ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

О ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ПЕРЕНОСА ДЛЯ СЛАБОИОНИЗИРОВАННОЙ ПЛАЗМЫ ГАЗОВОГО РАЗРЯДА

А. В. Тимофеев

Показано, что при рассмотрении электронного компонента слабоионизированной плазмы гидродинамическое приближение применимо, только если упругие потери при столкновениях электрон—нейтрал существенно превышают неупругие. В этом случае гидродинамическая система уравнений переноса сводится к модифицирован­ному уравнению диффузии для электронной плотности, в которое как параметр входит электрическое поле.

1. Часто при теоретическом исследовании слабоионизированной плазмы газового разряда используются уравнения переноса, аналогичные уравне­ниям переноса для плотного газа или плотной полностью ионизированной плазмы. Между тем при получении уравнений переноса в двух последних случаях существенно использовалось то обстоятельство, что рассматри­вавшиеся совокупности частиц составляли сильно взаимодействующие замкнутые или почти замкнутые системы. В таких системах за время порядка времени соударения между частицами устанавливается максвел­ловское распределение. Оно полностью характеризуется тремя парамет­рами (плотностью, скоростью и температурой), которые в нулевом при­ближении по (VТ)~х и могут считаться произвольными функциями

Координат и времени. Здесь V — частота соударений, X — длина свобод­ного пробега, Т — характерное время процесса, L — характерная длина.

Для того чтобы получить следующие приближения по и на эти

Параметры оказывается необходимым наложить так называемые условия разрешимости, которые и интерпретируются как уравнения переноса (см., например, I1* 21).

Эта процедура должна существенно видоизмениться в случае слабо­ионизированной плазмы газового разряда. Действительно, в слабоиони­зированной плазме взаимодействие между заряженными частицами прак­тически отсутствует, в то же время весьма существенно взаимодействие заряженных частиц с внешним электрическим полем, поддерживающим разряд, и нейтральным газом. В процессе такого взаимодействия заряжен­ные частицы, главным образом электроны, набирают энергию в электри­ческом поле, которую затем отдают нейтральному компоненту при упру­гих и неупругих соударениях.1 Если учесть только эти процессы, то мы получим приближенное решение кинетического уравнения, аналогичное максвелловской функции распределения в случае плотного газа или плот-

Обычно в слабоионизированной плазме средняя энергия электронов на 2—3 по - рядка превышает среднюю энергию ионов, которые практически во всех задачах могут не пТЬСЯ Х0Л°ДНЫМН. Поэтому ионный компонент слабоионизированной плазмы Рассм6ДСТаВЛЯеТ ДЛЯ нас сколько-нибудь значительного интереса и мы не будем его ной полностью ионизированной плазмы. Однако ни скорость плазмы, ни ее температура (средняя энергия) не могут считаться произвольными, но должны однозначно определяться внешним электрическим полем и характеристиками нейтрального компонента. В силу этого уравнение движения и уравнение переноса тепла следует исключить из системы уравнений переноса. В результате вся эта система сводится к одному мо­дифицированному уравнению непрерывности. Если вид функции распре­деления устанавливается в результате упругих соударений с нейтра­лами, то характерное время установления по порядку величины равно

1'9 3Десь у — частота упругих соударений. В этом случае полу­ченное нами уравнение непрерывности хорошо описывает эволюцию мед­ленно меняющихся в пространстве и во времени состояний, когда Т т,

Однако если в установлении вида функции распределения существенную роль играют неупругие процессы, включая ионизацию (X — частота ионизаций),'то в этом случае гидродинамическое

Приближение вообще неприменимо. Действительно, столкновительный член, учитывающий ионизацию, не сохраняет число частиц. Поэтому, для того чтобы удовлетворить кинетическому уравнению, мы с самого начала должны рассматривать неоднородные и нестационарные состоя­ния с ^^1, т. е. такие, характерный временной интервал изменения которых не превышает времени установления функции распределения. В результате гидродинамическое приближение в обычном смысле этого слова становится вообще неприменимым.

Заметим, что' уравнения переноса можно интерпретировать и как законы сохранения, получающиеся при вычислении моментов от кинети­ческого уравнения. При таком подходе использование уравнений пере­носа не требует никаких Специальных предположений. Однако и ценность их в общем случае невелика, поскольку они составляют бесконечную систему зацепляющихся уравнений. Для таких объектов, как плотный газ или плотная полностью ионизированная плазма, эту систему можно оборвать, ограничившись в гидродинамическом приближении первыми тремя моментами. В слабоионизированной плазме область применимости уравнений переноса существенно сокращается.

2. На процессы, затрагивающие электронный компонент, существенно влияют упругие соударения электронов с нейтралами, которые стремятся изотропизировать функцию распределения электронов. Как правило, частота таких соударений значительно превышает все другие частоты, и поэтому функцию распределения электронов можно приближенно представить в следующем виде

/(у) = /о (о)+ 7 ИЛ"))-

Где и >

Для /0 и || нетрудно получить следующие уравнения (см., напри­мер, С*])

+ 3 о = °.

4+уУ/о-^Е^+81 = °. (2)

Здесь произведено соответствующее разбиение интеграла столкновений. Для примем следующее простое выражение в! = V (и) V (и) — частота упругих соударений электронов с нейтралами. В соответствии со ска­занным в предыдущем разделе будем считать, что вид 50 также опре­деляется упругими соударениями с нейтралами. В этом случае можно

Положить £т0 = —(Л (и) /о) [3]; здесь предположено, что средняя

0 13 Журнал технической фжзжкн, М 1, 1970 г.

Энергия электронов значительно превышает температуру нейтрального - газа.

Условие позволяет пренебречь первым слагаемым в уравне­

Нии (2). Определяя из этого уравнения ^ и подставляя его в уравне­ние (1), получаем

<з>

Є2£2 д

M2v* dv

Для медленных процессов с большой характерной длиной волны, когда выполняются условия в (3) в нулевом при­

Ближении можно оставить лишь два последних слагаемых. При этом для Д0) получаем (см.,, например, [3])

/40) = С (г, t) exp a J v3a2 (v) dv j. (4)

Здесь N2 - fif >* °(y)=='7^—сечение упругих соударений; N — плот­

Ность нейтрального газа. Параметр С (г, t), определяющий плотность электронов, может произвольным образом зависеть от координат и вре­мени.

Аналогично тому, как это делалось в случае плотного газа или плот­ной полностью ионизированной плазмы, будем искать решение полного уравнения (3) в виде /0 = /£0)-(1 + Ф), где Ф — неизвестная функция [*• 2]. Причем в четырех первых малых слагаемых положим /0 ==/(«).

Тогда для Ф имеем неоднородное уравнение

TOC o "1-5" h z е2£2 0 / V3 дФ dfk0) V*

JLffi НО) д/(0) ,

Іі»2|;2 dv 3^ 0 dv J dt 3v •

+££ЧЕ^)+т££(£^,))- <5>

Умножим это уравнение на и2 и проинтегрируем от 0 до оо. Учиты­вая условие |Ф|<^1, нетрудно найти, что интеграл от левой части равен нулю. Приравнивая нулю интеграл от правой части, получаем условие, аналогичное условиям разрешимости, использованным в[1,2],

_ Д (/),п) — V (Ь, Еп) = 0. (6)

Здесь введены следующие величины: плотность слабоионизированной

Зv (і;) Т» /

Плазмы п = <(Д0)>; коэффициент диффузии В9= <(/(0)]> ’ коэффициент

Подвижности Ь. = — -------- г-гт^----- . Скобки означают взятие интеграла

<Ап>

^ оЫи. Введенные нами величины /),, Ъ9 зависят лишь от электриче-

О

Ского поля и характеристик нейтрального компонента. Таким образом, Вся система уравнений переноса действительно свелась к единственному Уравнению непрерывности.

194-

Уравнение (6) может быть получено из уравнения непрерывности, [исанного в обычном : следующее выражение

К этому выражению приводит уравнение движения в виде

О = —тпУъ — еЕ п — V (пТ) — а$пЧТ — ((3 — 1) V (пТ), (7)

Где

А-Ш-(ЛА а е°- Т (~/°°)) 1-1-ь-1

/>. йт Т )' ТЬ9 ’ </(<>)> ’ тп • [19]

В этом уравнении предпоследнее слагаемое учитывает термосилу, связанную с зависимостью частоты соударений V от температуры 09=. Т

=----- [2]. Последнее слагаемое обращается в нуль при максвелловском

ТпЪ

Распределении, когда выполняется соотношение Эйнштейна между коэф-

ЕП

Фициентами диффузии и подвижности р = -^- = 1. Как правило, эти два

Слагаемых не учитываются.

Для простейшей степенной зависимости сечения упругих соударений

От скорости О (и) = <30 ) коэффициенты диффузии и подвижности, вхо­

Дящие в (6), нетрудно найти теоретически

Чтй) •,

,8)

44+2«;

Ь е (4 Н - 2д) р а * /о

• ~ 771 т( 3 ^ ЗЛ^ Ы • ( }

44+2«;

Здесь

X

Г/ 2а 4-4 М У/* е и1ЕТ*г

,,*=К“Г“ТГ) ’ |а|<2‘

TOC o "1-5" h z Для драйвестейновского распределения Д°> = п0 (г, Ь) е (*3’) ’

4 М V/» е Е 7/. //ч

У— ) I > которое получается из (4), если сечение о не зави -

(а = 0); /). = Г->(4)^, Ъ. = Щ^^П Если

От скорости не зависит частота соударений (а = —1), то из (4) получаем

И% е

максвелловское распределение. В этом случае /)# = —, Ь =—V-1, ит —

ЛV тп

__ /_2 М У» е£

3 /л / «V *

Остановимся теперь на области применимости полученных нами выра­жений. При их выводе мы по причинам, указанным в разделе 1, не учи­тывали ту часть столкновительного члена £0, которая связана с иони­зацией. Нетрудно видеть, что это возможно лишь для достаточно быстрых

Процессов с характерной частотой ш, много большей характерной частоты ионизации Z. Напомним, что само уравнение (6) было получено в пред­положении

В заключение приведем без вывода результаты рассмотрения слабо - ионизированной плазмы в магнитном поле. Если, как и ранее, считать, что неупругие потери незначительны, то медленные и плавные изменения электронной плотности можно описать гидродинамическим уравнением, аналогичным (6),

Ф. АП) + V* (Ь. хЕп) + V(ь.,п [е-§-]) = 0. (10)

Здесь коэффициенты /)#х, 6#х, Ьвх отличаются от Ъ9 заменой V (и) на »х (р) = у (») (4+-^г) и у*»=ГД0 2 — электронная

Циклотронная частота.

При 2^^ уравнение (10) может быть получено с помощью уравнения непрерывности и уравнения движения, если последнее взять в виде

О = —тпъв — еЕп — V (пТ) — тп2 -7^-] +

+ тН-2Г!) + г[тГ *»](Рл. “ 1)}> (И)

Где = ах, Рх—величины, аналогичные введенным ранее а и р.

Заметим, что магнитное поле влияет только на поперечные движения, продольные же движения можно по-прежнему описывать уравнением (6).

3. Применим теперь полученные нами уравнения для исследования устойчивости газового разряда. Рассмотрим колебания с малой длиной волны по .направлению вдоль оси разряда &а^>1 (а — характерный попе­речный размер). Для таких колебаний зависимость невозмущенных вели­чин от поперечных координат несущественна и поэтому возмущения можно выбрать в виде При этом из (6) получаем

TOC o "1-5" h z (-*. + - 1кЬ, Е0) Л.+(/>;*» - Ос ф, Е9)') Ег — 0. (12)

Здесь штрих означает дифференцирование по электрическому полю. Значок г в (12) опущен.

Для ионов общепринятым способом нетрудно получить

(_*ш + ш, .£„) - й. + Щ>,ЕХ = 0. (13)

Из (12), (13) определяем частоту собственных колебаний

—ш я* —ОД£0 + 1кь( ^^

Здесь использовано условие Ьв^>Ь(.

Колебания неустойчивы, если выполнено условие ^ 0* Макси­

Мальный инкремент достигается для колебаний с Е-. По порядку

Величины он равен Ь9Ъ1Е^1. Используя выражения (8), (9), условие неустойчивости можно представить в виде л 0. Таким образом, для неустойчивости необходимо, чтобы сечение упругих соударений а (и) падало с ростом скорости.

Ранее были укаааны условия применимости используемого нами гидро­динамического приближения. Нетрудно найти, например, что для рас­пределений, близких к драйвестейновскому (|а|<<1), эти условия дей-

196

Ствительно ВЫПОЛНЯЮТСЯ, еСЛИ-^-^У“; здесь X—длина свободного

Пробега электронов.

Таким образом, наши результаты применимы к газовому разряду высокого давления в достаточно широких разрядных трубках.

Возможно, что рассмотренный нами механизм раскачки колебаний проявляется в неустойчивых колебаниях (стратах), наблюдавшихся в та­ком разряде.

За обсуждение работы автор благодарен Б. Б. Кадомцеву.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Выше мы полагали, что газовый разряд поддерживается постоянным электрическим полем. Рассмотрим теперь ВЧ газовый разряд, считая, что основное электрическое поле колеблется во времени

Е0 (г, t) = Е0 (г) cos (at.

Функция распределения электронов в высокочастотном электрическом поле определялась в работе [5]. В этой работе отмечено, что если ча­стота ВЧ поля не слишком велика то можно пользоваться

Всеми выражениями, полученными для случая постоянного внешнего поля, полагая в них Е = Е0 cos Ы + Ег При этом коэффициенты диффузии и подвижности становятся периодическими функциями времени.

В обратном предельном случае со v функцию распределения элек­тронов удобно представить в следующем виде

Д°>(1/, г, *) = /Jj>)(i;, г, f) + /Jг, t) cos u>* + /Ц>* (у, г, t)sinatt где щЦи, г, t)r /Jy)e(i;, г, t) и т. д.—медленно меняющиеся функции. Используя уравнение (3), нетрудно показать, что fffl$> | |. Причем для

/£}} опять получаем выражение (4), в котором Е2 следует усреднить по периоду ВЧ поля

<**> = 4 £* + **.

Такой же вид принимает соответствующее выражение, полученное в[5], если в нем заменить u)2-f-v2 на v2. Эта замена в настоящем случае достаточно обоснована, так как исходные уравнения (1), (2) справедливы только при a>^>v.

Уравнение типа (5) для поправки к /$>, связанной со слабой неодно­родностью и нестационарностью системы, приводит к уравнению непрерыв­ности (6), в котором нужно положить Е = ЕГ Заметим, что при функция распределения электронов определяется средним квадратом электрического поля и» следовательно, тепловая энергия элек­

Тронов возмущается только в квадратичном приближении по Ег