ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

Явление авторезонанса при электронном ЦИКЛОТРОННОМ НАГРЕВЕ ПЛАЗМЫ

А. И. Нейштадт, А. В. Тимофеев

Показано, что явление авторезонансного ускорения может играть важную роль в электронном циклотронном нагреве плазмы. По-види­мому, оно ответственно за образование кольца высокоэнергичных элект­ронов при электронном циклотронном резонансном нагреве плазмы в открытых ловушках и бампи-торах. Найдено также, что авторезонанс - ные эффекты могут ослабить нагрев основной массы электронов, удер­живаемых в магнитных ловушках.

Введение

Действие ряда ускорителей заряженных частиц основано на явлении авторезонанса (автофазировки), т. е. автоматического поддержания усло­вия циклотронного резонанса при медленном изменении параметров систе­мы. Так увеличение магнитного поля или уменьшение частоты ускоряю­щего ВЧ поля влекут за собой рост энергии частицы в соответствии с ре­зонансным условием (й—<йе°тс2/г. Здесь е — энергия частицы (для опреде­ленности рассматриваются электроны), ю — частота ускоряющего ВЧ поля, <йв°=еВ01тс — циклотронная частота, рассчитанная по массе покоя электро­на, Во — индукция магнитного поля.

В большинстве плазменных ловушек магнитное поле стационарно а для ВЧ нагрева плазмы используются колебания фиксированной часто­ты. В этих условиях авторезонансное ускорение становится возможным вследствие неоднородности магнитного поля ловушек, при движении за­ряженных частиц в сторону возрастания магнитного поля.

По нашему мнению, с авторезонансным ускорением связано появле­ние^ группы высокоэнергичных электронов (е—Тс2^100 кэВ) при элек­тронном циклотронном резонансном (ЭЦР) нагреве плазмы в магнитных ловушках. В исследованиях, проведенных на открытых ловушках и бам­пи-торах, обнаружено, что эти электроны образуют кольцевой слой, рас­положенный вблизи пересечения резонансной поверхности ((0 = Й)в(г)) с Поверхностью минимумов магнитного поля на силовых линиях ((В0У)В0= =0), см., например, [2—4].

В настоящей работе показано, что если условие циклотронного резо­нанса выполняется в точке минимума магнитного поля на некоторой си­ловой линии, то электроны, движущиеся вдоль этой силовой линии с достаточно малой скоростью, особенно легко «захватываются» в авторезо­нанс. При этом они локализуются в окрестности точки минимума магнит­ного поля. Под действием низкочастотных колебаний, которые практиче­ски всегда самопроизвольно возбуждаются в магнитных ловушках, авто - резонансные электроны должны дрейфовать поперек магнитного поля. Дрейф в сторону большего поля сопровождается ростом их энергии. В ре­зультате вблизи той части поверхности (В0У)В0=0, где й)е°>(о, образует­ся слой высокоэнергичных электронов. Геометрия магнитного поля откры­тых ловушек и бампи-торов такова, что этот слой должен быть кольце­вым.

•> Плазменная ловушка с нарастающим во времени магнитным полем, поме­щенная в электромагнитное ВЧ поле — плазмепнып сиыхротрон,— исследовалась В [1].

При достаточно большой амплитуде ВЧ поля явление авторезонанса влияет и на ЭЦР нагрев основной массы электронов, свободно осциллирую­щих вдоль неоднородного магнитного поля ловушки. Если такой электрон, движется в сторону большего поля, то при прохождении зоны электрон­ного циклотронного резонанса он может «захватиться» в авторезонанс. Однако процесс авторезонансного ускорения обратим и электрон будет от­давать энергию ВЧ полю при обратном движении в сторону меньшего магнитного поля. Результирующее изменение энергии равно нулю с той точностью, с которой сохраняется адиабатический инвариант, характери­зующий состояние авторезонанса (см. ниже основной текст статьи). Су­щественно, что захват электрона в авторезонанс сопровождается на фа­зовой плоскости переходом траектории через сепаратрису, разделяющую области финитных и инфпнитных траекторий. Такие переходы приводят к изменению адиабатического инварианта (см. [5—7]). Согласно [6—8], при многократных - прохождениях через зону циклотронного резонанса изменения адиабатического инварианта, а вместе с ними п изменения энергии движения электрона поперек магнитного поля, е^ц, оказыва­ются некоррелированными. (Здесь 1=р±212ть}е° — величина, являющая­ся адиабатическим инвариантом в отсутствие ВЧ поля.) Следовательно, должна возникать диффузия по ц. Коэффициент диффузии уменьшается с ростом амплитуды ВЧ поля[82]: Д

В случае слабого ВЧ поля, когда новый адиабатический инвариант не возникает, (см., например, [11]). Таким образом, должно сущест­

Вовать оптимальное значение амплитуды ВЧ поля, при котором коэффи­циент диффузии максимален и, следовательно, ЭЦР нагрев происходит с наибольшей эффективностью. В настоящей работе дается оценка опти­мального значения Е.

1. Поперечный адиабатический инвариант в присутствии ВЧ поля

Движение электрона в стационарном магнитном поле в присутствии ВЧ колебаний описывается гамильтонианом (см., например, [12])

Я=е —цй)+*(2ес50]и),/,(еЛ/е)со8 Ф. (1)

Здесь пспользованы обозначения

Е = [ (тс2)2+2есв0х+{рцс)2]'11

— энергия электрона, А — амплитуда вектор-потенциала ВЧ поля, Ф=* =0—й)£, 0 — фаза ларморовского вращения электрона. Рассматривается простейший случай колебаний с й)«й)е, правой поляризацией вектора элек­трического поля и длиной волны в направлении поперек магнитного поля, значительно превышающей ларморовский радиус электронов, эффект Доп­лера не учитывается. В (1) канонически сопряженными переменными являются ц, Ф и Рь ъ, Где 2 —Координата вдоль стационарного магнит­ного поля. Каноническое преобразование фазы 0-*-Ф=0—ю* привело к по­явлению в (1) второго слагаемого.

Обычно за время прохождения электрона вдоль ловушки фаза Ф успе­вает измениться на величину, много большую л, поэтому переменные ц, Ф можно считать быстрыми, а р(|, Г — медленными.

Картина фазовых траекторий на плоскости быстрых переменных при заданных значениях медленных изображена на рис. 1. При ©/<© фазо­вые траектории близки к окружностям с центром в точке (ця«(еЛ)2й)/

Со

Где

Рис. 1. Фазовый портрет системы, описываемой гамильтонианом (1): А — ©,•<«; Б — О),*—й)=3/2&)(вЛ/Е‘)г/1; В — й>=3/2й>(е-4/е*)%+ба), бсо< <©(<?4/е*)%; Г - ©,*—©>&)(еА/ел)ъ

Установим условия, при которых существует адиабатический инва­риант /, т. е. продольное движение является медленным по сравнению с поперечным. Электрон осциллирует вдоль магнитной ловушки с так на­зываемой баунс-частотой (&ь~р\1тЬ0, £0 — характерный масштаб измене­ния магнитного поля. Когда электрон находится вдали от точки цикло­тронного резонанса Г, (<о.(2«)=й)), условие адиабатичности имеет вид |шв—о)|>шах(|оэв|,/1| |со«|1/1). (Величина ю, обращается в нуль, если элек­трон останавливается в точке циклотронного резонанса или если последняя совпадает с точкой минимума зависимости юДг).) Приведенное условие очевидным образом нарушается при попадании электрона в резонансную зону, где о),«©. Однако движение остается адиабатичным и в этом случае, если частота поперечных осцилляций под действием ВЧ поля Q значи­тельно превышает тах(|<Ь«|у>, |о).|7*). Используя (1), (2), находим

(Ер±/В0тс)'и. Ебли точка 2« смещена достаточно далеко от точки мини­мума магнитного поля (й),(г,)— м., ТО<„^Й), то условие адиабатичности имеет вид

<6)

В о I Ья(о р± ' Ь,(й' ' Тс’ >

Здесь оценка величин ю«., ю, проведена с помощью гамильтониана П^Н0 (см. (5), (3)):

|Й'1<й~ръ/тЬ,(й, |ше/ш|~(р±/тЬ,(д)г1

Где

£«=| (^й)/^г)/й) |х-1хв.

При й)в(г8)— (ав, движение аднабатично, если

С у/» Р*

В0 ' Ь0(й' р±(тс)ъ ’

Здесь использована оценка |со«/со| — {рц/тЬою)1, где

£,=» | ((Ра>/<1гг) /2<о |

2. Нагрев при движении вдоль магнитного поля

А) Рассмотрим движение электрона, поперечная компонента началь­ного импульса которого достаточно мала: Р±о1тс<.(Е1В0)"*. Предположим, что в начальный момент Электрон находился в области, где ю>©,. В силу сохранения адиабатического инварианта рассматриваемые электроны бу­дут всегда двигаться в малой окрестности стационарной точки (ц„ 0), см. рис. 1. Поэтому их движение может быть описано гамильтонианом

(Рн» «е,-ц, й)+ (2ЕсВ01,)еА/е„ (8)

Где

Е,=[ (/ис^+ЗесВои.+^с)2]1'.

А ц, определяется условием (дН/дц) фа_о=0.

Продвижение электрона в область большего поля сопровождается ро­стом а следовательно, и диамагнитной силы, выталкивающей элек­

Трон в область слабого магнитного поля Р=—1ЕсВ0'/е. Максимальное зна­чение (4 зависит от продольной компоненты начального импульса.

В слаборелятивистском случае из (8) получаются простые выражения для Цта*- Так, если Ро\1тс<(Е1ВоУ то электрон отражается от области большего магнитного поля (магнитной пробки), не доходя до точки цикло­тронного резонанса, при этом Цтвг® (/?,|о72то3с2(й){Во/Е)г (р±Т«/Тс~(о/ !тс)гВ01Е). Если р,]0/тс> (£/£<>)"*, то Цт^Рнос/а (р^п, ах1тс&(2рЛ0!тс)Чг, Схтпв*«(2е||0тс2),/1). Однако рассматриваемые процессы обратимы — после отражения от магнитной пробки они протекают в обратном порядке. В ре­зультате ц возвращается к своему первоначальному значению ц0.

Таким образом, если в случае слабого ВЧ поля электрон, проходя че­рез область циклотронного резонанса, получал конечное приращение энер­гии ДГ<*>Е (см., например, [11]), то при выполнении условий (7), обес­печивающих существование поперечного адиабатического инварианта, ре­зультирующее приращение энергии оказывается равным нулю.

Предположим теперь, что электрон с Р±1тс<&(Е1В0У1* в начальный мо­мент находился в области сильного магнитного поля (©/—©>©(еЛ/©/)*). Такие электроны на фазовой плоскости располагаются в окрестности ста­ционарной точки (1*/, л). При смещении электрона в область слабого поля точка (ц/, л) сближается с гиперболической (см. рис. 1). После их слияния рассматриваемые электроны оказываются на фазовой плоскости на некоторой орбите, охватывающей точку при этом Р±~тс(Е1В0)ч‘. Когда электрон возвращается в область сильного поля, то вероятность оказаться в месте рождения новой стационарной точки, т. е. иметь Ф=лг пренебрежимо мала. Поэтому с вероятностью Р« 1 электрон останется на орбите, охватывающей точку (ц,, 0), и соответственно будет иметь Р±~ ~тс(Е1В0Уи.

Б) Рассмотрим электроны с Р±/тс^(Е/Во)41 и предположим, что при движении вдоль неоднородного магнитного поля они заходят в область, где выполняется условие (©/—©)>3/а©(вЛ/ев)*. Фазовые траектории та­ких электронов на плоскости (ц, Ф) могут пересечь сепаратрисы, разделяю­щие области вращательного и колебательного движения. В соответствии с [5—7] переходы фазовой траектории через сепаратрису должны приво­дить к изменению адиабатического инварианта на Д/</. В настоящее время развиты методы, позволяющие рассчитать ДI при линейном во вре­мени изменении параметров системы. В рассматриваемой задаче опреде­ляющей является временная зависимость величины ©.[2(0]~ ©. Ее мож­но считать линейной, если точка циклотронного резонанса удалена как от точки минимума ©.(г), так и от точки остановки электрона (рц=0).

Величина ДI существенно зависит от значения фазы Ф, при котором происходит переход через сепаратрису. По этой причине при неоднократ­ных переходах процесс изменения I принимает случайный характер [6-8].

Простое выражение для ДI удается получить в области и>(тпсг/ /©) (Е/Во)* ((р±1тс)^>(Е/Во)'и), где картина фазовых траекторий на пло­скости (ц, Ф) близка к фазовому портрету нелинейного маятника (см. рис. 1). В этой области не все электроны захватываются в колебания при прохождении через точку циклотронного резонанса. В предположении равномерного распределения по фазам вероятность захвата равна

Я-Л/ОйгНШ,

Где

Зо^лц., 51«в16(р/2а),д,=16(есЛ),ь(2^вт©.0) */©

— площадь колебательной области.

Рассчитывая Л, ^1 по гамильтониану Е~Н0 (см. (3), (5)), получаем

"4|{-4М^)']}~(втеГ-

Таким образом, при прохождении через резонанс высокоэнергичных элек­тронов вероятность захвата мала и основная часть электронов переходит из области обратного вращения (Ф*=©,—©<0) в область прямого (Ф = =©,—©>0) по траекториям типа траектории С на рис. 1.

При расчете Д/ используем результаты [6]. Для электрона, дважды прошедшего через резонанс (при движении в сторону большего поля и

Где величины зависят от значений фазы Ф в моменты перехода через

Сепаратрису, разделяющую области финитных и инфцнитных движений

На рис. 1. В соответствии с [6—8] величины можно считать слу­

Чайными, независимыми, равномерно распределенными на отрезке (0, 1).

Тогда величину Д/ также можно считать случайной, имеющей нуле­вое среднее и дисперсию

„2 ( Р|1с* У ТС В,

* ' £.ш2 ' р± Е

' Р\ В0 с /

При этом коэффициент диффузии равен О»—(0Ь0Ц2.

Как известно (см., например, [ 11]), при достаточно низких ампли­тудах ВЧ поля, когда условия адиабатичности не выполняются,

В^(ср±Е/В0)2(лЬвт/рц(о)(Оь.

Таким образом, своего максимума коэффициент диффузии достигает на границе области адиабатичности, определяемой условиями (6), (7) (см. рис. 2). Отметим, что при (р\/р±) (с/Ьл(й)>{р±1тс)[83] коэффициент диффузии обращается в нуль, если Е/В0>(р\/р±) (с/Ь^ы).

Диффузию можно существенно усилить, если для нагрева использо­вать колебания с более сложным спектром, например, совокупность двух монохроматических колебаний с частотами, разделенными на Д©<©. Амплитуда результирующего ВЧ поля будет меняться из-за биений. Если электрон, двигаясь в сторону большего магнитного поля, проходит через резонансную область в период возрастания амплитуды ВЧ поля, то веро­ятность захвата повышается. Захваченный электрон увеличивает свою энергию в соответствии с условием авторезонанса е—тс2©е0/©. Уменьше­ние амплитуды ВЧ поля приводит к прекращению авторезонансного ус­корения. За время пребывания в состоянии авторезонанса энергия элект­рона возрастает на Де=тс2(й)е>02—ю*")/со, где й)е°1 (ю^г) — значение цикло­тронной частоты в момент «входа» («выхода») в авторезонанс. Предпола­гается, что ©Д>©»°,1. Поскольку возможны также переходы с ю.*2<© *1,

То нагрев электронов имеет характер диффузии по е. Шаг диффузии мак­симален 3) при Д©~й)6.

Возможно, что описанный механизм нагрева проявился в эксперимен­тах [4], где наблюдалось повышение эффективности нагрева при услож­нении спектра ВЧ колебаний.

В заключение найдем максимальную энергию, которой может достичь электрон при ЭЦР нагреве. В гамильтониане (1) за нагрев ответственно последнее (малое) слагаемое ~ср±еА/г. В силу того что оно является резонансным — секулярным, с ним связаны изменения энергии Ье^>ср±еА/г. При их определении можно приближенно считать, что дви­жение происходит ПО поверхности //(0,=е — Цй)=СОП81. Комбинируя это

Ц=[(Я(0))2-(тс2)2-(р„с)2],/‘/а).

Величина ц, а вместе с ней и энергия электрона е=Я(0,+ц(о будут мак­симальны, если резонансное условие выполняется в момент остановки при движении вдоль магнитного поля (рц=0):

Ц™={ 2ц. — [^=- - (1 + ^Р-)] +Цо2} ' , (9)

*• о) *- аз ' Тс ’ л *

Где ц0 — начальное значение магнитного момента, (дв,°тах — максимальное значение циклотронной частоты, достигаемое при движении по ловушке, до включения ВЧ поля.

В слаборелятивистском случае (9) удобно представить в виде Цтвхда

* (2ец.Тс2) 7,/о), соответственно е«««—тс2« (2 6 ц. гас2)’'ч Отметим, что то же самое выражение для ето* было получено в [12], где рассматривалось ДВИЖеНИе ЭЛеКТрОНОВ В СЛабоМ ВЧ ПОЛе. В ВЫражеНИЯХ ДЛЯ Цта*, втох вц, — начальная энергия продольного движения электронов в момент про­хождения через резонансную точку. Если считать 8 ц* равной энергии электронов, рождающихся при ионизации (ец,~10 эВ), что соответствует условиям [2—4], то получим Гтах—тсг~ 1 кэВ.

3. Нагрев при движении поперек магнитного поля

При движении, описываемом гамильтонианом (1), электрон не может достичь энергий ~100 кэВ, наблюдавшихся в экспериментах [2—4]. По­этому расширим рамки задачи, учтя новый фактор — движение поперек магнитного поля.

Предположим, что на некоторой силовой линии магнитного поля резо­нансное условие ь)=ь),(z) выполняется в точке минимума зависимости <ц,(z). Электрон с достаточно малой продольной компонентой импульса P\<^P±(ElBo)'lt{p±/mc)l, движущийся вблизи минимума магнитного поля, является авторезонансным. Практически во всех магнитных ловушках самопроизвольно возбуждаются НЧ колебания, вызывающие дрейф элект­ронов поперек магнитного поля. Если скорость дрейфа направлена в сто­рону увеличения В0, а движение достаточно медленно (max(|<b,|Vl, |©«Г/,)<0)» то энергия авторезонансных электронов будет возрастать в соответствии С Условием Е = тс*й),°/й).

Дрейфовое движение в НЧ колебаниях, как правило, имеет случай­ный характер. В силу авторезонансного условия с пространственной диф­фузией должна быть связана диффузия по jr.

D^D(e/(oL±)

Где D — коэффициент пространственной диффузии, L± — характерный масштаб поперечной неоднородности магнитного поля.

Рассмотрим продольное движение авторезонансных электронов. Они локализованы в окрестности минимума магнитного поля, где d),°(z)« д(Oe,°min [14-(z/L0)a]. Предполагая, что ь),,0m*n=(je/тс*, из (3) получаем

Считая, что при дрейфе поперек магнитного поля наряду с попереч­ным сохраняется и продольный адиабатический инвариант /ц= $ P\dzy С помощью (10) находим Zmьx=(I\LJnp±)'h. Это выражение показывает, что по мере роста Р± размах осцилляций электрона вдоль магнитного поля уменьшается. Таким образом, авторезонансный нагрев должен приводить к образованию тонкого слоя высокоэнергичных электронов, локализован­ных вблизи поверхности (BoV)Bo=»0.

В экспериментах [2—4], где изучалось пространственное распределе­ние высокоэнергичных электронов, поверхность циклотронного резонанса пересекалась с поверхностью (В0У)В0=0 по окружности. В этом случае высокоэнергичные электроны должны образовать кольцевой слой, что и наблюдалось в [2—4]. В силу существенной поперечной неоднородности магнитного поля в [2—4] дрейф авторезонансных электронов вполне по­зволял им достичь энергий —100 кэВ.

Авторы благодарны А. В. Звонкову за обсуждение работы.