ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

Вывод основного уравнения

Рассмотрим задачу о желобковых колебаниях разреженной плазмы, находящейся в слабонеоднородном магнитном поле. Будем считать, что из-за наличия некомпенсированного пространственного заряда в плазме имеется электрическое поле, направленное перпендикулярно к маг­нитному.

Обычно предполагается, что поведение плазмы низкой плотности, для которой выполняется условие (здесь — дебаевский радиус

Ионов; гл i — их ларморовский радиус), хорошо описывается в рамках гидродинамического приближения (см., например, [п*4]).

При этом в качестве основных уравнений используется уравнение Пуассона

-Ь = 4-е (п, — п() (1)

И гидродинамические уравнения непрерывности

^ -«-div л, т_,=0. (2)

Здесь V, =^-2|н(г;р — ^ у,.) ; ^ _ эффективное ускорение

Силы тяжести, имитирующей неоднородность магнитного поля, силовые линии которого имеют средний радиус кривизны, равный Л; — сред­няя энергия частиц сорта у (у = е, /); гв<^£-. Как известно, желобковые колебания могут быть неустойчивы, если ускорение силы тяжести на­правлено в сторону, обратную градиенту начальной плотности.

Будем использовать прямоугольную систему координат, ось ОХ ко­торой направим вдоль ускорения силы тяжести, и ось 0Z вдоль маг­нитного поля.

Предположим, как это обычно считается, что плазма обладает соб­ственными колебаниями, которые в линейном приближении представляют гармонические волны с частотой о), бегущие по направлению, в котором система однородна. Положим к2 = 0, ку — к.

Используя уравнения непрерывности (2), линеаризованные по малым отклонениям от стационарных величин, для возмущения плотности ча­стиц сорта у находим

Я"57( ¥1- (3)

Подставляя это выражение для пи- в уравнение Пуассона, получаем основное уравнение, которое можно использовать для определения само­согласованных возмущений потенциала срг

3=в, *

/41Г*2„ _

Одесь а)0у = ^———^ —плазменная частота частиц сорта у; 12^ =

Тз

Циклотронная частота.

Если плотность пространственного заряда достаточно велика, так что начальная скорость 1/0у меняется достаточно быстро с координа­той х, то может найтись такая точка х0в которой начальная ско­рость совпадает с фазовой скоростью волны -1/0у (хе^) = .

Эти точки для уравнения (5) являются особыми и в них одно из линейно-независимых решений имеет логарифмическую особенность [12]. Используя правило обхода полюсов Ландау [1? 2], которое по существу является правилом аналитического продолжения решения, для комплекс­ных частот можно построить регулярное на действительной оси решение уравнения (4). Однако, как будет видно из дальнейшего, полезно прежде уточнить уравнение (4), учтя в окрестности особых точек эффекты ко­нечного ларморовского радиуса частиц.

Оказывается, что при гт>у-*0 эффекты конечного ларморовского радиуса необходимо учитывать только в выражении для начальной ско­рости дрейфа, поскольку эта величина входит в резонансный знамена­тель уравнения (4). Усреднение по невозмущенной траектории частицы дает (см. „Приложение“)

V» = — ТГ ■+■ 77 То 4г 'РХ ) 5‘п 0. (5)

Здесь Гд. у = ^-; 0 — угол между осью ОХ и вектором скорости лармо-

"У

Ровского вращения частицы в точке х.

При этом выражение для л1у принимает следующий вид (см. „При­ложение“, а также работу [и])

Ли = 77 ] ^ (*• ¥) (— т~*~ ^ ('х’ 1 ^

Если 1/0у не зависит от V, то уравнение (6) сводится к уравнению (3), которое было получено из гидродинамического уравнения непрбрыв - ности (2). Аналогично этому и уравнению (6) может быть получено из
следующего очевидного обобщения линеаризованного уравнения непре­рывности

+ т>^=0- (7)

Представим выражение (6) для ли - в следующем виде

Л1J — ^н(“ЗГ [к ~нУ»[14]'1-■?) 1*) ’

Где обозначено

2*

// — I V* -*-**>—8*п 0)-1 М’

О

«/, - Н Йу=(^ ч - £1-± ?;) (^ ,)-1.

</у, Ау — действительные величины. Скобки в этом выраженит означают - усреднение по абсолютной величине скорости частиц.

Оказывается, что при рассмотрении вопроса о собственных колеба­ниях плазмы достаточно в (8) проинтегрировать по 0, т. е. вычислить величину /у. Для этого введем новую переменную интегрирования г =в* ; в результате получаем

~ ¥ § ** —6)—1 • ^

И=1

В соответствии с правилом обхода полюсов Ландау [х] считаем, что - интеграл (9) определен для нарастающих возмущений (6 < 0 при £>0).1 При Ь^О следует деформировать контур интегрирования таким обра­зом, чтобы получилась единая аналитическая функция.

Подынтегральное выражение в уравнении (9) имеет два полюса в точ­ках *± = (|£/——6)2ч-1 . Легко показать, что в случае Ь <[ О' внутрь контура | х | = 1 попадает только один полюс, соответствующий г_у и интеграл (9) сводится к вычету в этом полюсе

1= 1 —. (10)-

Для того чтобы получить аналитическое продолжение / в область

0, необходимо таким образом деформировать контур интегрирования в уравнении (9), чтобы он по-прежнему охватывал только полюс При этом выражение (10) для ] остается справедливым и в случае

Используя уравнение (10) в выражении (6) для возмущения плот­ности и подставляя п^ в уравнение Пуассона, окончательно получаем

У=», *

Уравнение (11) отличается от уравнения (4) только при достаточно малых 7 = 1ш«>, а именно при | 7 | ^ | кгяУ01, и только на расстоянии порядка г1% от особой точки. В основном это различие связано с уче­том взаимодействия с волной резонансных частиц, которые могут нахо­диться на расстояниях порядка гХш от особой точки [см. уравнение (5)]. Обычно выделение резонансных частиц имеет смысл лишь при доста­точно малых 7, в данном случае при | т | ^ | кгхУ'01. В то же время при 171 |£г,1^| все частицы участвуют в развитии колебаний на равных

Правах [см. уравнение (11)].

Полезно сопоставить уравнение (11) с уравнением плазменных коле* баний, на примере которых были впервые рассмотрены эффекты взаимо­
действия резонансных частиц с волной (см. [х]). В случае плазменных колебаний резонансные частицы выделяются при |Т|>|<*>| (т^О), а также при достаточно малых (экспоненциально-малых) Это обстоя­тельство отражено в том, что интеграл вероятности от комплексного аргумента 1^(г), через который в этом случае выражается лху в функ­ции от <рх> из-за явления Стокса имеет различные асимптотики в различ­ных секторах комплексного переменного г = ^ , причем при | ^ | ]> | Яе о> |

1ш г) ч—-к=- и при І7І<^|Яео)|

' ' V 7С ^

*-►00

I 1

W _

|*|->>ао Vit *

Последнее выражение, как известно, получается, если величину ^ в особой точке определить как ^-------------------------------------------------------------- ito(o)—kv)t что соот­

Ветствует правилу обхода полюсов по Ландау.

При определенных условиях это правило, очевидно, можно исполь­зовать и непосредственно в уравнении (4). Предположим, что 1т|<

<kr2yQl тогда величину ^---------- —т. ^ 80 внутренней

Области, т. е. при | VQ----- | ^ I г*У'о I» можно записать в виде —/ (гЛУ'0)~1 X

Если возмущенный потенциал срх слабо меняется на расстояниях по­рядка гл>, то можно использовать уравнение (11), усредненное по таким расстояниям. При этом внутренняя область, где | х— хе | < гл>, как

Нетрудно видеть, дает вклад —in ~ -^r<Pi (*с). Вклад внешней области,

Где х — хе ]> г, можно записать в виде <р: (х). Суммируя

Эти результаты, получаем, что при IТI ^ I ^глI величину [(о)—&Vq)2 — ,/ р

— (*г, УЭТ * можно определить как _------------- /тс8 (а> — kv). Именно такое

Выражение было использовано в работе [и].