Гранулирование материалов

Кинетика гранулообразования

В грануляторах различных размеров и конструкций, работающих при разных режимах окатывания, осу­ществляются процессы образования, роста и уплотне­ния гранул, которые подчиняются единым закономерно­стям, позволяющим описать их аналитически.

Изменение гранулометрического состава продукта в зависимости от времени пребывания в грануляторе, т. е. кинетика процесса гранулообразования, изучалось рядом исследователей. Экспериментальные, исследова­ния распределения гранул по размерам впервые выпол­нены авторами работы [183]. Первая попытка описать зависимость размера частиц от параметров процесса гранулирования сделана, по-видимому, в работе [175]. Однако полученные уравнения справедливы для про­цесса, происходящего в исследованной конструкции и не могут претендовать на универсальное обобщение, по­скольку в них входит вместо относительной величины — абсолютное число оборотов барабана.

В работе [76] принято, что все мелкие частицы на­катываются на крупные, равномерно распределяясь по их поверхности слоем одинаковой толщины, независи­мо от размера зародышей. Получено уравнение для
расчета диаметра гранул после гранулирования

di — di-- (р/Рнас) (с/3) (III-15)

о=>1

где di — диаметр исходного зерна; o=pm/2 Pilar, рт — количество

і=і

комкуемого материала; р, — то же, в каждой фракции; р —кажу­щаяся плотность крупных кусочков; рна<; — плотность комкуемого материала в неокатаниом состоянии.

Отношение поверхности комкующих фракций к объе­му мелких комкуемых фракций названо коэффициентом скорости гранулирования, который при р=рНас равен

Чем больше kCr, тем быстрее мелочь накатывается на крупные зерна. В коэффициент ксг не входят пара­метры, характеризующие природу материала, способ­ность его взаимодействовать с водой, поэтому уравне­ние (III-16) интересно лишь для идеального случая принятого механизма гранулообразования. Исходя из того же механизма гранулообразования, для расчета среднего размера гранул получено уравнение [ИЗ]

d0 exp 3m (W — W0) — d3

----------- x------------- T

bcp

где Tcp — среднее время пребывания материала в грануляторе; т — текущее время; d_— средний диаметр исходных частиц; do — диа­метр частиц, соответствующий началу гранулообразования; Wo — минимальное содержание связующего, при котором начинается гра - нулообразование; т — экспериментально определяемый коэффици­ент, характеризующий свойства гранулируемого материала.

Уравнение (III-17) справедливо лишь для гранули­рования методом наслаивания и поэтому применимо в узком интервале изменения режимных параметров.

„ Механизм равномерного наслоения подтвержден для некоторых случаев экспериментально [182]. В этой ра­боте отмечено, что приращение массы гранул прямо­пропорционально d2. В работе [160] также указывается на прямую пропорциональную зависимость количества налипающей мелочи от площади свободной поверхно­сти. Это явление обнаружено при имитации непрерыв-
ного процесса периодическим удалением части мелких гранул из аппарата.

Таким образом, в рассмотренных работах утверж­дается, что скорость роста гранул в непрерывном про­цессе не зависит от их размера, а в периодическом про­цессе, когда мелочь для наслоения не загружается из­вне, не образуется в результате истирания небольших агломератов [161], скорость увеличения диаметра гра­нулы тем выше, чем больше гранула.

Схема процесса, в котором каждый зародыш покры­вается только одним слоем исходного вещества, рас­смотрена также в работе [187]. Предложена формула для расчета диаметра гранул

/ с'р' у/з

d-d«[1+T^) (ш-18)

где do — диаметр зародыша; р'— плотность материала зародыша; а — объемная доля твердого вещества в слое; а' — объемная доля твердого вещества в зародыше; р-—плотность частицы; L — соот­ношение масс зародышей и слоя.

Отмечается, что частицы радиусом более 0,6 мм всегда будут действовать как зародыши. Основным фактором, определяющим выход гранул, как отмечает автор, является эффективность, с которой слой прили­пает к ядру. Этого-то показателя как раз и нет в урав­нении (III-18). Оно, как и уравнения (III-15), (III-17), пригодно только для частных случаев послойного роста гранул.

Внешние факторы, влияющие на процесс гранулооб­разования, включены в уравнение, выведенное в работе [159]

_______ g________

• -[So-g/Wif3

L і где dA — диаметр гранулы; dp — диаметр исходной частицы; g — до­ля поверхностного объема гранулы, не занятая жидкостью; Gj — масса фракции гранул, имеющих диаметр dr, gi=d;/dp.

Как видно из уравнения (Ш-19), гранулометриче­ский состав продукта зависит от гранулометрического состава исходных частиц и количества связующей жид­кости. Однако авторы умалчивают, что величина g, по-
видимому, зависит от свойств гранулируемого материа­ла и должна определяться экспериментально.

Приведенные выше формулы позволяют определить средний размер частиц после гранулирования. Как из­вестно, продукт всегда имеет некоторое распределение по размерам и этот показатель является важным.

Авторы работы [176] рассматривают процесс гра­нулирования в барабане как объединение мелких заро­дышей, беспорядочно движущихся и перемешивающих­ся в плотном слое. Частота столкновений является функцией размера данного зародыша и распределения размеров остальных зародышей, а также динамических характеристик барабана. С учетом функции вероятности основное уравнение кинетики гранулирования для фракций і и j имеет вид

где Х(т) =£ф(т)/2— функция скорости агломерации; р(т) — функ­ция интенсивности столкновений, порозности зародышей, их размера, способности к деформации, пластичности; гц(т), щ(т)—число заро­дышей определенного размера, имеющих объем Й и V,-; N (т) — полное число зародышей в системе на время т.

Суммируя уравнения по всем размерам гранул, по­лучим

=-Я(т)ЛЧт) (II1-20)

После ряда преобразований автором получены урав­нения для определения доли фракций гранул, объемом более Vt

Z,(T) = {l-exp[-<D(T)]}i (111-21)

где Ф(т)= k(x)d(x).
oJ

Уравнения (III-20) и (Ш-21) справедливы для пе­риодического процесса. Распределение гранул по раз­мерам стремится к линейной зависимости. Отношение максимального размера гранул к минимальному в этой линейной области распределения является величиной постоянной и не превышает 3.

Используя механизм дробления и наслоения, авто­ры работы [161] показали, что его действие приводит,
в конечном итоге, к некоторому устойчивому распреде­лению гранул по размерам, описываемому уравнением

IP (dm'dx)

1 1 ' (II1-22) где dm — медиана распределения; R(djdm)—кумулятивная фрак­ция частиц, размер которых равен или превышает данный размер гранулы; dx — размер максимальной гранулы; р — функция dmldx, которая остается неизменной в ходе процесса.

Распределение (Ш-22) резко заканчивается при R = = 1, в то время, как эксперименты указывают на нали­чие определенного «хвоста» в области мелкодисперсных гранул. Поэтому при R>0,7—0,9 опытные данные не согласуются с уравнением (II1-22). В работе [174] ука­зывается, что причиной этого несоответствия может быть принятое допущение о том, что при столкновении разрушаются только наименьшие гранулы. Более ра­ционально предположить, что существует определенная вероятность. разрушения гранул всех размеров, но ве­роятность разрушения самых мелких гранул наиболее велика.

Кинетика периодического процесса гранулирования, достигаемого дроблением и наслоением, описывается [174] уравнением сохранения количества гранул

dn (х, т) д

--- ^---- = - рв (х, т) л (х, т) — -^7- [G (х, F)n(x, т)]

и уравнением сохранения объема дробленого материала

где п(х, т) — количество гранул, объемом х в момент т; Б (х, т) — фракция гранул размером (объемом) х, разрушающихся в единицу времени; G(x, F)—скорость роста гранул размером выше х из дробленого материала, объем которого F(x).

Скорость роста и функция разрушения В зависят от природы вещества и, следовательно, могут быть уточ­нены только опытом.

Приведенные уравнения (Ш-21), (Ш-22) и (Ш-23) позволяют рассчитать гранулометрический состав про­дукта в периодическом процессе. При непрерывном процессе, т. е. цри одновременных вводе сырья и вы­
грузке продукта, методика расчета должна учитывать распределение по времени пребывания.

Для барабанного гранулятора предложено [112] уравнение распределения гранул по времени пребыва­ния решать совместно с уравнением (ІІІ-17), однако, как отмечалось выше, это уравнение применимо далеко не для всех режимов окатывания.

Более полно математическую модель процесса мож­но представить, исходя из следующих соображений [9]. В процессе гранулирования во вращающемся слое каж­дая частица совершает движение двух видов: враща­тельное и поступательное. 'Предположим, что темпера­тура слоя гранул не изменяется по длине гранулятора, т. е. будем рассматривать изотермический установив­шийся процесс гранулообразования. Допустим также, что на частицу размером d„ за один оборот ее вокруг собственной оси наслаиваются другие частицы, образу­ющие пленку толщиной Л.

При движении гранулы по спиралевидной траекто­рии на протяжении пути АІ ее диаметр увеличивается на величину Ad, равную 2Nik

N ~ At/nd (III-24)

где N — число оборотов гранулы вокруг собственной оси на пути Л/.

Между тем ДI определяется как [179]

М = (Ясо/г'ос) AL (II1-25)

где R— радиус барабана; to—угловая скорость вращения бараба­на; Нос — скорость движения продукта вдоль оси барабана; L — длина барабана.

Обозначая в уравнении (III-25) AL/vcс через время Дт, с учетом (III-24) после дифференцирования полу­чим

dndd„ = (27?(0/л) Ыт (111 - 26)

Уравнение (III-26) представляет собой математиче­скую модель роста частиц при гранулировании методом окатывания. В общем случае изменение гранулометри­ческого состава во времени может быть описано урав­нением

Р (d) d [р (d)] = (2R(0/n) р (%)dx (III-27)

где p(d)—массовая плотность распределения частиц по размерам; р (Я)—плотность распределения по размерам наслаивающихся на расстоянии ДI пленок.

На практике гранулометрическая хаірактеристика материала определяется ситовым анализом и представ­ляется дискретными функциями. Тогда уравнение (ІІІ-27) можно записать для і-го интервала

diddi = (2Ra>/n) Л,-йт (111-28)

где i=l, 2, 3, п.

Рассмотрим частные случаи модели (Ш-28). Пусть Я—const, т. е. предполагается, что в течение всего вре­мени гранулирования на гранулу і-го размера наслаи­вается на каждом отрезке ДI пленка одинаковой тол­щины X,-. Примером может служить процесс гранулиро­вания при значительном избытке ретура, т. е. когда по всей длине гранулятора вероятность столкновения гра­нулы с наслаивающимися частицами одинакова. В ре­зультате интегрирования уравнения (Ш-28) получим

di = / d2i0 + (4tfw/it) Я;т (II1-29)

Пусть при т=0 величина Кі=с1і0, т. е. в начальный период процесса гранулирования происходит агломери­рование частиц начального размера d, o. При увеличе­нии т величина >fa—*0, т. е. на гранулу наносится плен­ка все меньшей толщины вследствие уменьшения веро­ятности столкновения гранулы с наслаивающимися ча­стицами (их число со временем уменьшается). Такой механизм наблюдается при гранулировании увлажнен­ной шихты с подачей незначительного количества сухо­го ретура. В этом случае можно рассмотреть два вари­анта решения модели (Ш-28). Если толщина наслаи­ваемой на гранулу пленки уменьшается по длине бара­бана по линейному закону

bi=dto-kгг (Ш-30)

где kt — кинетический коэффициент, зависящий от свойств грану­лируемого материала и параметров процесса;

то, подставляя (Ш-30) в (Ш-28), получим

diddi = (2Ra>/n) (di0 — k^) йт (111-31)

После интегрирования этого уравнения имеем di=V d2io + (2Rco/л) (2dlo - k~tj т

6-170

Если толщина наслаиваемой пленки уменьшается по экспоненциальному закону

^г = <*г0ехр (-М

где k2 — кинетический коэффициент;

то, подставляя (III-33) в (III-28), получим diddi = (2#ю/л) di() exp (—kzr) dx

Проинтегрировав уравнение (Ш-34) для каждой і-ой фракции, будем иметь

4 diR<i>

—A— [i_exp(-M] (III-35)

На рис. III-12 изображены расчетные кривые кине­тики роста гранул при различных моделях гранулооб- разования.

Процессы гранулирования протекают в плотных гравитационных слоях дисперсной фазы, сопровожда­ются, как правило, уплотнением структуры формируе­мых гранул, их истиранием, измельчением и т. п.

На рис. III-13 изображены кинетические кривые из­менения фракционного состава при гранулировании аммофоса методом окатывания в промышленных усло­виях. Как видно из рис. Ш-13, по мере гранулирования предварительно агломерированной в смесителе шихты в барабанном грануляторе происходит измельчение крупных фракций. В то же время наблюдается увели­чение концентрации частиц размером менее 2 мм. Со-

держание товарной фракции по длине гранулятора так­же увеличивается.

Учитывая, что при гранулировании наряду с процес­сами роста протекают процессы, приводящие к умень­шению размеров гранул, под толщиной наслаиваемой пленки К ^необходимо понимать разность

% = ЯрТ—Хис (II1-36)

где Ярт — толщина наросшей пленки; Х„с — толщина истертой пленки.

С учетом (III-36) уравнение (III-28) можно запи­сать в виде

diddi = <2/?©/я) (>-;рт - dr (III-37)

В зависимости от технологических и гидродинамиче­ских параметров процесса гранулирования можно вы­делить следующие частные решения уравнения (Ш-37). При А,,-Ис •СА/рт уравнение (III-37) имеет решения (III-29), (III-32), (Ш-35). При ис >Я,1рт, т. е. когда процессы истирания превалируют над процессами роста гранул, уравнение (III-37) имеет такие решения:

Для тарельчатых грануляторов фракционный состав продукта рассчитывают по балансу числа частиц [47]

'2

г) = (Р4/6) j г3 ехр (—Рг) dr (111 -41)

п

где г) — доля фракций от г до г2; Р=ро/атсР; тСр — время пребыва­ния; ро — плотность частиц; а — коэффициент скорости роста гранул, зависящий от физико-химических свойств материала и условий ока­тывания.

Центром окатывания считается такая частица (с ми­нимальным размером г0 и плотностью ро), которая не может быть присоединена к другой грануле. Закон ро­ста выражается формулой

г = Го + (а/Ро) Т (III-42)

При выводе уравнения (III-41) были приняты сле­дующие допущения: Ц в любой точке материал пере­мешан равномерно; 2) из гранулятора е одинаковой ве­роятностью выходят гранулы любого размера; 3) закон роста распространяется на все время пребывания, в том числе и на процесс возникновения центров окаты­вания; 4) исходный материал поступает только в виде разрозненных частиц.

Эти допущения сужают диапазон использования формулы (III-41), поскольку условие п. 1) трудно со-

блюдается в любом грануляторе; п. 2) справедливо, как считает сам автор, для условий окатывания гранул со средним диаметром до 2 мм; п. 3) не позволяет решить вопрос о механизме образования, количестве и размере зародышей.

Более глубокое развитие математическая модель гранулирования на дисковом грануляторе получила в работе [74]. Уравнения материального баланса для гранул і-ой фракции и исходных частиц имеют вид

= (^н + АРрг) Pi_j — kf^(l+l) Pi—Pi (III -43)

— h0po — VPo — kl PoPi —

П

— 2 Pi-iPi— A(i-l)-f Pi-i) (III-44)

i=2

где pi — масса і-ой фракции; т—время гранулирования; Ф0 — произ­водительность; kt}—коэффициент выгрузки і-ой фракции; кь-1 = Фвых;/р.'-, fe/’1 — коэффициент скорости начала образования і-ой

фракции; ktp—коэффициент возрастания скорости роста гранул і-ой фракции.

Модель позволяет принять допущение об образова­нии і-ой фракции из (і—1)-ой в результате сцепления ее частиц с исходными частицами г0. Как видно из формул (Ш-43) и (Ш-44), скорость роста зависит от диаметра частиц и увеличивается с возрастанием по­следнего, поскольку увеличиваются поверхностная влажность и силы поверхностного натяжения, что обу­словлено появлением жидкости, вытесненной из пор.

Автор исследовал зависимость скорости роста от режима работы гранулятора. Обнаружено, что скорость роста возрастает с увеличением числа оборотов диска. Коэффициент заполнения влияет на размер гранул кос­венно, через время пребывания. С уменьшением послед­него размер гранул уменьшается. Скорость же роста от коэффициента заполнения не зависит и растет с увели­чением диаметра диска.

Для использования уравнений (Ш-43) и (Ш-44) не­обходимо экспериментально определить коэффициент k kH линейно зависит от поверхности частиц и не зависит
от времени окатывания и влажности, так как определя­ется капиллярными силами; № уменьшается с ростом времени гранулирования и увеличивается с ростом влажности и диаметра гранул, так как скорость роста зависит от поверхности гранул. Автором найдены сле­дующие эмпирические зависимости:

(III-45) (III-46) (II1-47) (III-48)

Для определения оптимальных параметров предла­гается решать системы уравнений, в которые нужно подставить различные значения параметров. Совокуп­ность параметров, обеспечивающих максимальный вы­ход товарной продукции, предлагается считать опти­мальной.

В работе [74] наиболее полно описывается непре­рывный процесс гранулирования методом окатывания на тарелке, но эта работа не лишена некоторых недо­статков. Уравнения (III-45) — (III-48) даны не в обоб­щенных переменных и пригодны только для исследо­ванного аппарата. Предложенный способ определения оптимальных параметров по максимальному выходу товарной фракции не может быть признан правильным, поскольку поддержание таких параметров не всегда ре­ально. Здесь следовало бы исходить из условия мини­мальных затрат при максимальном выходе товарного продукта.

Расчет гранулометрического состава по приведенным выше уравнениям (по данным авторов этих работ) да­ет удовлетворительную сходимость результатов с дан­ными эксперимента. Для выбора той или иной методи­ки расчета необходимо знать закон роста и кинетиче­ские константы, входящие в уравнение. Определение последних весьма трудоемко, а экспериментально полу­чаемые результаты справедливы лишь в узком интер­вале изменения параметров. Установить априори закон роста, как правило, невозможно, поскольку он сущест­венно зависит от параметров процесса и материала. Все это значительно усложняет применение рассматри­ваемых методик для инженерных расчетов. Наиболее

целесообразным представляется непосредственное изу­чение влияния параметров процесса на гранулометри­ческий состав продукта.