходы между различными состояниями квантовой системы. Чтобы пока­зать это, мы записывали нестационарное уравнение Шредингера в базисе, сформи­рованном собственными состояниями системы и анализировали член за членом все элементы дифференциального уравнения (уравнение (1.70)). Сейчас же мы пред­ставим альтернативный и более эффективный подход, обеспечивающий графичес­кую интерпретацию временной эволюции квантовой системы в условиях внешних возмущений. Это позволит нам обобщить результаты на случай квантовых перехо­дов более высокого порядка, таких как двухфотонное поглощение свободными но­сителями.

Начнем с нестационарного уравнения Шредингера, описывающего эволюцию состо­яния l'F(O) системы под влиянием нестационарного гамильтониана H(t):

Н(,} чЧОН^ИО) (З. Б.1)

Поскольку последнее уравнение является линейным, состояние системы в момент времени tb связано с состоянием системы в момент времени ta линейным оператором u(tb, ta), определяемым соотношением:

|*М = М'4 <ЗБ-2>

Этот оператор распространения должен удовлетворять уравнению:

(з. б.3)

Если гамильтониан Яне зависит от времени (#(/) = #0), то в этом случае последнее урав­нение может быть легко проинтегрировано, что дает:

U(tb, ta)=e-«H°/h*>-'°) (ЗБ.4)

(в этом уравнении экспоненциальный оператор ея соответствует ЪНп/п!).

Введем базис, сформированный собственными состояниями |т) оператора #0, определяемыми Н0т) = Ejm). Используя соотношение свертки:

/ = 5>ХЧ (З. Б.5)

Т

Где / — оператор идентичности, оператор и может быть записан в виде:

При этом сот соответствует боровской частоте Ет/%.

Теперь мы предположим, что гамильтониан системы Н0 возмущен нестационарным взаимодействием V(t) так, что Н= Н0 + V(t). В этом случае оператор распространения яв­ляется решением дифференциального уравнения:

[#0 + v(tb)]u (ta, t„)= іh-Ј-u (tb, О а h

Беря в качестве образца для подражания замену переменных, которую мы осуществи­ли уже ранее в (1.67), введем оператор и в соответствии с соотношением:

И (h, к)

Иногда такую замену переменных называют картиной взаимодействия. Подставляя (З. Б.8) в (З. Б.7), получаем:

І Hщh, ta)=

Это уравнение может быть формально проинтегрировано, что дает:

(З. Б. 10)

(З. Б.11)

Уравнение Шредингера для оператора распространения

Где оператор и(0) есть оператор распространения невозмущенной системы, оп­ределяемый (З. Б.6). Уравнение (З. Б.11) не имеет практической пользы в том смыс­ле, что это просто интегральная форма дифференциального уравнения Шрединге - ра. В то же время оно предоставляет возможность графической интерпретации и создает основу для итерационных вычислений, которые мы теперь и опишем.

Уравнение (З. Б. 11) может интерпретировано как ограниченный ряд по возмущениям возрастающего порядка, при этом м(0) соответствует первому члену этого многочлена. В этом случае оператор распространения может быть записан в виде:

(З. Б. 12)

Где:

(З. Б. 13а)

SHAPE \* MERGEFORMAT

(З. Б. 136)

(З. Б. 13e)

Сейчас мы уже можем интерпретировать графически эти уравнения:

А) В первом порядке и(1): система изменяется с момента времени ta до момента времени без взаимодействия (член г/(0)(^, ^)), взаимодействует с возмущением в момент времени ^ (член К(^)) и продолжает эволюционировать без взаимодей­ствия вплоть до конечного момента времени ^ (член и(0)(^> ^)). Рисунок З. Б.1 дает графическую интерпретацию этой эволюции, известную как Фейнмановская

Рис. З. Б.1. Фейнмановская диаграм­ма возмущения первого порядка.

Диаграмма. Поправка первого порядка к оператору распространения в этом слу­чае представляет собой интеграл всех этих элементарных вкладов по всем проме­жуточным значениям времени Для детального и более углубленного рассмот­рения этого вопроса читателю рекомендуется ознакомиться с шедевром Ричарда Фейнмана: The strange Nheory of Light and Matter (1985).

Исходя из (З. Б. 136) мы можем рассчитать поправку первого порядка к состо­янию системы:

Где [) = |Ч,(0)(/ = 0)) есть начальное состояние системы, а также рассчитать ско­рость переходов между состояниями |/) и |/'). Затем мы могли бы возвратиться к более ранним результатам раздела 1.6, но оставляем это в качестве упражнения читателю. Теперь мы обратим наше внимание на члены разложения второго по­рядка. Взаимодействие второго порядка играет принципиально важную роль, когда взаимодействие первого порядка дает нулевую скорость перехода (как это имеет место в случае запрещенных переходов), б) Во втором порядке: интеграл (З. Б. 13 в) может быть интерпретирован следующим образом. Система переходит от ta к tv взаимодействует в момент времени затем переходит от /, к /2, вновь взаимодействует в момент времени /2 и переходит к tb без взаимодействия (рис. З. Б.2).

В (З. Б. 13 в) мы заменяем выражение для невозмущенного оператора м(0) на его точное определение в соответствии с (З. Б.6), что дает:

Рис. З. Б.2. Фейнмановская диаграмма для возмуще­ния второго порядка.

(З. Б. 15)

Что после перефуппировки членов может быть записано следующим образом: 'г<2)(0) = -^Х1/)е",ау = / | ^(/|к(/,](«)е^(«|к(/2](/)е^ (1^2 (З. Б. 16) / г = 0 г2=0 I - п В последнем выражении мы узнаем разложение состояния Ь^/)) по всем возможным конечным состояниям |/), т. е.:

чЬЩ = ^с,<!]/уи» С,«- р-Т ’ППX<'T<''He“‘‘

(З. Б. 17)

D/,d/2

Сейчас самое время детализировать потенциал взаимодействия К(/). Предположим, что К(/) обусловлен вкладом двух осциллирующих источников:

(З. Б. 18)

Подставляя вьфажение для V(t) в (З. Б. 17), замечаем, что cf(t) будет суммой различных вкладов 2o)v 2њv со{ + (ыv — со2. Сначала поинтересуемся суммой частот ео{ + со2 (что соответствует двухфотонному пе­реходу). Вьфажение (З. Б. 17) в этом случае приобретает отчасти неудобный вид:

(З. Б. 19)

(З. Б.20)

(З. Б.21)

Ef - = hњx + hњ2

В этом случае в выражении (З. Б.20) доминирует первый член в скобках. Конечная амплитуда сД/) принимает вид:

Sin (ы)jj - coj - coj )t / 2

«-тХ S X

(З. Б.22)

В этом выражении мы узнаем вопросы, обсуждавшиеся в разделе 1.6. Для больших промежутков времени вероятность |сД/)|2 нахождения системы, изначально находя­щейся в состоянии |/>, в состоянии |Д) стремится к (смотрите (1.77) и (1.78)):

(ГПп){пУ,і)

2 1

Как и в случае нестационарного возмущения первого порядка, мы узнаем, что возмущение второго порядка обусгцвливает постоянную скорость перехода <7^, ко­торая в этом случае определяется соотношением:

Д(Ел - Ьсо1 + Нсо;) (З. Б.24)

Второе золотое правило Ферми

Последнее выражение называется вторым золотым правилом Ферми. Каждый член в сумме (З. Б.24) интерпретируется следующим образом: под влиянием колеба­ний с частотой ^система переходит из состояния |/) в состояние |п) с вероятностью перехода, пропорциональной (я|К7|/). Поскольку энергия при этом не сохраняется, переход может иметь место только в пределах временного интервала Д/, устанавли­ваемого вторым соотношением неопределенности (Д/= й/ДЕ или Ы(Еп. — £,)), и который проявляется как весовой коэффициент в (З. Б.24). Рисунок З. Б.Зя иллюс­трирует двухфотонный процесс поглощения.

Теперь мы применим второе золотое правило Ферми к проблеме двухфотонного (2со) поглощения. Рассмотрим двухуровневую систему (|1) и |2) с межуровневым энер­гетическим интервалом Н со21. Эта система подвергается воздействию электромагнит­ной волны с частотой со. В этом случае гамильтониан возмущения имеет вид:

(З. Б.25)

С учетом того, что в приведенном выражении отсутствует суммирование по индексам /и У, скорость двухфотонного поглощения, определяемая (З. Б.24), дается соотношением:

(З. Б.26)

Поскольку промежуточными состояниями могут быть только |1) или |2), получаем:

(З. Б.27)

И так как о>21 ~ 2(о:

И полагая:

<2|К|1) = !^

(2|К|2)-(1|К|1) = ^И (З. Б.29)

(2|г|2)-(1|ф) = $2

Находим, что скорость перехода между двумя состояниями системы составляет:

= *И*(Е^'Л 6{р>'= 2(о) (3-Б-30)

8Ь (со21 - со)

Таким образом, даже если переход |1> —> |2> не разрешен в первом порядке, двухфотон­ный переход разрешен до тех пор, пока элемент 6п не равен нулю (т. е. до тех пор, пока система асимметрична). Осциллирующая волна с частотой со испытывает ослабле­ние интенсивности (= есЕ2/2пор) во время распространения, равное:

-?-1ш = 2Нс>С„(М1-М1) (З. Б.Э1)

О1

Где и Ы2 соответствуют плотности заселенности своих соответствующих уровней. Под­ставляя (З. Б.ЗО) в (З. Б.31), мы видим, что поглощение может быть записано в виде:

^-К = - РЧ (З. Б.32)

01

Где Р представляет собой коэффициент двухфотонного поглощения, определяемый соот­ношением:

/> = = 2»)

Е с Тг (со,, - со У

Коэффициент двухфотонного поглощения

Эта теория без труда может быть обобщена для трактовки двухфотонных пере­ходов в полупроводниках. В этом случае (З. Б.ЗЗ) должно быть проинтегрировано по всей зонной структуре с использованием процедуры, изложенной в другом кон­тексте в главе 5. В таблице З. Б.1 представлены коэффициенты двухфотонного по­глощения в различных материалах. Двухфотонное поглощение имеет очень важное значение, так как оно ограничивает плотность оптической мощности излучения, которое может распространяться в оптоэлектронных компонентах (например в ла­зерах, модуляторах и т. д.). Двухфотонное поглощение может использоваться также и для оптической защиты от избыточных лазерных пучков.

Пример

А) Рассмотрим лазер на основе ваАз с волноводным слоем с толщиной 0,1 мкм и с шириной 5 мкм. При внутренней мощности излучения 500 мВт плотность мощно­сти /0 излучения составляет 107 Вт см-2, что приводит к двухфотонному поглоще­нию /?/0 (/?= 25 см ГВт“1) или к паразитным потерям амплитудой 0,25 см-1. Это не является пренебрежимо малой величиной, при этом двухфотонное поглощение ограничивает уровни мощности излучения, которое может легко распространяться в волноводах на основе ваАБ.

Б) Брусок 1пБЬ толщиной 1 мм помещен перед фокальной точкой линзы, что обеспечивает диаметр световой точки 0,5 мм или площадь освещенной поверхности 2 х 10-3 см2. Мощ­ность выходного излучения на выходе бруска дается в этом случае интегралом диффе­ренциального уравнения (З. Б.Э2):

(З. Б.34)

Где /0 — мощность излучения на входе. При мощности 2 МВт (или плотности мощно­сти 1 х 109 Вт см-2) плотность мощности на выходе равна Я/d или 1/(5 х 103 см ГВт-1 х х 10"1 см), что равно 2 х 10_3 ГВт см~2. Это соответствует коэффициенту ослабления 7//0 = 2 х 10~3.