Оптоэлектроника

Эффективная масса и плотность состояний

Обе модели (жесткой связи или почти связанных электронов) приводят к одному и тому же результату в том, что касается дисперсии энергии Е (к) вблизи экстрему­мов валентной зоны и зоны проводимости kext (смотрите дополнения 5.А и 5.Б). В обоих случаях мы приходим к квадратичной зависимости Е от к, представляемой матричным произведением:

£(к) = Е'Я + - у(к - Kext)' М -'(к - kext) (5.14)

Где А — транспонированный вектор Ли М — действительная симметричная матри­ца, называемая матрицей эффективной массы по причинам, которые будут разъяс­нены позже. После диагонализации матрицы М~1 мы видим, что зонная структура может быть записана в виде:

(K - kext t У ^ (к2 — ktxt 2 У ^ (къ — kext 3 У ^ ^

/я, т2 тъ

Где к. и kexi. являются компонентами к и kext так же, как собственные векторы М~1. Мы узнаем выражение, связывающее энергию и волновой вектор свободных электронов (Е = h 2к2/2т), но с другой массой. Это и есть эффективная масса, обусловленная взаимодействием электронов с периодическим потенциалом крис­талла. Эффективная масса положительна, когда кривизна такова, что направляет дисперсионную зависимость вверх, и отрицательна, когда дисперсионная зависи­мость направлена вниз. Значение этой отрицательной эффективной массы мы рас­смотрим позже. Поверхности постоянной энергии, получаемые при Е= const обра­зуют эллипсоиды, центрированные вблизи экстремумов зоны Бриллюэна. Рисунок

5.8 иллюстрирует такие эллипсоиды постоянной энергии вблизи экстремумов зоны проводимости и валентной зоны кремния. Как следует из таблицы приложения (стр. 588) кремний характеризуется двумя эффективными массами — одной в попе­речном направлении тйХ и другой — в продольном направлении теУ

Для большинства полупроводников валентные зоны вырождены при к = 0. При­чиной этого является преимущественно триплетная природа sp3-орбиталей, форми­рующих валентную зону. Однако вырождение снимается при к ф 0, что приводит к подзонам с различной кривизной. При этом подзоны с малой кривизной обладают большей эффективной массой. Такие подзоны называются подзонами тяжелых дырок (позже мы объясним, что мы подразумеваем под понятием дырка). И напротив, подзоны с большей кривизной называются подзонами легких дырок. В таблице при­ложения (стр. 588) представлены различные эффективные массы в Si и Ge.

Теперь нам предстоит рассчитать плотность состояний в различных разрешен­ных зонах. Этот параметр имеет фундаментальное значение во всех расчетах, свя­занных с переходами между зонами. Для того, чтобы без необходимости не пере­гружать систему обозначений, временно сконцентрируем свое внимание на про­стом примере, связанном с зоной проводимости GaAs, где эффективная масса является изотропной. В этом случае зонная структура дается выражением:

SHAPE \* MERGEFORMAT

Е(к) = Е' + + к] + К) = Ес +

2

Тс

Где к есть модуль волнового вектора к, а Ес — энергия минимума зоны проводимо­сти. Мы можем легко рассчитать плотность состояний в к-пространстве. Уравнение

(5.10) показывает, что в объеме с!3к = дкйкдк1 в предположении цикличных гра­ничных условий Борна—фон Кармана имеется (УУях)(УУя )(Иа )/8я3 =^78я3 состоя­ний. Если бы мы использовали граничные условия в (^.9), плотность состояний составила бы У/Ък3, но объем интегрирования в этом случае (при положительной величине л2, п3) был бы в восемь раз меньше. Плотность состояний в ^-про­странстве есть бесконечно малое число состояний = р(к)сРк, расположенных в

Элементарном объеме сРк:

(5.17)

Плотность состояний в /с-пространстве с учетом периодических граничных условий и в пренебрежении спином электрона

Число состояний с1/Ув объеме между двумя сферическими поверхностями ради­уса к и к + йк вблизи экстремумов зон в этом случае дается выражением:
Ауу = -^-АлкЧк = ^к2йк 8л 2л2
(5.18)
Этот объем к2йк в &-пространстве соответствует эквивалентному объему в энергети­ческом пространстве, получаемом дифференцированием (5.16):
3/2
	(Е-ЕсУ/2йЕ
(5.19)
Энергетическая плотность состояний рс(Е) в зоне проводимости ваАз есть число состояний, расположенных между значениями энергии Е и Е + сЕ. Для того, чтобы найти число состояний, нам необходимо только подставить (5.19) в (5.18), не забывая учитывать вклад из-за вырождения электронов по спину (это позволяет двум электронам с противоположно направленными спинами зани­мать тот же самый энергетический уровень). Соответственно, окончательное вы­ражение должно быть умножено надвое, что дает:
(5.20)
2п2
Плотность состояний для изотропной зонной структуры Обобщение этого результата на случай эллипсоидов произвольной формы при­водит нас к теории конических сечений и в данном случае не представляет особого интереса. Мы находим, что для непрямых зон проводимости, в случае кремния и германия имеет место:
.3/2
(5.21)
V
(5.22)
И где п — число эквивалентных долин (п = 6 в 81 и 4 в ваАБ). Эти величины также приведены в таблице приложения (стр. 588). Аналогично плотность состояний ва­лентной зоны определяется соотношением:
ЧЗ/2
(5.23)
Где Еу есть максимум валентной зоны, при этом эффективная масса для эффектив­ной плотности состояний валентной зоны есть:
(5.24)
Важно помнить, что плотность состояний в трехмерном кристалле возрас­тает как Е?/2 и т3/2. Рис. 5.9. схематически показывает зонную структуру и плот­ность состояний, полученные с использованием квадратичной аппроксимации вблизи экстремумов зон. Эта модель не позволяет сделать никакие общие заключения о характере посе­редине зоны, где квадратичная аппроксимация явно нарушается.

Рис. 5.9. Зонная структура (а) и плотность состояний (б) вблизи экстремумов зон разрешенных состояний.