ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

К ТЕОРИИ АДИАБАТИЧНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ

ЗВОНКОВ А. В., ТИМОФЕЕВ А. В.

Заряженные частицы удерживаются в адиабатических ловушках лишь в той мере, в какой сохраняется поперечный адиабатический инвариант. Поэтому вопрос о его постоянстве имеет для адиабатических ловушек принципиальное значение. До сих пор при его аналитическом рассмотре­нии предполагалось, что профиль магнитного поля на оси ловушки пара­болический или слабо отличается от такового [1, 2]. В реальных системах зависимость магнитного поля от продольной координаты близка к пара­болической лишь у «дна» ловушки, где удерживаются частицы с малой продольной скоростью. Между тем известно, что неадиабатические эф­фекты особенно сильны для частиц с большой продольной скоростью, ко­торые близко подходят к пробкам магнитной ловушки. Чтобы включить в рассмотрение такие частицы, в настоящей работе принимается, что маг­нитное поле на оси ловушки изменяется по закону косинуса (см. ниже). Такая зависимость довольно хорошо аппроксимирует реальные поля, ха­рактерные для многих открытых ловушек.

Согласно [3—5], к разрушению поперечного адиабатического инвариан­та приводит резонансное взаимодействие ларморовского вращения заря­женной частицы с ее колебаниями между пробками ловушки. Процесс разрушения можно исследовать двумя способами: посредством прямого интегрирования уравнений движения и в рамках гамильтонова формализ­ма. Первый способ, ведущий свое начало от работ [6, 7], применялся в [1, 2]. Мы использовали второй ввиду его методических преимуществ. Получен аналитический критерий разрушения адиабатического инва­рианта. С его помощью показано, что при P/L-*-0 область неадиабатично - сти на плоскости прилегает к конусу потерь. (Здесь р — ларморов-

Ский радиус заряженных частиц, L — характерный масштаб изменения магнитного поля). Причем как бы ни была мала величина р/£, всегда найдутся частицы, движущиеся неадиабатически. (Однако при р/£-*-0 их доля экспоненциально мала ~ехр(— Lip).)

В Приложении 1 показано, что аксиальная асимметрия магнитного поля, характерная для ловушек с min-5, практически не влияет на крите­рий адиабатичности. Влияние столкновений на движение заряженных частиц в адиабатических ловушках обсуждается в Приложении 2.

1. Примем, что магнитное поле на оси аксиально-симметричной ло­вушки изменяется по следующему закону:

B(z) = ±B'( (Я+i) - (Д-1) cos ( ™ ) ),

Где R — пробочное отношение, L — половина длины ловушки. Координата Z Отсчитывается вдоль оси системы.

Будем считать магнитное поле потенциальным. В приосевой области (r<L) магнитный потенциал имеет вид

Ф(г, г)=В0( V(Z)-±-T*V”(Z)) , V'(Z)=B(Z)/B* V(0)-1.

Я.71)-Ф(г,*)-В.( 7(2)--^г*Г'(2)) ,

Где А в — азимутальная компонента векторного потенциала. Разрешая эти уравнения относительно гиг, получаем формулы, связывающие старые координаты с новыми

Г=§(V(л))_/* (1+^ (Г”(П) У (ч)-2 V*(л)) (Г (I,))-•) , (1)

*-П+-7-6*У"(ч)

4

Согласно определению, поверхности £=сопз1 представляют собой поверх­ности постоянного потока, а поверхности л=соп81 эквипотенциальны. Сле­довательно, силовые линии в новых координатах прямые, параллельные оси Оц:

В ={ 0;0;ЯУ( 1 -^.г(2У’"У'-2Уп) (П-*)} •

Нетрудно убедиться, что координаты 5, 9, Л ортогональны.

2. Движение заряженной частицы (для определенности рассматриваем ионы) в постоянном магнитном поле, как известно, описывается гамиль­тонианом

2пг х С

В новых координатах (£, 6, л) гамильтониан принимает вид

Я~^{р1гГ(1-£ЧЗГ''Г-4Г'г)/8У'а)+?-2(р.-та)(0£72)2Х

ХГ'(1-1г(Р','Г'-27"*)/87'3)+р, г(1-1г(2Г,,Г-ЗГ, г)/47'5'}.

Теперь, следуя [8], введем координаты Ply gt, РГ, д2, которые в случае од­нородного магнитного поля были бы каноническими:

V * —(Pi+Pi+21/PiPi sin(gt+g2)), Та) Io

PiҐ=bptpz cosг (?,+g2),

Pe=p2—pl,

Tg0= (У2/?t cos Qi+V2p2 sin Qz) (V2sin gi+V2p2 cos g2)~

Где d)i0 — значение ионной циклотронной частоты при £=11=0.

Несколько упрощая, можно сказать, что переменные Ри Qi описывают ларморовское вращение, а переменные Рг> Q% — дрейфовое движение. Если рх/г-»-0, R/L-*0, то |1=ли;х2/2(1)<, gi переходит в фазу ларморовского вращения, Pt-*M(Df*L2Y Qt-+Q. Здесьр±в1;±/(1)< —ларморовский радиус ионов. При конечных, но малых величинах рJry R/L переменную Р{ можно пред­ставить в виде

/>,*|a(1+6*(V'*--F'"F)/8F'3).

Из этого выражения получаем

. ., 0>,'р.)* (Т'г-г"г) , , ч

Р Ц —2m----------------------------------------------------- V7*- 008 Я‘ 4

Отношение второго слагаемого в правой части последнего выражения к

Следует, что вклад второго слагаемого в изменения Рх оказывается в (L/P±),T раз меньшим. Можно показать (см. также [1, 2]), что основные изменения Pi и 1* обусловлены центробежным дрейфом /ПУУцд/оїі,

Где Уцд=(У||7(0<) [ВV]B/B

В новых переменных Pi, Q{ гамильтониан приобретает вид

Я=Я0+Ь, |Л|«Я0,

Где Ho=(OiopiVу (л) +рпг12т,

Л=-2 — Ур^(<о1,р, Г+ —р, г)(2Г''Г-ЗГ"г)-^зт(?1+9г). mw<e х Т ' 4V

Здесь в Л оставлены лишь наиболее важные члены. Перейдем теперь к каноническим переменным для продольного движения, определив их фор­мулами

Р, = (Д-1)) (Е- (1 -кг) К),

Л

?, = ^(arcsm(^sm^-), К),

Где /'Чф, К) — эллиптический интеграл первого рода, К, Е — полные эл­липтические интегралы, а величина К определяется соотношением К= = ( (Я0—й)»оРі)/(0,0^1 (Д—1)) ‘/’. При этом преобразовании координата Qx пе­реходит в Jil

Qi=Qi-(2M(XiioLi(R-I)Lpiy,IZ(2Kq3Ln)Y

Где Z — дзета-функция Якоби [9].

Как известно, разрушение поперечного адиабатического инварианта вызывается резонансным взаимодействием ларморовского вращения с про­дольными колебаниями частицы [ 3—5]. Чтобы выделить резонансные чле­ны в гамильтониане, нужно H разложить в ряд Фурье по Q3. Для нахож­дения I-того члена ряда требуется вычислить интеграл

,_J «Г-Г-

Где

Ч?=g1+^3+g2- (2ML2Toi0 (R-L) Lpl)4TZ(2KqJn).

Интегрирование удобно проводить, смещая контур интегрирования в комп­лексную плоскость так, чтобы он проходил около полюса подынтегрально­го выражения, где F'=0. Положение полюса определяется уравнением

Dn2(2Kq3/N)=R/(R-I)Y

Где dn — эллиптическая функция. При выполнении резонансного условия ДН0 дНа

QtLq3S=------- 1---- = 0 оказывается, что полюс является и точкой ста­

Дії Др3

Dty

Ционарной фазы, т. е. в этой точке —;— = 0. В этом случае асимптотиче-

Dq3

Ское значение интеграла J при £^Рх (Рх*®^/®*) выражается через Г-функцию.

Проводя все вычисления, получаем

«•

Я—Н,+ Xjfta, cos (g,+g»-2ng,), (2)

•■»в

Где Нож(діоРі(1+кг(R1)), H,N= (Злг/6К)(йі0Рх(2РгІтЬг(йі0)Чі(R-L)4T exp {-(2MLi(X>Io(R-I)ІзїрУ'Х 322

Ф0=*агс5т((Я—1)/Л) а штрих указывает на то, что модуль эллиптиче­ских интегралов равен (1—Кг)ч

Условие резонанса можно привести к следующему виду:

(1/я2) (2ТЬгацо(Н—)1Р1)ъ(КН/(И—1)—Е) =п. (3)

3. Под влиянием возмущения А частица совершает колебания на пло­скости РЛр*. Особенно велики эти колебания вблизи резонансных кривых, определяемых (3). Согласно [3—5], движение становится стохастическим, когда резонансы перекрываются, т. е. амплитуда колебаний частиц, рас­положенных вблизи резонансных кривых, перекрывает расстояние между соседними резонансными кривыми.

Чтобы найти ширину резонанса, предположим, что изменения величин Ри рз достаточно малы (Ьр^рх, бРз^Рг-Х- Переходя к переменным Р, описывающим отклонения от резонансных значений,

/>1—РГ*+Р, р,=р,(л>—2пР, ^=д,-2пд3

И разлагая Н0 в ряд по Ру получаем гамильтониан в виде

1

Н =—Рг-Ь2п сое (?,

Где

ДгН дгН дгН

М-'« —7 -4П-—+ 4л2 —— (й)<о/2/>1(Д-1)Кг(—кГ))X Ор * Др1 др3 др3г

Х{(-кг(-к2) (Н-1)г+(+к*(Н-1))г)Е/К-(-(Н-)гкг) (1 - А1)}.

Теперь можно определить ширину резонанса [ 5 ]

6Р=А(к2пМ)', (4)

Условие перекрытия имеет вид

(6Р'-1Ч)^Д Р, (5)

Где 6Р'=(1, — 2п)6Р, единичная нормаль к резонансной кривой на

Плоскости Р10рзУ а Др — расстояние между соседними резонансными кри­выми, которое находится из (3).

Условие (5) можно также представить в виде 2й)нл>й)3, где ювл= = (И/М)7* — характерная частота нелинейных осцилляций резонансных

ДН. я* / о,0(я-1)/?1 V'*

Частиц, З = —г—д, „I ------------- I — частота продольных коле-

Др з 2 ЬКХ 2т '

Баний.

Условие перекрытия приобретает простой вид для частиц, движущихся у дна ловушки (&-*■0), а также для частиц, отражающихся у пробок (&-*-1). Чтобы получить случай параболического магнитного поля, следует перейти к пределу при &2Д^1. Тогда получаем условие пере­

Крытия резонансов

4 рх.2 ' Я2 ' I 2р±0 Я 1 2 Ч-Л /

Где £0=2£/лУЛ— 1, Ь—и±о/и. Это условие вполне согласуется с результатом работы [2].

В другом предельном случае при 1—&2<1 условие перекрытия выгля­дит следующим образом:

— ~~ехр{------ —( -1+——Arcsin—)} >1—А2. (7)

Я* (д-i)’1 рх»1 1 ярх. гя-1 Тп

Из (7) следует, что вблизи конуса потерь (&-»-1) движение неадиабатично при любых значениях ЫР. Причина этого ясна. Для частиц, достаточно близко подходящих к пробкам ловушки, период движения неограниченно

Рис. 2

 

Рис. 1

 

/ягу

Рис. 1. Грайица области адиабатичности при Я«*2. I - при I — I = 2: II — при / яг 2

) =0.02; III - граница конуса потерь. Штрихпунктирными линиями пока­заны резонансные кривые для п=5, 4, 3, 2. Резонансные частицы совершают коле­бания в области, ограниченной пунктирными линиями. Для л=2 линия, ограничи­вающая область колебаний справа, не показана, она уходит ниже оси абсцисс

 

К ТЕОРИИ АДИАБАТИЧНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ

/ яг V

2 — 1, граница конуса

подпись: 2 — 1, граница конусаРис. 2. Граница области адиабатичности при й=7 и ^ ~£~)

Потерь - II

Возрастает. Поэтому даже малые изменения магнитного момента имеют следствием значительные изменения фазы ларморовского вращения, что, согласно [3—5], и ведет к неадиабатичности.

Условие перекрытия резонансов исследовалось также численно. На рис. 1 штрихпунктиром изображены резонансные кривые на плоскости (Рхо/£, РноД») для ловушки с пробочным отношением Д=2. В окрестности каждого резонанса частицы колеблются в пределах области, ограниченной пунктирными линиями, положение которых находилось в соответствии с формулой (4). Пересечение пунктирных линий, принадлежащих соседним резонансам, определяет границу области стохастичности (кривые I, И). Следует отметить, что в окрестности первых резонансов гс**1, 2, 3,... амп­литуды колебаний брхо, брцо, вычисленные формально по (4), оказываются сравнимыми с самими величинами рхв, рно. Поэтому использование форму­лы (4), полученной в предположении брхо^Рхо, бРно^Рио, становится, строго говоря, неправомерным и, следовательно, граница области стоха­стичности приобретает условный характер.

На рис. 2 приведена граница области стохастичности для ловушки с большим пробочным отношением Я—1.

4. Критерий адиабатичности движения заряженных частиц может быть также получен непосредственным анализом уравнений движения [1, 2]. Этот метод основан на вычислении приращения Дц за одно прохождение по ловушке (см. также [6, 7]). При интерпретации результатов расчета иногда используется представление о «скачках» — Дц, которые привязы­ваются к моменту прохождения частицы через минимум магнитного поля.

В гамильтоновом формализме операцией, эквивалентной подсчету Дц. является выделение из возмущенной части гамильтониана резонансной фурье-гармоники. Именно эта операция определяет показатель экспоненты в условии адиабатичности (см. (5) —(7)).

Из (2) следует, что показатель экспоненты — довольно сложная функ­ция пробочного отношения И и параметра &, характеризующего амплитуду колебаний частицы вдоль магнитного поля. Уже отсюда можно сделать

ВЫВОД, ЧТО Изменение Ц, Вообще говори, Иирс^«»-------------- -

Частицы, а не только той ее частью, которая лежит в окрестности мини­мума магнитного поля. Соответственно и часто используемое приближение параболического магнитного поля, которое безусловно справедливо в окрестности минимума, можно использовать при подсчетах Дц лишь для частиц, удерживаемых на «дне» ловушки.

Что касается представления о скачках ц, то оно, на наш взгляд, более адекватно при описании резонансного взаимодействия заряженных частиц, движущихся в неоднородном магнитном поле, с электромагнитными цик­лотронными колебаниями (см., например, [10]). В этом случае магнитный момент испытывает резкое изменение (скачок) при прохождении через резонансную зону, где частота электромагнитных колебаний близка к ло­кальной циклотронной частоте. Если резонансное условие ©=(0,(2) нигде на траектории частицы не выполняется, например ш<тш <0.(2), то резо­нансная точка «выходит» в комплексную плоскость. Однако при со. о— область изменения ц остается привязанной к «дну» ловушки. В нашем случае резонансная составляющая возмущения гамильтониана играет ту же роль, что и внешнее электрическое поле. (Частоту эквивалентного электрического поля следует считать равной нулю.) Нетрудно сообразить, что область минимума магнитного поля будет определять скачок Ац лишь при Д>1, когда в основной части ловушки ©,>1шп ©<(2).

В заключение заметим, что в настоящей работе, как и в [1, 2], рас­сматривалась лишь приосевая (параксиальная) часть ловушки. (В [1], как следует из анализа, проведенного в [2], приближение па - раксиальности использовалось неявно.) Условие параксиальности оказы­вается довольно жестким. Действительно, из (1) следует, что параметр параксиальности равен (г/Ь)2(Во/В(г))3. Приращение Дц за одно прохож­дение по ловушке или эквивалентная ей величина — амплитуда резонанс­ной фурье-гармоники — определяются малой окрестностью точки комплекс­ного переменного 2, в которой магнитное поле обращается в нуль. Это обстоятельство приводит к эффективному возрастанию последующих чле­нов разложения по (г/!»)2. В результате условие параксиальности принима-

Ет вид r2<Lv, p^*.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Учет аксиальной неоднородности магнитного поля. Проанализируем движение ионов в приосевой части адиабатической ловушки с квадрупольным тш-£. В этом случае магнитное поле описывается скалярным потенциалом вида

К ТЕОРИИ АДИАБАТИЧНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ

Где величину G, характеризующую квадрупольную составляющую магнитного поля, полагаем постоянной. Движение заряженных частиц удобно исследовать в «естест­венных» координатах, определяемых таким образом, чтобы координатные поверхно­сти совпадали с магнитными. Потребуем также, чтобы в пределе однородного маг­нитного поля (V"жg=0) координатные поверхности совпадали с координатными поверхностями цилиндрической системы координат. Для таких координат получаем следующие выражения [11]:

А=(г2/2) V' (z) (sin2 0 exp (C(Z)) + cos2 0 ехр(-с(г))). P=arctg(exp (c(z)) tg0.

X

Где с (2)— 2G J DzfV'(Z). Третью координату tj удобно определить равенством

0

B*V(Т|) = Ф(г) [6].

В новых переменных гамильтониан иона принимает вид

Я*(1/2т){(Уо)2ра2+2(Уо. Ур)ра(рр-(вВ0/с)о) + (УР)2(рр-(<?Во/с)о)2+(Ул),Рл2},

Где (Va)2^2ar(chc-cos2&shc), Va-Vp*7' sin 20 sh с, (Vfl)2* (V72a) (ch c+ +cos2(Jshc), (Vi))t=B1/Bo2Vtz. Последнее равенство следует из соотношения В= — УФ. используя которое, также находим

В»В,<*"+ <a/4V'*)[ (4?*+3V"*-2K"'Г) (ch с+соз 2? sh с) -8GV" (sh c+cos 2p ch c) ]}. Чтобы отделить ларморовское вращение от дрейфового движения, произведем

То же каноническое преобразование, что и в разд. 2 настоящей работы, заменив при этом £2/2—а, Рг+12ара, 0-*{J, ре-*рр. В новых переменных имеем

1

Tf=<Di0V'(ch с—cos 2gishc)pi + — (BIB0V')2Pn2.

2 Т

Магнитный момент ц и фаза ларморовского вращения Q вводятся посредством еле* дующего канонического преобразования:

H=pi(ch с-cos 2qi sh с),

Q=arctg (ectGqt),

H=H0+h, Я0=й)<0цУ'(Л) + (1/2т)р|,2,

Л=(рл72/п)(р2ц)’МГ)-3-[(^-»-зГ'2_2Г"Г)(сЬ (c/2) sin «?+<?2) +

+sh (c/2) sin (<?-<?j))-8gV'(ch (c/2) sin (<?-?2)+sh (c/2) sin (<?+«2))]-

Последнее преобразование изменяет также продольный импульс. При этой в гамиль - тониане появляются малые слагаемые ~(Pr^.FmL)F(Q), где функции F(Q) содержат гармоники ~cos KQ, sin KQ с K^2. Для анализа сохранения адиабатического инва­рианта такие слагаемые несущественны, и мы их опустили.

Переход к каноническим переменным для продольного движения и выделение резонансных членов в возмущении H производится так же, как и в аксиально-сим­метричном случае. В результате получим

Оо

Л—(1/2) ^JhZnexv(I(Q-2Nq3 + Q2))+К. с. (П1.1)

П—О

Hm^hzn* (ReD+exp (-2ig2)lmD),

Где Hzn* - соответствующее выражение для симметричного поля (см. (2)), а

0=(1+(4|/3)х-х*/3)Г“1 (2-x/4i) [Я2(1+Л*(Я—1))/44 (Я—1) (Я+£2(Я—1)) ]*/4<, х=2GL/NiR, A={L/N) • (2/пйх0(Д-1)/ц)Ч

В аксиально-симметричном случае х=0, D=1 и А271=Л2«*.

При наличии асимметрии в гамильтониане H наряду со слагаемыми ~ехр {I(Q—2Nq3+Q2)) появляются слагаемые ~ехр (I{Q—2Nq3Qz)). Соответственно получаем две системы резонансов Q-2Nq3±Qz=0, где Q3~ (p/L)d>i, Q2~ (p/L)2©«.

На плоскости ji, P3 расстояние между резонансными кривыми с разными номерами П Намного превышает расщепление, вызванное аксиальной асимметрией. Поэтому на­личие асимметрии практически не влияет на условие «перекрытия резонансов». Оно выполняется, если I Hzn | превышает некоторое критическое значение. В Hzn можно выделить экспоненциальную часть с показателем ~L/р и предэкспоненту. Послед­няя весьма слабо (логарифмически) влияет на критическое значение р. Из (П1.1) следует, что параметр х, характеризующий аксиальную асимметрию системы, не входит в показатель экспоненты. Магнитная яма обеспечивается уже при х~1, по­этому для реальных систем с min-fi порядок предэкспоненты останется таким же, как в аксиально-симметричном случае. Эти соображения показывают, что аксиаль­ная асимметрия вблизи оси ловушки должна слабо влиять на критические значе­ния р. определенные выше. Действительно, в приосевой области ловушки с min-fi отличаются от простых пробочных ловушек лишь зависимостью В от поперечных координат, что не сказывается на анализе адиабатичности.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Учет столкновений. Выше была определена граница области неадиабатичности. в которой движение ионов в фазовом пространстве хаотическое - диффузионное, даже без случайных воздействий. В области адиабатичности резонансные частицы совершают регулярные осцилляции по фазовой плоскости. При этом существует опасность, что слабые случайные воздействия (кулоновские соударения) приведут к возникновению усиленной диффузии, аналогичной неоклассической.

Эту возможность проанализируем с помощью следующей системы уравнений, описывающей движение ионов вблизи л-го резонанса:

X-anSin QN,

Фп=Рп (X~X") (П2.1)

X»t=fc(0-

Здесь учтено, что возмущение H меняет питч-угол иона но не его энергию; впж *=**»,/ (2р |А (Я—1)v*), P„“2/>ifc(fl-l)v, Av, QnAKQi—2Nq3+Q2, где величина М опреде­лена в разд. 3 настоящей работы, fc (T) — случайная функция, 6-коррелированная во времени, посредством которой учитывается влияние кулоновских соударений '£(*1)£(*2)>вогб(Г1—12). Величина а* по порядку равна частоте кулоновских соуда­
рений. Случайные воздействия помимо изменения питч-угла приводят также к не­посредственному изменению резонансной фазы @п, однако это влияние оказывается слабым, и здесь не учтено.

Из (П2.1) находим следующее выражение для коэффициента диффузии по углу X в окрестности л-го резонанса:

К ТЕОРИИ АДИАБАТИЧНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ

О

Где Ксо» Q„ (х) - корреляционная функция

А’со. Q„ (X) — (1/2) (cos (Мх-Х»)т+<?п.

Qn. $t(x) - приращение фазы, обусловленное случайными воздействиями. В силу центральной предельной теоремы величина QnT(т) имеет нормальное распределе­ние, и следовательно, справедливо соотношение

А’со» <?п(т) = (1/2) cos фп(Х“Х»)т) ехР Dis(T)b

Где Dis (т) = (1/3)ря*о*т3 - дисперсия фазы Qn.

Для коэффициента диффузии Dn можно получить аналитические выражения в двух предельных случаях:

(П2.2)

(П2.3)

подпись: (п2.2)
(п2.3)
Dn * Г( 1/3)Gtr»2/(6Я„a)z/a, |x-Xn|ЯN о*

Dn * 2аN2a2/(Яn*(x-X")4), ІХ”ЗС»ІР» > <**•

Коэффициент диффузии определяемый выражениями (П2.2), (П2.3), явля­ется резко меняющейся функцией питч-угла х - Для нахождения усредненного (эф­фективного) коэффициента диффузии следует использовать формулу [10]

Xn+AX/t

К ТЕОРИИ АДИАБАТИЧНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ

Хд-Дх/t

Откуда получаем

подпись: откуда получаем

(П2.4)

подпись: (п2.4)0Ef~2Ean*o7(Яn2(Ax)4).

Нас интересует режим, в котором соседние резонансы ве «перекрываются» ((МАх)2^®«* ?». - расстояние между резонансами). В этом режиме, как следует из (П2.4), добавочная диффузия всегда меньше чисто столкновительной О9п^ог~у.

Отметим, что выражение (П2.2) справедливо лишь при о4/,Рп1/,3*<Хп когда столк­новения препятствуют «захвату» частиц при значениях х**Хп - Однако поскольку соответствующая область имеет малый размер, а коэффициент диффузии здесь рез­ко возрастает, она не влияет на величину Лвгг, в этой области оказывается несуще­ственным, ср. с [101.

Осцилляции адиабатического инварианта резонансных частиц могут оказаться существенными в том случае, когда динамика ионной функции распределения опре­деляется столкновениями с электронами. При уменьшении И из-за трения ион пере­секает резонансные кривые на рис. 1. В окрестности п-го резонанса ион испытывает скачкообразное приращение питч-угла х - Изменения х зависят от фазы Qn, значе­ния которой в окрестности соседних резонансов нескоррелированы. Поэтому измене­ния х будут иметь диффузионный характер. Рассматриваемое явление описывается системой уравнений (ср. с. (П2.1))

(П2.5)

подпись: (п2.5)X=on sin QN, Qn=P/M,

К ТЕОРИИ АДИАБАТИЧНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ

Здесь последнее уравнение учитывает замедление ионов на электронах с характер­ным временем V.“*. В нем не учтено действие секулярного возмущения, а в уравне­нии для - действие трения. Это справедливо при р/L» (ve/(i>i)Vi и »(г/L) exp (-CL/Р), С - константа порядка единицы.

Из (П2.5) находим скачок Ах при прохождении резонанса

Поскольку расстояние между резонансами &Pi**Pip/L ион проходит за время AЈ»p/(Lv,), то коэффициент диффузии по питч-углу равен

D*>4AnLM/(Npip)~ (to^/pL) exp (-2СХ/р)«шіп {VetL/(IО, р); w, (p/L)3}.

Если (R/L) exp {—CL/P), то правую часть последнего уравнения в (П2.5) не­

Обходимо дополнить резонансным слагаемым Л2п cos Qn- В этом случае скачок Ах ра -

D»an[67]LeM/(hinp)~ (ver/p) exp (-CL/p) <vep/L.

Рассматриваемый механизм рассеяния по питч-углу может оказаться более су­щественным, чем классический, обусловленный ион-ионными соударениями при до­статочно больших значениях ve и р.

В заключение заметим, что в аксиально-асимметричных системах кулоновские столкновения могут приводить к радиальной диффузии резонансных частиц. Одна­ко рассмотрение показывает, что в простых адиабатических ловушках этот механизм диффузии, родственный неоклассическому, будет незаметен на фоне более быстрого ухода через пробки.

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

О ДИСПЕРСИОННОМ СООТНОШЕНИИ КОЛЕБАНИЙ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЫ (Методическая заметка)

ОБРАЗОВАНИЕ ГОРЯЧИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ ПРИ ЭЦР НАГРЕВЕ С ПРОДОЛЬНЫМ ВВОДОМ СВЧ МОЩНОСТИ

Приведены результаты экспериментального изучения популяции го­рячих ллехтронов. образующейся при ЛДР нагреве плазмы в установке О ГР А-*. Разработана теоретическая модель, согласованным образом опи­сывающая динамику горячих электронов и распространение электромаг­нитных колебании …

О ВЧ СТАБИЛИЗАЦИИ ЖЕЛОБКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Взаимодействие низкочастотных желобковых колебании и высоко­частотных учитывается через изменение частоты и)вч при развитии же­лобковых возмущений. В силу постоянства адиабатического инвариан­та ВЧ колебаний И'вч/швч вариации (оВч вызывают изменения 1Увч. Учет этого …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.