Оптоэлектроника

Механизмы рассеяния

Механизмы рассеяния абсолютно необходимы для правильного описании электрических свойств материалов. Более того, эти процессы объясняют пропорциональность между индуцированным током и величиной приложенного электрического поля (закон Ома). Среди этих механизмов наиболее важные вклады даются рассеянием носите­лей заряженными примесями и фононами. Фононы (колебания решетки) и элект - рон-фононное взаимодействие будут рассмотрены в дополнениях в конце этой гла­вы. Здесь же мы рассмотрим рассеяние носителей на примесях, процесс, в котором доминируют остаточные ионы, используемые при легировании основного полу­проводникового материала.

С учетом длины волны электронов в зоне проводимости заряженную примесь мож­но рассматривать как точечный заряд Ze. Поскольку этот заряд располагается в крис­талле, содержащем свободные электроны, мы можем ожидать, что концентрация элек­тронов вблизи примесей увеличивается, приводя к значительной экранировке элект­рического поля дефекта. Наиболее простая возможная (и тем не менее очень эффективная) трактовка этого явления, описываемая далее, приписывается Де­баю. Мы знаем, что в невырожденном полупроводнике зона проводимости харак­теризуется средней электронной плотностью п0 = УУехр(—(Ес — Е^/квТ) (смотрите

(5.42) и (5.43). Если мы добавим медленно изменяющийся (по сравнению с по­стоянной решетки) электростатический потенциал К(г), каждый электрон будет обладать в дополнение к своей решеточной энергии £(к) еще и потенциальной энергией — еУ(т) (смотрите рис. 6.4). В этом случае мы можем отобразить полную зону проводимости как будто смещенную вертикально на энергию — еУ (г). При термодинамическом равновесии энергия Ферми постоянна в пределах всей системы, при этом концентрация электронов изменяется в соответствии с соотношением:

І А! ІX - еУ(г) - ЕЛ

П(г) = Nc ехр<| - ^ = п0 ехр

КвТ

В этом случае изменение, обусловленное потенциалом, составляет:

ЕУ( г)

^ = - еЯ20У{т) (6.24б)

К оТ

Где линеаризация заряда определяется дебаевским волновым вектором ^ или дебаев - ской длиной Л0= /я0ъ соответствии с соотношением:

ЕкгТ

(6.25) Т

Дебаевские волновой вектор и длина

Этот параметр важен, так как он описывает характерную длину в пределах кото­рой электронный газ может экранировать внешний потенциал. Этот момент лучше иллюстрируется при рассмотрении электростатического потенциала из-за плотнос­ти наведенного заряда /?ех1(г). В этом случае такой потенциал определяется уравне­нием Пуассона:

У2К = = - Ра* + РтЛ = -&2- + а1У (6.26)

Е е е

Где е есть проницаемость среды (е= ея£0). Этот уравнение может быть решено с использо­ванием Фурье-преобразования:

1 (2Л> ‘ (6.27)

У(ь — РехДк) _ ^ехДк)

[кг +я1)е 1 + (я1/ к2)

Для точечного заряда р(г) = 2е8(г), такого, что Дк) = находим (после отча­сти длинного обратного преобразования) полный и внешний потенциалы:

7 ~Ч°Т 7

К(г) = ^£-£_, |/м(г) = -^- (6.28)

4 ЯЕ Г 4л£Г

Что, естественно, дает экранированный кулоновский потенциал на расстоянии по­рядка дебаевской длины.

Пример---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Для ваАБ, легированного до уровня 1017 см-3, находим:

, _ е(квТ/е) _ 112х8,8хЮ"'2 х0,026 _ ° еп0 1,6х 10_19 х 1023

Рассчитаем теперь вероятность рассеяния электрона, изначально находящегося в кри­сталле в состоянии к и обладающего волновой функцией:

^к(г) = ~^ик(г)е'кг (6.29)

Распределение рассеивающих примесей, расположенных при г., дается выражением:

^(г) = Х^р(г-г>) (6-30)

У

Возвращаясь к стационарной теории возмущений, рассмотренной в разделе 1.6.2, с учетом стационарного потенциала, вводимого в момент времени I = 0, и с использова­нием золотого правила Ферми находим вероятность скорости перехода в состояние к':

5(к к') = ^(к'^к^^к') - £(к)] (6.31)

Что с точностью до множителя представляет собой ту же самую формулу, которая дается уравнениями (1.78) и (1.83) для (о = 0. В данном случае множитель в четыре раза больше, так как мы не выделили временную зависимость для положительных и отрицательных ча­стот. Закон сохранения энергии показывает, что такие столкновения являются упругими (смотрите рис. 6.5).

Подставляя волновые функции для состояний к и к7, находим выражение для матрич­ного элемента:

(к1|/»1к>^1“;<гК<г|е"‘",'>'''<г)<1‘г■ -^ТкГГкрТДТ?6""1""-' <6'32>

Где в дополнение к периодичности волновых функций ик мы использовали следую­щие аппроксимации:

• К^Дг) существенно не изменяется в пределах периода кристалла;

• Интеграл перекрытия составляет:

©

Рис. 6.5. Столкновение электрона с примесью в реальном (а) и обратном (б) пространстве.

При этом его часто аппроксимируют равным единице для близлежащих состояний, расположенных в той же самой зоне. Квадрат модуля матричного элемента будет содержать двойную сумму типа: -1(к'-к)(гу-гг)

Априори, нам ничего неизвестно о положении г примесей. Наиболее простой подход — использовать этот недостаток информации — заключается в предположе­нии, что положение примесей хаотично таким образом, чтобы сделать вклады раз­личных примесей равными нулю поскольку фазы (к' — к) (г — г.,) будут равным образом хаотичны для ] — у. В результате этого остается только сумма для у =у/, что определяет количество примесей, N. Наконец, можно найти, что скорость переходов равна:

(6.34)

Где п. тр = №тр/У есть концентрация примесей, а 7е заряд одиночной примеси. Напоминаем, что г есть диэлектрическая проницаемость кристалла, однако без учета вклада свободных носителей. Их поляризуемость учитывается Отметим также, что £(к -> к') = 5(к -> к'), как это имеет место в процессах упругого рассеяния. Если мы знаем 5(к —> к'), то мы можем рассчитать время релаксации т(к) для простого случая электронов в изотропной параболической зоне, обладающих эффек­тивной массой т Уравнения (6.6), (6.12) и (6.13) дают:

Из чего мы заключаем, что:

(6.36)

Поскольку 5(к —> к') зависит от угла в между кик' скорость релаксации отли­чается от средней скорости столкновений £5(к —> к'). Поскольку в выражения для столкновений в качестве весового множителя входит изменение импульса, сопро­вождающее рассеяние, этот процесс целесообразно характеризовать временем ре­лаксации импульса. Аппроксимируя 1(к', к) единицей, мы, в конце концов, находим:

(6.37)

(2 к/двУ 1 + (2 к/ЧоУ
1 Г(к) ~ П'т"
(6.38)

В действительности, как мы увидим, что при комнатной температуре рассеяние на фононах доминирует над примесным рассеянием во всех случаях за исключени­ем образцов, обладающих примесной концентрацией выше п. тр = 1017 см-3.