Оптоэлектроника

Гамильтониан дипольного взаимодействия для электронов и дырок

Рассмотрим теперь частицу с зарядом # и массой т, подвергнутую воздействию статического потенциала К(г) атома, квантовой ямы и т. д. В рамках классического подхода гамильтониан частицы дается соотношением:

Я=^1 + К(г) (3-1)

2т

В присутствии классического электромагнитного поля не представляется особенно трудным (хотя отчасти и утомительным) показать, что классический гамильтониан части­цы представляет собой:

И А1г №>й 1 + И(г) + дЩг, 0, (3.2)

2т

Где А(г, /) и £/(г, /) соответственно векторный и скалярный потенциалы электромагнитной волны (смотрите раздел 2.2). Принцип соответствия, примененный к одной частице, дает нам выражение квантового гамильтониана:

Й = +у{г)+дт1) (3.3)

2т

В этом первом подходе отметим, что А сам по себе не оператор, а векторная функция оператора г. Перед тем, как идти дальше, целесообразно решить, какой калибровкой нам воспользоваться (раздел 2.2). При данном рассмотрении воспользуемся кулоновс - кой калибровкой, так как она приводится к особенно простым выражениям для гамильтониана взаимодействия с планарной электромагнитной волной.

Кулоновская калибровка

В случае кулоновской калибровки предполагается, что векторный потенциал обладает нулевой дивергенцией:

^Аои. оп. ьО-.'ИО (3.4)

С учетом соотношения (2.13) в обратном пространстве это означает, что векторный потенциал не обладает параллельной компонентой и полностью определяется своей пер­пендикулярной компонентой А±. Возьмем для примера монохроматическую электромаг­нитную волну с электрическим полем, которое определяется соотношением:

Е = Е0 соз(к г - со /) (3.5л)

В = кхЕ<!_с08(к • г - ш) (3.56)

О)

Е0 к = 0 (3.5*)

Векторный потенциал дается формулой (2.23) или:

А, = — Бт(к • г - Ш) (3.6)

Со

Используя выражения (2.4 б) и (2.12), находим, что скалярный потенциал равен нулю (£/(г, /) = 0) и в этом случае гамильтониан взаимодействия (3.3) принимает простой вид:

Н = [р г Г?'1.1 + У(г), (3.7)

1т

Гамильтониан одной частицы в условиях электромагнитного поля

Который может быть представлен в виде разложения:

Й =|—+К(г)-^[рА1(г,*‘) + А1(г,?)р] + |—А*(г,/) (3.8)

2т 2т 2т

Два важных момента позволяют упростить последнее выражение. Членом второго по­рядка А±2 можно пренебречь, так как можно показать, что он мал по сравнению с линей­ным членом. Во-вторых, операторы р и А±(?) коммутируют. Оценивая влияние оператора

V на произведение А(г, )уА, г, 0, мы сразу находим:

[1йУ, А1(г,/)] = ^А1(г,/) (3.9)

И, с учетом определения перпендикулярной компоненты А± (смотрите выражение (2.13), этот последний член равен нулю. Наконец, благодаря использованию кулоновской ка­либровки гамильтониан системы принимает следующий простой вид:

Н = Н0+1¥(1) (3.10)

Где Н0 — гамильтониан невозмущенной системы, а — гамильтониан возмущения:

^(^“АДО'Р (3.11)

Гамильтониан А-р взаимодействия для электрона в электромагнитном поле

Этот последний гамильтониан носит название Ар — гамильтониана. Этот параграф мы закончим, отметив два важных момента. Во-первых, в общем случае амплитуда смещения частицы намного меньше длины волны электромагнитного возбуждения. Типичные квантовые системы, которые изучаются в этой книге, име­ют физические размеры в диапазоне от 0,1 до 10 нм, что и в действительности

Очень мало по сравнению с длинами волн их резонансных переходов (в диапазоне от 200 нм до 10 мкм). В результате этого пространственными вариациями вектор­ного потенциала мы будем пренебрегать, так что если система имеет центр в точке г0, то гамильтониан возмущения имеет вид:

(3.12)

И>(0 = -^А1(го, ОР

Вторым важным моментом, который следует отметить, является то, что имеется экви­валентная запись для гамильтониана возмущения, которой также достаточно широко пользуются (т. н. калибровка Гопперта—Мэйера):

(3.13)

^(0 = ~Ф • Е(г0, Г) = - О • Е(г0, /)

А

Где Б — дипольный оператор, при этом такой гамильтониан называют электрическим ди - полъным гамильтонианом или БЕ - гамильтонианаом. Вопрос об эквивалентности этих двух гамильтонианов рассмотрен в Дополнении З. Г.