Оптоэлектроника

Колебательный подход к волноводам

Вспомним, что электрическое поле электромагнитной волны в нейтральной среде а = 0 и р = 0) с коэффициентом преломления п(т) является решением волнового уравнения, сле­дующего из уравнений Максвелла (смотрите Главу 2):

2

УЕ(г, 0 - ^Мг^ЕО-, /) = 0 (9.9)

Предположим, что волна имеет радиальную частоту со, т. е. что поле Е определяется

Формулой:

Е(г, /) = Яе[Е(г)е-'] (9.10)

Это выражение приводит к уравнению Гельмгольца для амплитуды Е(г):

У2Е(г) + К2п2(т)Щт) = 0 (9.11)

Здесь к есть модуль волнового вектора к, связанный с со вакуумным дисперсионным соотношением к = со/с. Рассмотрим частный случай с волной, распространяющейся вдоль оси 01 (рис. 9.3).

Х

В этом случае мы можем представить поле в виде Е(т, /) = Е(х, у)с при этом уравнение (9.11) может быть записано следующим образом:

-|^Т +у)+[к2п2(т)~ Рг^(х, у) = О

Заметим, что условие одинаковости константы распространения Р в среде 1 и среде 2 соответствует условию самосогласования, приведенному в разделе 9.2. Нако­нец, предположим, что волна не изменяется вдоль направления у, т. е. что д/ду = 0. В этом случае возможно разделение уравнения (9.12) на три уравнения:

-^-ТЕ(х)+ (к2п2 -/32)е(х)= 0, для х > 0 дх

Е(х)+ (к2п2 - /32)е(х)= 0, для - сі < х < 0 Е(х)+ (к2пI - р1 )е(х) = 0, для х <-с!

Напомним, что я, > п2. На этой стадии рассмотрения мы можем проанализировать различ­ные решения (9.13), исследуя влияние различных значений кп. и /3(смотрите рисунок 9.4).

Если /3> кпх, то к2п} — /^является отрицательной величиной независимо от вели­чины х, решения (9.13) экспоненциально расходятся, что соответствует нефизическо­му решению.

Если кп{ > Р > кп2, то амплитуда Е (х) в волноводе является синусоидальной функцией, а за пределами волновода — экспоненциально затухающей функцией. Этот случай соответствует волноводным модам, которые мы определим позже, вве­дя соответствующие граничные условия.

Наконец, если р < кп2, то решения будут синусоидальными повсюду и волна будет выходить из волновода. Такая ситуация соответствует случаю утекающих мод, когда падающий световой пучок входит в волновод таким образом, что эффектив­ный угол в волноводе превышает критический угол полного внутреннего отраже­ния. На время оставим эти утекающие моды, которые в действительности могут

Быть использованы в ряде интересных практических применениях. Теперь же бо­лее детально исследуем решения (9.12) для ТЕ - и ТМ-мод.

Поперечные электрические (ТЕ) волны

В рассматриваемом случае электрическое поле ориентировано вдоль оси Оу. Обозначим его амплитуду как Е(х), т. е.£(*> = (х)еКл"-/%)]. При этом магнитное поле ^опреде­

Ляется уравнением Ленца—Максвелла (V х Е = —<?В/<?/), которое дает:

«,{.)= - Ц^М <»■»)

Со дх

Из уравнений Максвелла мы знаем, что электрическое поле Е(х) и магнитное поле В^х) (т. е. первая производная Е) непрерывны на обеих границах раздела при х = 0 и х=—& Отметим, что эти уравнения распространения, полученные из (9.12), вместе с граничны­ми условиями формально идентичны уравнениям Шредингера, которые приводят к кван­тованию электронных энергетических состояний в квантовых ямах, описываемых потен­циалом У{х) (раздел 1.4). Указанное соответствие имеет вид:

Со2с2п(г)2 <н>--^г-К(г)

/г

Р2

Е(т) у/(г)

Рисунок 9.4 иллюстрирует эту аналогию квантовой ямы и волновода. Утекаю­щие моды соответствуют континууму несвязанных состояний над квантовой ямой тогда, как волноводные моды концептуально эквивалентны связанным состояниям в квантовой яме. Отметим к тому же, что форма (глубина) ямы зависит от частоты со, как это показано в соотношениях соответствия, приведенных выше.

Граничные условия для (9.13) имеют вид:

ЕАх) непрерывна при х = 0 и х = - с!

' (9.15)

— Е Ах) непрерывна при х = 0 и х =

Дх

При этом процедура получения решений (9.13) аналогична случаю квантовой ямы (раздел

1.4) . Желая получить пространственную зависимость амплитуды волны, предположим:

А ехр (- кх ) для лс > О

В со8(ш:)+ С эт (ах), для - с/ <х < 0 (9.16)

О ехр [л:(х + г/)] для х < - с1

Здесь: к — константа оптического ослабления вне волновода. Этот параметр эквивалентен длине туннельного ослабления в квантовой механике. Начнем с введения условия самосо- гласования, представленного в (9.13), что дает:

Р2 +а2 = п2к2 р2 - к2 = п^к2 к = со/с

А а = п^біп в

П2к

О

Рис. 9.5. Графическое представление условий, приводящих к волноводному эффекту.

Нам остается записать граничные условия (9.15):

• при х = 0:

А$т(рссі)- ксо$(рссі)= к со$(си/)+ — ^т(асі)

Это последнее условие дает параметры волноводной волны:

І%(асі)= Ка

А - к

2 2 2 :

Р + а = п{ к

2 2 2 2 Р - к = гц к

К = со / с

Система уравнений, определяющих ТЕ-моды в симметричном волноводе

Таким образом, задача заключается в нахождении при заданной радиальной частоте со и толщине с1 константы распространения Д которая удовлетворяет одно­временно всем условиям (9.18) и приводит к точному уравнению относительно Д полностью эквивалентному (9.5). Этот подход может быть обобщен на случай вол­новода произвольной формы. Ниже мы приводим программу МАТНЕМАТ1СА, которая может быть использована для получения решений для асимметричного волновода.

Пример-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Обобщение (9.18) на случай асимметричного волновода немедленно приводит к:

Здесь использована обычная система обозначений. Рассмотрим волновод с сердцевиной на основе слоя СаАБ толщиной 0,3 мкм (я, = 3,3), заключенного с одной стороны между ограничивающим слоем А1Аб (п2 = 2,7) и воздухом (я3 = 1). В расчетах будем пренебрегать собственной дисперсией в этих средах.

1_атЬс1а=0.9;1=.3;Ве1=.;

N3=1 ;п1=3.3;п2=2.7;

К=2*М[РП/1_атЬс1а;

Ве«=ВеП;

М=8дП[(пГ2*кГ2-Ве«~2)];

Ц=ЗцП[(-пЗ~2*кГ+ВеП''2)]‘,

Р1=8дИ[(-п2~2*кГ2+Ве«~2)];

ЦВеЪ_ ]:Тап[М]-(д1+р1)/(М-р1*д1/М);

РкЛИВеЧЛВеЪЮ. бО}];

8о1=НпсШооЦТ[Ве1]= =0,{Ве^21}];

Neff=Bett*Lambda/(2*N[Pi])/.sol

При этом получаем, что константа распространения составляет 21,3 мкм-1, а эффектив­ный коэффициент преломления ясд. =3,1267.

Представляется интересным для частного случая симметричного волновода уста­новить связь между геометрическим подходом раздела 9.1 и колебательным подходом, используемым в настоящем разделе. Для этого достаточно заметить, что вектор распро­странения в волноводе есть (0, ±п1ксоь6т, п^кьхп6т). Затем, учитывая (9.18), получаем

Рт = п}к сое 9т ат = пхк сое 0т

Эквивалентность геометрического и колебательного подходов

Эти соотношения представляют собой ничто другое как (9.5), и они хорошо поддаются графической интерпретации, как это показано на рис. 9.6. Мы видим, что нулевой порядок (минимальное значение 0т) приводит к максимальному коэффи­циенту ослабления кт, т. е. к максимально локализованной моде.

Теперь нам остается нормировать амплитуду электромагнитной волны в волно­воде, т. е. найти величину константы А в (9.16). В ее определении имеется опреде­ленная степень произвола, так как мы не уточнили размеры поперечной протяжен­ности Оу. Обычный в таких случаях подход заключается в таком выборе А, чтобы нормированное поле Еу соответствовало мощности в 1 Вт на длине волновода в 1 м (вдоль Оу). В этом случае условие нормировки может быть записано в виде:

5 = — І"Е х Всіх = - —І"ЕВхйх = ГГ(л:)] сЬс = р0 Мо • 2»„ J 2оша З1_ .

В этом последнем уравнении мы использовали соотношение (9.14) (горизон­тальная черта показывает, что данная величина усредняется по времени; р0 есть единичная нормированная мощность, соответствующая 1 Вт/м, а т есть индекс ТЕ - моды в волноводе). Мы рекомендуем использовать р0 для того, чтобы уравнения были однородными, что имеет первостепенную важность, например, при рассмот­рении эффектов нелинейной оптики (смотрите дополнение 9. В)! При использова­нии выражения (9.16) для полевых и граничных условий уравнение (9.20) дает:

-1І/2

SHAPE \* MERGEFORMAT

Лт = 2 ап

(І + -

В качестве последнего замечания отметим, что поскольку функции Е™(х) явля­ются решениями линейных дифференциальных уравнений (т. е. собственными век­торами дифференциального оператора (9.12)), они взаимно ортогональны. Говоря более точно, с учетом условия нормировки (9.20) функции Ет(х) удовлетворяют

Уравнению:

Е;(х)Е"у(х)іх = ^^6т

Г* т

Таким образом, если волновод является абсолютно ограничивающим (т. е. если пх/пг —>°°) моды могут быть записаны в виде:

(9.23 а)

Ттих

Мода т в абсолютно ограничивающем волноводе

Давайте специально выпишем для этого случая несколько очень полезных апп­роксимаций для коэффициентов а и к (т =1):

( 2 2 V/2 2/Г

*вЦ2-/!22) ------------

Поперечные магнитные (ТМ) волны

В рассматриваемом случае компоненты электромагнитного поля могут быть разде­лены, при этом поперечная магнитная компонента может быть записана в виде:

Ву(х, /)= ] (9.24)

В то же время электрическое поле Е, определяемое V х В = /(п. с)2дЕ/дг, может быть запи­сано в виде:

Ех(х, г, г)=Щ-В,(х, г, О

П, СО

(9.25)

£г(х, г, /)= --^-^-В (х, I, О Щ О) ох

Здесь п. есть коэффициент оптического преломления среды /. Собственные ТМ-моды в волноводе получаются при наложении условий непрерывности для полевых компонент В и Е1 на обеих границах раздела (это мы оставляем читателю в качестве упражнения). Это приводит к следующему результату:

А~ -£пКУ Р2 + а2 = агг к

’ V (9-26)

Р~ - к~ - п;к~

К = со/с и еп =

Система уравнений, определяющих ТМ-моды в симметричном волноводе

Для каждой комбинации величин частоты со и толщины с1 мы получаем много­численные разрешенные значения для константы распространения Р различных мод. Общепринятое представление различных мод в волноводе заключается в ото­бражении дисперсионной кривой яс{Г(/10), где яе{Г есть эффективный коэффициент оптического преломления для волновода, определяемый как яе{Г = Рс/со.

Рисунок 9.7 показывает дисперсионную кривую для теоретического волновода с я, = 2, п2 = 1,5 и А13 = 1 в функции *//Л0. Как явно видно из этого рисунка, имеется несколько возможных решений, т. е. возможны несколько решений, при этом вол­новоды по своей природе являются, таким образом, многомодовыми. Позже мы уви­дим, что для большинства применений предпочтительными являются одномодовые волноводы. В этом случае одномодовое распространение гарантируется при удовлет­ворении условия (9.8), т. е. когда отношение £//Л0 меньше N^2. Из рисунка 9.7 мы также можем заключить, что волновод естественно вводит дисперсию, т. к. всегда существует разброс между максимальными значениями пх и п2. Этот фактор обычно называется модовой дисперсией волновода. Эта компонента дисперсии дает свой вклад в естественную дисперсию, определяемую материалами, образующими волновод.

Sin вт /sin в с

Рис. 9.8. Зависимость коэффициента ограничения оптического волновода от sin 0J /sin вс. Волноводные моды с малыми индексами (малая величина sin вт) обес­печивают лучшее оптическое ограничение.