ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ВЛИЯНИЕ РЕЛЯТИВИЗМА НА ОБРАЗОВАНИЕ ПЛЕЩУЩИХСЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПРИ ЦИКЛОТРОННОМ НАГРЕВЕ

ЗВОНКОВ А. в., ТИМОФЕЕВ А. В.

1. В неоднородном магнитном поле область интенсивного взаимодейст­вия между заряженными частицами и электромагнитными колебаниями ограничена малой окрестностью резонансной точки, в которой частота колебаний совпадает с циклотронной частотой. При прохождении частиц через эту область меняются их энергия и магнитный момент, что приво­дит к изменению траектории движения вдоль магнитного поля. Влияние резонансного взаимодействия на траектории электронов, удерживаемых в адиабатических ловушках, рассматривалось в [1—4]. В этих работах было показано, что увеличение энергии электрона при резонансном цикло­тронном взаимодействии имеет следствием приближение точки отраже­ния электрона от области возрастающего магнитного поля к резонансной точке. Отсюда следует, чтр нагрев электронов должен сопровождаться появлением группы так называемых плещущихся частиц, движущихся по одной и той же траектории и отражающихся от магнитной пробки в точке циклотронного резонанса *. Плещущиеся электроны были зафикси­рованы в экспериментах [5, 6].

Появление плещущихся электронов может существенно изменить ди­намику плазмы при электронном циклотронном нагреве. Так, например* ожидается, что нагрев электронов в запирающихся частях амбиполярных ловушек приведет к росту амбиполярного потенциала. Однако плещущие­ся электроны удерживаются магнитным полем, поэтому их появление должно сопровождаться падением потенциала и, следовательно, ухудше­нием удержания плазмы. Вместе с тем плещущиеся электроны, как и плещущиеся ионы [7], могут играть положительную роль, обеспечивая устойчивость аксиально-симметричных открытых ловушек по отношению к желобковым колебаниям.

В настоящей работе учтено влияние релятивизма на явление, рассмот­ренное в [1—4]. Показано, что если начальная энергия электронов <£ и величина амбиполярного потенциала <р0т* достаточно малы (<£ |еф0т|< <тс[72]), то циклотронный нагрев будет приводить к образованию группы плещущихся электронов. Определено максимальное значение энергии,, до которой могут быть нагреты электроны. Ограничение энергии при нагреве обусловлено релятивистским эффектом зависимости циклотрон­ной частоты от энергии.

2. Движение электрона в адиабатической ловушке в присутствии электромагнитных колебаний описывается гамильтонианом

Я=-ефо(г)+с [(тс)Ч-(р + -^-А»(г) + -1-А1(г><) ) ] . (1)

Интересующий нас процесс резонансного взаимодействия между электро­нами и колебаниями разыгрывается в малой окрестности резонансной точки гс, где частота колебаний со кратна циклотронной частоте й)е(г)=^

=сеВ0(т)/(#+еф0(г)). В этой области удобно ввести локальную декартову систему координат, направив ось Z вдоль магнитного поля. Будем считать, что характерный масштаб изменения Фо(г), А0(г) велик по сравнению с ларморовским радиусом электронов. В этом приближения для фо(г), А0(г) можно использовать следующие выражения: ф0(г)=ф0(2), А0(г) =

*=(—#0(z)y; 0; 0). Примем, что электромагнитные колебания, распростра­няющиеся по плазме, имеют вид плоской волны: Ли(г, f) =^4lm - sin(kr— —.

Рассмотрим сначала движение электронов в отсутствии колебаний, положив в (1) А,=0. При помощи производящей функции (см., напри­мер, [8])

----- (у—JTctgO-arY^ +zPx (2)

Введем переменные, описывающие ларморовское вращение (0 — фаза лар - моровского вращения, I — поперечный адиабатический инвариант) и дви­жение ведущего центра (Х=—сРг/еВ0, Y). В новых переменных невозму­щенный гамильтониан Я0 принимает вид:

Яо=-ефо(Z) +с [ (тс)Ч-(2еВ0(z)I/с) +PS] Ч'=&. (3)

Теперь учтем влияние электромагнитных колебаний. Разложим (1) в ряд по Ai и оставим лишь линейное слагаемое. Используя новые перемен­ные, легко выделить резонансную часть гамильтониана

Я,‘"‘-св^+вф.(*))-[

+Jn+l(k±p.)At,+) (2efi.(z)//c)'<■+/„(*хР. МмР,], (4)

Где Jn — функция Бесселя; AT>^=(1/2) (Л^ sin Ф«*^^ cos Фпу) “ состав­ляющие вектор-потенциала, вращающиеся в электронную (ионную) сто­рону; Ait\=An sin ФП1; Фп<=л0+А:||2—wf+an<; р.= (2СЦеВй)Чл.

Весьма существенно, что НХЫ) зависит от переменных 0 и T лишь через фазы Фп<. Учитывая это обстоятельство, находим

Dl ДН^П ЭЯ,"”

Dt д0 со Dt '

В дальнейшем нам понадобится также выражение для изменения величи­ны которую мы будем называть энергией

Если 2Г—2С>р.%1»,#*, То электрон в процессе отражения от магнитной пробки дважды проходит через состояние резонанса с колебаниями (двигаясь туда и обратно). При 2Г—2с<рдва акта резонансного взаимодействия сли­ваются в один. Если время отсчитывать от момента остановки электрона (і7ц (г (0)) =0), то при вычислении полных изменений Гп <8 за одно отра­жение от пробки пределы интегрирования можно взять бесконечными:

Дгг=-яГ’ |Л + { л Ди["т,

Если электрическое поле колебаний обращается в нуль на достаточно большом расстоянии от точки поворота, то из (6), (7) следует

Где

Д# = | ЛднГ'т.

— 00

Соотношение (8), по-видимому, справедливо при произвольной простран­ственной зависимости электрического поля колебаний, если его амплитуда достаточно велика. Действительно, известно (см., например, [4]), что при Е>Ес(Ес~В0(ср±/&)л/*(с/(йЬУ/*1 // — характерный масштаб изменения маг­нитного поля) движение электрона в адиабатической ловушке становится стохастическим. В данном случае стохастичность проявляется в хаотиза - ции фазы ларморовского вращения электрона за один акт резонансного циклотронного взаимодействия. Поскольку возмущенная часть гамильто­ниана Н 1(п) — гармоническая функция фазы 0, то хаотизация фазы ведет к эффективному уничтожению возмущения.

Знание величин & и ЪТ достаточно для описания движения электрона по ловушке. Однако в некоторых случаях состояние электрона удобнее - характеризовать величинами Р±г и рц1, отнесенными к минимуму магнит­ного поля Р±О2, ^ио2. Их изменения в результате резонансного циклотрон­ного взаимодействия можно выразить через Д<2Г, используя постоянство - энергии и поперечного адиабатического инварианта на траектории элект­рона вне резонансной зоны. Простые вычисления дают

А_ , пш.(О) 2#Д«У

ДРх. —--------------------- :---- , (9)

Ш с

Л_ , [, 1М».<0) 2ЯА&

“V1—[73]

4. В стохастическом режиме движения электронов по ловушке их функция распределения по & и I будет расплываться диффузионным об­разом. Очевидно, что в среднем энергия электронов должна возрастать. Используя (9), (10) находим, что на плоскости Р±02 0Р\0г (рисунок) элект­роны движутся вдоль кривых, образующих однопараметрическое семей­ство

На плоскости Р±0[74] Ор^ частицы, останавливающиеся в точке 2С, распола­гаются на кривой, описываемой уравнением

#=-ефо(2.)+с[ (тс)г+р±О2 — 1 (12)

И Па, о Тс2 -*

Приближенно (с точностью до размера резонансной зоны) можно считать, что наибольшая энергия, которой может достичь данный электрон, опре­деляется пересечением кривых (11), (12). Электроны, лежащие на кри­вых (11), пересекающих конус потерь, будут выброшены из ловушки в

Движение электронов на плоскости Рхо2Орцо* при циклотронном нагреве. Под действием циклотронных коле­баний электроны движутся по тон­ким кривым, которые описываются уравнением (8); 1 — граница конуса потерь; 2 — кривая, на которой рас­полагаются электроны, останавли­вающиеся в точке циклотронного ре­зонанса 2г=*2с; 3 — кривая, описывае­мая уравнением (11) при const— =*—<?фоТ+тсг

Процессе диффузии. Поэтому максимальная энергия достигается элект­ронами, лежащими на плоскости Р±02 Ори1 на кривой 3 (const*—Еуйт+тсг, Фот - значение потенциала в пробке ловушки). При нерелятивистском по­тенциале |сф0т|<тс*, используя (И), (12), находим

Saux^Mc2 [1+ (2с| фот—фос|/тс*),/ш],

Где фас — потенциал в точке циклотронного резонанса Zc нерелятивистских электронов B0(Zc) ЖТтс/пе.

Ограничение энергии при циклотронном нагреве обусловлено реляти­вистской зависимостью циклотронной частоты от энергии электрона. Уменьшение циклотронной частоты с ростом энергии вызывает смещение резонансной точки Zc $ область большего магнитного поля. В результате на траектории электрона условие циклотронного резонанса перестает вы­полняться.

В области малых нерелятивистских энергий кривые (11), (12) вырож­даются в параллельные прямые. Удаление электронов вдоль них от на­чала координат при циклотронном нагреве приводит к сжатию функции распределения по питч-углу x=arctg(/?xo/piio)- Этому процессу соответст­вует концентрация точек отражения Zr к точке циклотронного резонанса (см. (8)). Таким образом, нерелятивистские электроны стремятся стать плещущимися. Релятивизм ограничивает этот процесс. Однако поскольку приращение энергии при циклотронном нагреве Ал#* оказывается малым по сравнению с тс2(ДЛ^Г<^Гтах—mc2<mc2), то соответственно небольшим будет и разброс в значениях Zr для наиболее энергичных электронов (электронов, расположенных на плоскости Р±ог0рц* на кривой 2). Следо­вательно, при циклотронном нагреве наиболее энергичные электроны мо­гут образовать группу плещущихся. Возникновение плещущихся частиц при циклотронном нагреве еще более характерно для ионов, так как реля­тивистские эффекты для них очень слабы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Предположим, что точка циклотронного резонанса Хс находится в области возра­стающего поля, где Fn(z)<0. Если электрон при своем движении вдоль магнитного поля заходит за точку ze(<M*r)><i>/n), то из (8) следует, что увеличение энергии электрона (Д2Г>0) ведет к уменьшению размаха продольных колебаний (Azr<0). Этот результат вполне естествен, поскольку при циклотронном резонансном взаимо­действии меняется преимущественно поперечная энергия электрона (см., например, К]). Ее рост ведет к увеличению 1, а следовательно, и силы fg(z), направленной к

Центру ловушки. Так, например, в простейшем случае, логда электрическое поле колебании направлено поперек основного магнитного поля (£Г=&±), а электроны нерелятивистские (1=&±/СоР), из (5) получаем

TOC o "1-5" h z

1 / (д'(гг)

6-г =----------- I---------------- 1 63 (П.1)

^|| (-г) V ©.(^ '

Поскольку на траектории электрона то (бгг/б<У)<0.

Однако в резонансном взаимодействии участвуют также электроны, не доходя­щие до резонансной точки (гс>гг), но останавливающиеся в пределах зоны резонанс­ного циклотронного взаимодействия (~с—~r^p;/,L,/,). Увеличение энергии таких элек­тронов, как следует из (8). ведет к удалению точки Гт от центра ловушки, что на первый взгляд противоречит (П.1). По-видимому, в этом случае полные изменения Л^г и Д# за одно отражение от пробки определяются различными участками траек­тории. Действительно, при 2Г<2С энергия электрона меняется наиболее быстро в ма­лой окрестности точки отражения (:*гг), где он подходит наиболее близко к точ­ке Гс. Предположим для определенности, что в этой области энергия электрона возра­стает (О1^>0). Соответствующее изменение отрицательно и в силу условия

2«гг мало по величине (см. (П.1)). Когда электрон удаляется от точки Гг, электриче­ское поле колебании меняет знак. Вклад «второй» области в Д# отрицателен (б;# <0) и мал по величине, так как электрон теперь находится на большем расстоянии от точ­ки циклотронного резонанса сс. Однако в силу увеличения множителя ((<й,(*г)/ /(|)г(г))—1) может оказаться, что 6ггг превзойдет по величине 1612Г|. В этом случае полные изменения Д&^б^+бг# п Дсг=б1Гг+б;сг будут одного знака (положитель­ны). Именно это следует ИЗ (8) при Сг<2с.