ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЖЕЛОБКОВЫХ КОЛЕБАНИЙ В ПРИСУТСТВИИ РАДИАЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Мы будем исходить из уравнения Пуассона

^<Pi = -**TC(eii + eie) (1.1)

Где <рх — возмущенный потенциал, a gii, gic — возмущенные плотности зарядов.

Для ей методом интегрирования по траекториям нетрудно получить следующее выражение, см. на­пример работы /, 13 (в дальнейшем мы для про­стоты опускаем индексы «е», «i», имея в виду, что вычисления в обоих случаях аналогичны)

(1.2)

— ОО

Здесь F — начальная функция распределения.

Невозмушенная траектория иона в электри­ческом и однородном магнитном полях определя­ется функцией Лагранжа

TOC o "1-5" h z L = М{ 'гг + г*а*) —е<р0(г) + (е#/2с) г2а (1.3)

Где а — азимутальный угол.

Уравнения движения иона, найденные с её по­мощью имеют следующий вид

Г-0,4 —£**-+,«• (1.4,

Rx + Q г = — 2 гх (1.5)

В силу стационарности и аксиальной симметрии задачи они обладают интегралами

Е = М(г *+ г2а!) + е<р0(г) (1.6)

£ = ±г* + гЧ10 (1.7)

Для определения траектории иона введем пере­менные г, 0 при помощи равенств

Г = v cos 0 = vr (1.8)

Га = v sin_0 = (1.9)

Из ур. 1.4, 1.5 получаем

® =-й+В1т-7Нп9 <110)

V = — (е/МУфь С08 в (1.11)

Решение этих уравнений ищем в виде разложения по степеням малого параметра гл/г, приняв, что eq:0<Mv2. Такие значения потенциала обычно имеют место в экспериментальных условиях.

В нулевом приближении из ур. 1.10, 1.11 полу­чаем

E0 = e°-Qt (1.12)

V0 = constant (1.13)

TOC o "1-5" h z г»=г°--§-81п0о1»‘ (L14)

«О == а° C0S ^01 О* (L15)

Здесь через 0°, г°, а0 обозначены значения этих величин при <=0.

Следующий порядок дает

В.=- >] 4— e-U’ <116>

Vl =~Жй(р*’(r°)aiaeoo (1Л7)

Гг = -^г <Ро (го) [sin 0О|„‘ sin 0° + cos 0О | 0‘ COS б]

+ -^г [i cos 2 0о I o' — cos в01 o' cos 0°] (1.18)

*1 = 9,o'(r°)[^- cos 0«,|o, sin0o+sm0()|o'cos0()]

+1^)2 [isin20o|o‘ — sin0o|o‘ cos0°- cos 0O|O' sin0°]

(1.19)

Из выражений второго порядка по гл/r в даль - лейшем нам понадобятся только те части величин б2 и v2, которые пропорциональны соответственно sin 2в0 и cos 2д0. В плоском случае можно было бы ограничиться выражениями первого порядка по

Гл/г.

*•»—2гг[-^(жл'Н, + (^Г

+ т-(ж^)']™2в" <L“)

45г[""Ж *’•>•> + ^(ж

(1.21)

Разложим потенциал <р± (г, t), входящий в ур. 1.2, в ряд Фурье по кг

<рх(г, t) = е~ — e~ioit + imajq>1(kr) eik'rdkr

(1.22)

Мы рассматриваем бегущие по азимуту а волны с частотой со и азимутальным числом т.

Функцию F, также входящую в ур. 1.2, будем считать произвольной функцией от интегралов движения е, С

F=F[iMv* + e<p0(r); З + ^] (1.23)

Подставляя ур. 1.22, 1.23 в ур. 1.2 получаем

Зl = е* jdkr(pi{kr) Jdyfg - +i[<o-^~ +

0

X Jexp[— iњt ikrr(t]ф^ (1*24)

— oo

При помощи ур. 1.12—1.19 нетрудно найти, что с точностью до величин (г л/r)2 фаза Ф(£) экспоненты в ур. 1.24 равна

0(t) = — cot + | [sin(0° — f0) — sin(0° — Qt —у>о)]

+ kr[l7^-W?•>'] +га<*>‘ <L25>

Где

| = kvJQ, cosщ—кг/к, sinу0==т1гк, к==(кг2+г-2т2)Ъ

Для того чтобы найти усредненную скорость дрейфа по азимуту <а>, методом разложения по малому параметру г л/r требуется знание величин в, v, г до третьего порядка включительно. Более простой способ вычисления (а) состоит в усред­нении ур. 1.4 по времени.

В результате такого усреднения для (а) полу­чаем

- ■этИтгГ«,"'и «’.*(•"’)+л-м (I«)

Уравнение 1.26 дает усредненную по ларморов - скому вращению скорость дрейфа иона, который при t=0 находится в точке г°. Она существенно от­личается от выражений для скорости дрейфа, при­веденных в работах 11,12. Во-первых, при е<р0>Т0 в выражении для скорости дрейфа существенен нелинейный член, пропорциональный <Ро<Ро". По­этому даже, если электрическое поле Е=—Vq> растет линейно с радиусом, средняя скорость дрейфа иона отличается от скорости дрейфа электронов, определяемой формулой (|с<р0 /Нг). Кроме того в ур. 1.26 имеется член, зависящий от фазы скорости иона в момент £=0. При усреднении с изотропной функцией распределения он пропадает. Однако в ур. 1.28 и др. входит комбинация типа

J — ho

Следовательно, и этот член при усреднении может дать отличный от нуля вклад.

Таким образом, вопреки утверждениям работ 10, 14, влияние радиального электрического поля существенно не только при EJr Ф constant, но практически для любой зависимости электриче­ского поля от радиуса. Причем это влияние не сводится только к появлению добавочной скорости дрейфа. Отметим, что в работе 14 приведено гидро­динамическое выражение для скорости дрейфа, которое может быть получено с использованием тензора вязкости, при е(р0<^Т, или при усреднении ур. 1.26 с начальной функцией распределения, зави­сящей от интегралов движения.

Если магнитное поле слабо-неоднородно, то учет этого фактора дает следующую^добавку к <*>

А-»)

Подставляя ур. 1.25—1.27 в ур. 1.24 и интегрируя по времени, получаем

Ei=e*jdb<Pi(br)fdv{^ ~(а>^ + ^Щ)

ХЫкТ))^)

X ехр [г f sin(0o-Vo) + i kr -^V<?o')]}

(1.28)

Для того чтобы проинтегрировать ур. 1.28 по начальным скоростям, используем следующие со­отношения

TOC o "1-5" h z 8F (r I ~Ч d «Ч>о'(г) в.

(1.29)

F (в, О = F(e,r*) (L30)

С помощью выражений 1.29, 1.30 из 1.28 полу­чаем

Е2 Г, Г mь dF

01 _ Mы* J "^7'аГ9’1

+ 7!<И,'-Л^т)'(т)]

, 1 / гг т е , w2 cLF

Г2 MQw0r dr / У1 ' со02г dr

I _J5 Й_ |>/p _ me dJ d Ie V°' W њ

R3ы)0 dr L M Q o)Qr dr ) dr Hr jy1

I W2 e cLF m њ Q 'k n1.

TVni/M “dT9’1- d/ri ^ ^

Здесь обозначено њQ=њ — (mc (p0'/Hr), E = ЩН кроме того в ур. 1.31 произведены замены типа

J i кг ехр (г кг г) 9ог (kr) d kr = dcpjdr

В дальнейшем нам также понадобится та часть четвертого порядка из разложения qx по гл/г9 ко­торая содержит четАотую производную от 9 по г. Она может быть определена на основе уже проде­ланных нами вычислений

Зе2(М й2)~2 Г, Го ГГ ™ * dF 1 dVi

G“= 8 J dY[2eF—Mф^e -dr~аfr

(1.32)

Если ввести в ур. 1.31, 1.32 величины y) = <pjrco0

N0=jFdv; Pq—^sFdv

3V_/_________ m__ _drc^ g

°1 8МЯ2^° M Q (o0r dr y

И произвести в них некоторые упрощения, то полу­чим

— в2 ( й а dv> — т2 а МО2 (о0г г dr dг г3 ^

+ +гс°2т)^

171 со о £2 т 7Ьл л dтЬп лт

-------------------------- у)-ш(о0Ог-^-^ (1.33)

Л _ В2 с*уг*

$1*-~ МП* 0>ъг г drM

В ур. 1.34 считается, что d^/d г > ^/г, тай как только в этом случае члены четвертого порядка малости по га/г оказываются существенными (см. основной текст). Искомое дифференциальное урав­нение можно получить, подставляя ур. 1.33, 1.34 в ур. 1.1, при этом два последних члена в ур. 1.33 сокращаются, поскольку у электронов и ионов они различаются лишь знаком (эффектами конечного г л для электронов можно пренебречь).

Для единообразия полезно член А<р19 входящий в ур. 1.1, выразить через

Л ______ е2 у с! д ~ dv^

У*1 М О2 со0 г г dr 0 dr

+ (1-3б) где <5$0=а>02г3п0 £?2/со<н2, со<н = (47Г е2п0/М)Ь — ленгмюровская частота ионов.

Отметим, что в области, где плазма становится неквазинейтральной, необходимо учитывать раз­личие в начальных плотностях электронов и ионов в последнем — наибольшем члене ур. 1.33.

Подставляя в возмущенное ур. Пуассона 1.1 вы­ражения 1.33, 1.35, окончательно получаем

ЯО -дт + 8оУ+(™*9+г а>г)-^у>=0

(1.36)

Где

Я - ш м. Гг + —___________ -_____ 5-1

0— о + <«012 гМОю0п0 аг ]

1 Фо .... То

У~ мв ап, “ мя

Это уравнение вблизи от особых точек первого типа необходимо дополнить ур. 1.34.

Приложение 2