Оптоэлектроника

Формализм огибающей функции

Волновые функции электрона в гетеропереходе можно описать с использованием формализма огибающей функции. Эта аппроксимация формально идентична той, которая используется для описания распространения электромагнитной волны в неоднородной среде, как например, в случае волновода в (9.27) или в нелинейной оптике, как в (12.21). Данный раздел является достаточно проблемным и читатель может просто принять (8.17) на веру и перейти к другому разделу.

Теперь мы выведем аппроксимацию огибающей функции для полупроводника, обладающего периодическим потенциалом К (г), отражающим кристаллическую пери­одичность решетки. Обсудим простой случай электрона в зоне проводимости гетерос­труктуры — более сложная проблема, связанная с вырождением валентной зоны будет оставлена до дополнения 8.Г.

Рассмотрим потенциал К(г), медленно изменяющийся по г, как это показано на рис. 8.3. Гамильтониан электрона, задаваемый этой комбинацией потенциалов, в этом случае может быть записан в виде:

H=^—+Vc( г) + Н(г)

2 пи

Для К(г) = 0 решения уравнения Шредингера Ну/ = Еу/ представляют собой блоховские функции |п, к) (смотрите главу 5):

(8.2)

Чи(г)

Где О, есть объем кристалла, п — индекс зоны, а ип к(г) обладает периодичностью решетки. Соответствующая энергия есть еп к.

При Уф О разложим решения уравнения Шредингера (8.1) по набору волновых функ­ций базиса в виде блоховских функций:

!/(г) = ^^ц„keikrM„k(r)

При этом должно удовлетворяться уравнение:

Поскольку волновая функция Блоха является решением задачи для «кристалла с нулевым потенциалом», это последнее выражение может быть переписано в виде:

Х£Ае‘кГ^<г) + ХК(г)а"'‘еАГм"к(г) = я£«*е‘Ч*(г) (8.5)

Лк пк лк

После этого спроецируем это выражение на волну |7УК) = £2_1/2еікг и А^К. В этом случае, используя ортогональность блоховских волновых функций, получаем экви­валентное выражение для уравнения Шредингера:

;(r)K(r)eikrM„k(r)dr = (Е - em)a„

Вплоть до настоящего момента мы не допустили никаких изъянов в нашем выводе. Таким образом, вполне разумным представляется подумать над тем, какие аппроксимации необходимы для упрощения приведенного выше выражения. В связи с этим заметим, что если К(г) является постоянной величиной, то левая часть будет
представлять Фурье-образ величины илк(г)ммс(г) и она будет зависеть только от кри­сталла.

Тот факт, что К(г) изменяется очень медленно, означает, что Фурье-образ, оп­ределяемый выражением:

K(r) = jy, e*'

(8.7)

Равен нулю за исключением значений ч, очень малых по сравнению с радиусом зоны Брил- люэна. При подстановке (8.7) в (8.6) возникает следующий член:

(8.8)

Этот член будет практически равен нулю для постоянной величины V Поскольку функ­ции иж и ипк являются периодическими, мы можем положить, что г = К. + г', где К. обозна­чает положение ячейки /, а г' ограничен объемом элементарной ячейки. Этот приводит к следующей сумме по /:

Где символ /се11 подчеркивает, что интеграл берется по элементарной ячейке, а Дк есть дельта-функция Кронеккера. В этом выражении мы предположили, что к и К лежат внутри зоны Бриллюэна. Если бы они были вблизи края зоны Бриллюэна, то мы учли бы процесс, при котором к + ч - К = 6, где 6 есть вектор обратной решетки. Учет этих эффектов вряд ли привнес бы что-то новое в наше рассмотрение.

Вновь используем тот факт, что только очень малые векторы ц дают вклад в потенциал, при этом разлагая огибающий интеграл для периодических частей бло - ховских волновых функций по ч:

Ортогональность волновых функций иж и ипк при том же самом волновом векто­ре К имеет место из-за ортогональности блоховских функций различных состояний. (Заметьте! Для различных волновых векторов периодические части не являются ор­тогональными). Простейшая аппроксимация состоит в сохранении только первого члена, что позволяет выделить каждую из различных зон в уравнении (8.6). С учетом (8.9) и (8.10) уравнение Шредингера в обратном пространстве принимает вид:

(8.11)

Введем огибающую функцию:

(8.12)

Определение огибающей функции

В реальном пространстве мы можем записать (8.11) в виде:

1К г ж 1 Ж г — ж ч 1К г

£NкaNкQ + аык+ё^ = £^^ате (8.13)

К Кц К

Или вновь в другом виде:

^ елца*ке 'К Г + X 14 Г ^ а™'е 1К Г = ,К Г

43-^«мсе1Кг+К(г)^(г) = £:^(г)

/

(2л)

Поскольку связанными через (8.11) являются только компоненты, близкие к К, мы можем представить дисперсионное соотношение для зоны еж в виде ряда по К Для более важного случая с К = 0 мы вводим эффективную массу т * зоны №

Ь2*2 /ок.

— о + 0 * (8.15)

2ты

При этом для упрощения рассмотрения будем предполагать ее изотропной.

Подставляя (8.15) в (8.14), мы находим:

D3K

* ^(r)-Vv:^(r) (8.16)

(2кУ 2ты } 2ть

Это позволяет нам получить нафаду за наши усилия, а именно — уравнение Шредингера для огибающей функции:

С„(г) = (Е~е„0К„(г) (8.17)

It+v(T)

Уравнение Шредингера для огибающей функции

Это уравнение представляет собой основной результат настоящей главы. Оно показывает, что роль эффективной массы намного шире той, которую она играла в контексте рассмотрения, проведенного в главах 5 и 6: в случае потенциала V(r), слабо изменяющегося по отношению к кристаллическому потенциалу, волновая функ­ция электрона в зоне проводимости N является, таким образом, волновой функцией частицы, обладающей эффективной массой, связанной с зоной N и подверженной воз­действию потенциала К(г). Все влияние материала учитывается в уравнении Шре­дингера (8.17) эффективной массой /я* и энергией ет зоны N при К = 0.

В случае этой принятой аппроксимации полная волновая функция имеет вид:

WN= £/г)изд(г) (8.18)

При этом решение, соответствующее потенциалу V— 0 есть:

^ = ^гит(г) (8.19)

Оно отличается от точного решения заменой в (8.3) им(г) на ит (г).

В случае гетероперехода, для которого внешний потенциал V(г) претерпевает разрыв на протяжении области атомарного масштаба, вывод, который нам предсто­ит сделать, уже не будет строго справедливым. Если, однако, мы будем искать

Состояния, близкие по энергии к зоне проводимости, то мы сможем аппроксими­

Ровать решения по обе стороны гетероперехода соотношениями (8.17) и (8.18) и использовать блоховские функции ит(г), характерные для каждого материала. Для получения стационарного состояния электрона в гетероструктуре, мы должны бу­дем «сшить» оба решения на границе раздела (смотрите раздел 1.3.1). Начнем с того, что волновые функции должны быть непрерывными:

CN(o-)umm =

Где знаки «±» относятся к материалам слева и справа от границы раздела при z= 0. В этом уравнении огибающая функция изменяется очень слабо в пределах ячейки перед границей раздела, при этом если мы используем среднюю величину (8.20) по этой ячейке, то получим:

Й/0-) = & 0+) (8.21)

Точное решение должно обеспечивать сохранение потока вероятности через границу раздела. Как было показано в разделе 1.3, поток вероятности дается соот­ношением:

- к: (г)у (г) - сн (о? а <г>] (8.22>

Л т~„

Сохранение потока вероятности при пересечении границы раздела приводит к уравнению непрерывности:

(8'23)

Это последнее условие может быть легко включено в рассматриваемый формализм при использовании записи уравнения Шредингера для огибающей функции в виде:

С„(г) = (Е-е„0К„(г) (8.24)

Где т (г)учитывает изменение эффективной массы при переходе от одного ма­териала к другому.

Мы должны отметить, что этот достаточно эвристический подход скрывает ряд важ­ных проблем. Мы ограничили нашу аппроксимацию простой зоной, где эффективная масса не зависит от К, т. е. параболической зоной (смотрите (8.15)). В том случае, ког­да фигурирующие энергии Е и А К(г) значительны, это предположение не является до­пустимым. Мы предположили также, что зона ТУ является невырожденной при К = 0, что явно не имеет места для валентных зон. Эти два аспекта (параболичность и вырож­дение) связаны друг с другом. Вывод огибающих функций в рамках многозонной трак­товки будет основной (и проблемной) темой дополнения 8.Г. На время мы про­сто продекларируем, что аппроксимация огибающей функции в (8.18) вместе с соответствующим уравнением Шредингера (8.24) достаточны для квантового описания электрона в гетероструктуре.