Оптоэлектроника

Фотон

Рассмотрим оптический резонатор только с одной электромагнитной модой п. Га­мильтониан для моды п в этом случае может быть записан в виде:

Я1и = Псо„| а:ап +у

Собственные состояния с индексом / или стационарные состояния электромаг­нитной моды п с частотой соп даются выражением:

I; - 1п (2.39)

Ю-ЧЙН°.>

Где состояние |0л) есть пустое состояние моды «.Энергия этого стационарного со­стояния дается выражением:

SHAPE \* MERGEFORMAT

Ґ. Р '" + 2

И, наконец, операторы рождения и уничтожения а+ и ап обеспечивают возмож­ность переходов между состояниями |/л) и |/л — 1) или |/л - I - 1):

АпК) = “ 0 ’ Если 'п > 0 (2.41а)

А„|0„) = 0 (2.416)

Я;к) = л/^+ЇК + 1> (2.41<?)

Уравнения (2.41а)—(2.41 в) могут быть интерпретированы в рамках корпускуляр­ного подхода. В этом случае электромагнитная мода рассматривается как сформиро­ванная ансамблем элементарных возбуждений, называемых фотонами, а именно:

|/л) = |имеется /л фотонов моды п в резонаторе), (2.42)

Где каждый фотон моды п обладает энергией Е:

Е = Псоп (2.43)

Предполагая, что в резонаторе присутствует іп фотонов моды л, получаем выра­жение для полной энергии:

Е —іЬ(о + — Ьсо — і Е +—Нсо (2.44)

П, І п'іял, п 2 Л п п 2 п

Отметим, что даже, если в резонаторе отсутствуют фотоны, энергия моды п не равна нулю, но составляет величину Еуяс я, соответствующую вакуумной энергии моды п (т. е. состояния |0п»:

(2.45)

Это основное состояние энергии вновь можно рассматривать как результат пер­вого принципа неопределенности Гейзенберга (приведенного в Дополнении 1.Г для гармонического осциллятора). Операторы рождения и уничтожения создают или уничтожают фотоны с импульсом рп = Н кп, соответствующим собственным состо­яниям наблюдаемых:

Р„ = йк„а;я„ (2.46)

Теперь возвратимся к оптическому резонатору с произвольным объемом У= V, заселенному произвольно большим количеством п электромагнитных мод. Гамиль­тониан для перпендикулярных электромагнитных мод резонатора в этом случае может быть представлен в виде:

Й1ст=^Н1п (2.47)

П

Собственные состояния этого гамильтониана образуются из независимых мод каждого гамильтониана в так называемом пространстве тензорного произведения:

|/„ »„..., /„,...) = [О) (2.48)

Vі! *

Где состояние |0) обозначает состояние пустого резонатора |0,, 02, ...), в котором нет фотонов. Каждая мода п может быть заселена произвольным числом фотонов. Эти частицы являются таким образом бозонами и на них не распространяются правила исключения. Электромагнитная энергия резонатора является суммой двух членов. Первый член соответствует сумме энергий /я фотонов для каждой моды п:

Е#*» = (2-49)

А второй член возникает из-за энергии вакуума £уас, связанной с каждой модой:

(2.50)

Ясно, что последний член будет расходиться, так как число мод в резонаторе бесконечно. Последнее замечание ставит нас перед физическим абсурдом. Эта про­блема была решена исключительно изящной теорией перенормировки Фейнмана, Швингера и Томогавы. К сожалению, у нас нет возможности рассмотреть ее сколь - ко-нибудь подробно.

Теперь мы уже можем с использованием результатов дополнения 1.Г рассчи­тать математическое ожидание и дисперсии наблюдаемых для электрического Е±(г), магнитного В±(г) полей, поля векторного потенциала А±(г) для фотонного состоя­ния іп моды п. Уравнения (1.Г.32) и (1.Г. ЗЗ) показывают, что:

{К |Ё±К) = 'X РЛ(К И"1>е"‘"г - ('» К+К)е'“” (2.51а)

Таким образом:

(/•„ |Ёх(г)|/„) = (/„ ^(г)!^) = (/„ ^(г)^) = 0 (2.516)

В выражении (2.51а) мы оставили член е1кг вне скобок при оценке величины (/я|2я|/п), так как напоминаем, что г в данном случае является переменной, а не наблюдаемой в этой теории. Следовательно, если число /я фотонов моды п изве­стно точно, средняя величина электромагнитного поля будет равна нулю в любом месте резонатора в любой момент времени. Это может показаться странным с учетом нашей концепции «электромагнитной волны». Однако, как мы увидим в следующем параграфе, этот парадокс разрешается введением понятия когерентно­го состояния.

Дисперсия наблюдаемой для электрического поля в состоянии |/я) может быть определена аналогично схеме рассуждений, приведенной в дополнении 1.Г:

)2 = ~рп (*»е-2“"г + а?*-™"г - апа: - а;а„) (2.52)

Или с учетом (1.Г.32)—(1.Г. ЗЗ):

(£1Я)2 = </„ |(£,„)2||„) = /•.*<V. + 0 (2-53)

Или вновь:

(Ё,*У = + 1) (2.54)

2е01

Подобный же результат получается как для векторного потенциала, так и для магнитного поля. Уравнение (2.54) влечет за собой ряд следствий. Во-первых, даже тогда, когда в резонаторе нет фотонов, электрическое поле обладает дисперсией, отличной от нуля и определяемой соотношением:

&£ = Гп2 = -54 (2^5)

2 е0Ь

Теперь нам становится понятной важность /*я, введенного как коэффициент нормировки при определении операторов рождения и уничтожения в качестве поля вакуумных флуктуаций. В соответствии с (2.40) уравнение (2.54) может быть записа­но следующим образом:

(£„)2=^4- (2.56)

£0Ь

Что представляет собой классическое соотношение между электрическим полем и энергией электромагнитной моды в резонаторе.

Суммируя результаты этого довольно сложного раздела, мы могли бы ска­зать, что фотоны представляют собственные состояния гамильтониана электро­магнитного поля в резонаторе. Таким образом, эти собственные состояния так­же приводят к ряду парадоксов: (1) средние величины электрического, магнит­ного полей, поля векторного потенциала равны нулю повсюду внутри резонатора, и они не осциллируют во времени; (2) даже в отсутствие фотонов внутри резо­натора в нем присутствуют ненулевые флуктуации дисперсии электрического поля в соответствии с уравнением (2.55). Решение первого парадокса приведе­но в разделе 2.6. В то же время со вторым парадоксом нам придется однако смириться, так как он подтверждается экспериментом (например, эксперимен­тами по лэмбовскому сдвигу) и позволяет лучше понять феномен спонтанного излучения.

Пример--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Средне-квадратичная амплитуда электромагнитных вакуумных флуктуаций для фо­тонов «зеленого света»[2] (Н соп = 2 эВ) в резонаторе с объемом 1 см3 (Ь =1 см) равна:

Гп = (1,6 х 10"19 Кл х 2 эВ/(2 х 8,85 х 10"12 Ф/м х 10"6 м3))1'[3] » 0,13 В/м

Хотя эта величина очень мала по величине напряженности поля, его влияние может быть, например, обнаружено в чрезвычайно малых смещениях энергий атом­ных переходов.