Физическая оптика

Световое давление

Импульс световой волны. Измерение светового давления. Опыты Лебедева.

Световое давление на классический атом. Момент импульса световой волны.

Фотон. Оптическое охлаждение.

Вводятся понятия импульса и момента импульса световой волны. Устана­вливается связь между энергией и импульсом света. Обсуждаются проблемы измерения и использования светового давления.

Импульс световой волны. Из теории Максвелла следует, что световая волна несет не только энергию, но и импульс. В плоской монохроматической волне объемная плотность импульса есть

G = //с2, (4.1)

где I — интенсивность, с — скорость света. В соответствии с законами механи­ки на поглощающие, отражающие и преломляющие свет тела действуют силы, называемые силами светового давления. Световое давление на полностью по­глощающее свет тело

V = I/с = w, (4.2)

где w — объемная плотность энергии поля, усредненная по периоду световых колебаний. Если тело частично отражает свет, причем коэффициент отражения равен R, то в силу закона сохранения импульса

Г = ( 1 + R)I/c. (4.2а)

В частности, световое давление на полностью отражающее тело, для которого

R = 1, вдвое превышает давление на поглощающее тело, для которого R = 0.

В этом смысле давление света на зеркало аналогично давлению газа на стенку сосуда. Последнее, как известно, объясняется тем, что, сталкиваясь со стенкой, молекулы газа передают ей импульс.

Как правило, силы светового давления весьма малы. В лазерных пучках, однако, они могут быть значительны, что позволяет использовать световое давление для управления движением микрочастиц (см. дополнение 3). Световое давление на атом способно затормозить его тепловое движение; этот эффект используют для получения сверхнизких температур. В принципе, на основе светового давления можно создать двигатель, в котором в качестве реактивной струи используется мощный пучок света.

Существование светового давления представлялось совершенно естествен­ным сторонникам корпускулярной теории света: корпускулы должны нести количество движения, которое передается находящимся на их пути телам. Еще в 1619 г. Кеплер, исходя из представлений о солнечном свете как о потоке кор­пускул, объяснил искривление хвостов комет давлением солнечного излучения. С точки зрения волновой теории возникновение отличных от нуля постоянных сил в быстропеременном волновом поле не кажется столь очевидным. Тем не

менее почти сразу после установления электромагнитной природы света Макс­велл вычислил величину светового давления на поверхность поглощающих и отражающих свет тел.

Механизм светового давления можно объяснить следующим образом. Пред­положим, что на поверхность некоторого тела падает по нормали плоская мо­нохроматическая световая волна типа “ЕХ, НУ”, т. е. волна, в которой вектор электрического поля совершает колебания вдоль оси х, а вектор напряженно­сти магнитного поля колеблется вдоль оси у (рис. 4.1). Под действием элек­трического поля волны элементарные заряды тела будут совершать колебания вдоль оси х. При этом со стороны магнитного поля волны на них действует сила Лоренца

Рл = - с [д, я] , (4.3)

направленная вдоль оси z, т. е. по ходу световой волны и по нормали к поверх­ности тела. Это и есть элементарная сила светового давления.

Вычислим световое давление, предполагая, что свет полностью поглощается телом. Для этого воспользуемся уравнениями Максвелла

- 1 дН - 1 дЁ 4тг,

votE =---------------------------------------- —, rot Я = - — 4 j. (4.4)

с dt с at с

Здесь j — плотность тока, которая может быть записана в виде

j = nev, (4.5)

где е и v — заряд и скорость электрона, п — число электронов в кубическом сантиметре объема. В соответствии с формулой (4.3) на электроны, находящи­еся в единице объема среды, действует сила

g

/ = пРл - n-vH, с

направленная вдоль оси z. Используя формулу (4.5), эту силу можно записать В виде ' ..

f = (4.6)

Теперь искомое световое давление есть

ОО

TOC o "1-5" h z = / fdz, (4.7)

о

где знак “ ~ ” обозначает усреднение по периоду световых колебаний.

Для плоской монохроматической световой волны с компонентами поля

,w Ех = Acos(ujt — kz), Ну — A cos(u;f — kz) (4.8)

из уравнений (4.4) получаем

тг 8Е± = _1дНу ЭНу _ _1дЕх _4тг. ,.q.

dz с dt ' dz с dt с^х'

Умножим первое из уравнений (4.9) на Ех, второе — на Ну и сложим. Тогда получим уравнение

где

w=±(El + Hfr (4.11)

w — объемная плотность энергии светового поля, а сила / определяется фор­мулой

/ = іхНу. (4.12)

Теперь усредним уравнение (4.10) по периоду световых колебаний Т = 2ж/и).

Принимая во внимание, что

я,) = °,

получим

І—7- <413>

Наконец, подставив (4.13) в (4.7), получим для светового давления формулу

V = w, (4.14)

которая совпадает с (4.2). Далее, записав световое давление в виде V = F/S, где F — сила давления, 5 — площадь поперечного сечения светового пучка, используя второй закон Ньютона, согласно которому F = dp/dt и вводя объ­емную плотность импульса световой волны G с помощью формулы dp = GdV, где dV = Scdt, с — скорость света, приходим к формуле (4.1). Этот результат получил Максвелл в 1873 г.

В 1879 г. Бартоли вычислил световое давление, основываясь на термоди­намических соображениях. Лебедев в своей статье, подводящей итог экспери­ментов по измерению светового давления, излагает соображения Бартоли сле­дующим образом: “Бартоли исходит из известного основного факта, который в теории тепла называется вторым принципом термодинамики — именно, что невозможно без затраты работы перевести тепловую энергию с более холод­ного тела на более теплое. Бартоли указал на то, что всякое тело испускает лучи и что, в принципе, вполне возможно построить машину, состоящую из по­лого абсолютно зеркального цилиндра с перемещающимся в нем зеркальным поршнем; при помощи этой машины мы могли бы, выдвигая поршень, всасы­вать в цилиндр лучистую энергию холодного тела, потом, перенеся цилиндр к теплому телу, переводить в это последнее лучистую энергию, вдвигая поршень подобно тому, как при помощи садового насоса мы можем всасывать воду и выпрыскивать ее на значительную высоту. Хотя практическому выполнению такой машины и представляются огромные трудности, тем не менее принципи­ально возможность ее выполнения вполне обеспечена, поэтому Бартоли заклю­чил, что второй принцип термодинамики только в том случае не будет нарушен, если переведение лучистой энергии из холодного тела в более теплое тело будет происходить с затратой работы. Другими словами, перемещение поршня долж­но преодолевать некоторую силу, обусловленную давлением лучей на поршень. Таким образом, Максвелл и Бартоли пришли к одинаковому утверждению, что световые лучи давят на те тела, на которые они падают”.

Измерение светового давления. Опыты Лебедева. Оценки с помощью формулы (4.2а) показывают, что световое давление весьма мало. Так, давле­ние солнечного света с интенсивностью I = 0,1 Вт/см[5] на зеркало (R = 1) составляет V = 21 /с « 10-4 дин/см2. Поэтому регистрация светового давления с нелазерными источниками света оказывается довольно трудной эксперимен­тальной задачей. Световое давление маскируется различными сопутствующи­ми эффектами, главным из них оказывается световой нагрев пробного тела.

Первое корректное измерение светового давления было выполнено русским физиком П. Н. Лебедевым в 1898 г. В его опытах (рис. 4.2) свет дуговой лампы направлялся с помощью оптической системы на легкое крылышко из плати­новой фольги. Крылышко было подвешено на упругой нити в откачанном со­суде. Угловое отклонение крылышка светом можно было измерить, а энергию падающего светового пучка вычислить по результатам калориметрических из­мерений. Основная трудность опыта была связана с тем, что световое давление маскируется радиометрическими силами и воздействием на крылышко конвек­тивных потоков газа. Появление радиометрических сил обусловлено тем, что молекулы газа, сталкивающиеся с нагретой поверхностью крылышка, приобре­тают дополнительную скорость. В результате возникает избыточное давление на нагретую поверхность. Чтобы исключить радиометрические силы, Лебедев использовал максимально тонкую фольгу (толщиной около 0,02 мм) с тем, что­бы температура обеих поверхностей крылышка быстро выравнивалась за счет теплопроводности. Кроме того, радиометрические силы можно уменьшить, по­нижая давление воздуха в сосуде. Для исключения конвекции Лебедев охла­ждал свой прибор и использовал подвижную систему зеркал, позволяющую направлять свет на обе поверхности крылышек. Полученные результаты Лебе­дев сформулировал следующим образом:

1. “Падающий пучок света производит давление как на поглощающие, так и на отражающие поверхности; эти пондеромоторные силы не связаны с уже известными конвекционными и радиометрическими силами, вызыва­емыми нагреванием.

0,10 мм

Рис. 4.2. Схема опыта Лебедева по измерению светового давления

3. Наблюдаемые силы давления света в пределах погрешностей наблюдений количественно равны максвелло-бартолиевым силам давления лучистой энергии.

Таким образом, существование максвелло-бартолиевых сил давления опыт­ным путем установлено для лучей света.”

Световое давление на классический атом. Световое давление можно использовать для управления движением атомов или молекул. Оценим давле­ние света на атом, используя классическую модель атома. Будем считать, что внешний (“оптический”) электрон, имеющий заряд е и массу ш, удерживает­ся вблизи положительно заряженного ядра электростатическими силами. При смещении электрона на расстояние х относительно ядра возникает квазиупру - гая кулоновская сила FB = —ах, стремящаяся вернуть электрон в положение равновесия. Уравнение движения электрона имеет вид

х+ Гх + ljqX =—F(t), (4-15)

m

где ш0 = /а/т — собственная частота колебаний электрона в атоме, Г — па­раметр, описывающий затухание колебаний, F(t) — внешняя сила. Уравнение (4.15) представляет собой хорошо известное из механики уравнение осциллято­ра; следует заметить, что и в оптике модель осциллятора — одна из наиболее важных.

Расчет светового давления на атом проведем в два этапа. Сначала рассчи­таем поведение осциллятора в электрическом поле световой волны, а затем определим силу Лоренца, связанную с воздействием магнитного поля волны.

Пусть на атом воздействует гармоническая световая волна с компонентами поля ЕХ, НУ, где

Ех = ^Аехр(гсЛ) + к. с., (4.16)

Ну = ^Аехр(го>£) + к. с. (4-17)

Пренебрегая сначала действием магнитного поля, положим

F = еЕх. (4.18)

Тогда уравнение (4.15) приобретает вид

х+ Гх+ и>2х =—Ех. (4-19)

т

Решение уравнения (4.19) ищем в виде

x(t) — ^xexp(iwt) + к. с. (4.20)

Подставив (4.16) и (4.20) в (4.19), найдем

Х тш1~и>2 + ш Г' ^4‘21)

Итак, движение электрона под действием электрического поля волны описы­вается формулами (4.20), (4.21).

Теперь вычислим силу Лоренца, действующую на электрон со стороны маг­нитного поля световой волны. Полагая v = xqx, Н = уоНу, получим

F„ = - IV,#1 = zo-xHy, (4.22)

с L J с

где хо, уо, z0 — орты декартовой системы координат, х = dx/dt. Сила светового давления есть сила Лоренца, усредненная по периоду световых колебаний:

Fa = F„. (4.23)

Подставив (4.17), (4.20) в (4.22) и выполнив усреднение по периоду Т = 2тт/ш, получим

р = So-iu(xA* - х*А) (4.24)

с 4

(здесь и далее звездочка обозначает комплексное сопряжение) или, с учетом

(4.21),

е2 ш2Г

Ря = Zo2^|А|2 (д2 - ш2)2 + а;2Г2' (4'[6]

Итак, формула (4.25) определяет силу светового давления на классический атом. Полученный результат удобно представить в виде

ЁД = z0Va, (4.26)

где z0 — единичный вектор направления распространения световой волны, V = 1/с — световое давление, I = с|Л|2/87г — интенсивность света,

_ 4тге2 ш2Т. .

а me (tjg — а;2)2 + ш2Г2 ’

о — сечение поглощения света атомом (см. лекцию 7). Заметим, что давле­ние света на атом имеет резонансный характер: оно максимально, когда часто­та света совпадает с собственной частотой колебаний электрона в атоме, т. е. ш = и о - В этом случае

П — Птах = 47ТЄ2/(тсГ). (4-28)

Сделаем численную оценку. Время радиационного затухания колебаний опти­ческого осциллятора можно оценить как т = 10-8 с (см. лекцию 5). При этом

Г = 1/т = 108 с-1 и оценка по формуле (4.28) дает сгтах = 10~9 см2. Получен­

ная оценка примерно соответствует параметрам перехода 3s(2Si/2) —> Зр(2Рз/г) атома натрия, для которого т = 1,6 х 10-8 с, о = 1,6 х 10~9 см2.

Момент импульса световой волны. Под действием электрического по­ля циркулярно поляризованной световой волны заряженные частицы вещества должны совершать вращательное движение. Отсюда следует, что свет облада­ет моментом импульса. Вычислим момент импульса поляризованной по кругу световой волны на примере взаимодействия с классическим осциллятором. Пусть электрическое поле световой волны есть

Ё - х0Ех + уоЕу, (4.29)

где

Ех — ^:iA ехр(гоД) + к. с., Еу = ^.Аехр(гиД) + к. с. (4.30)

Уравнение колебаний элементарного оптического осциллятора запишем в виде * Т?+ш1г = — Ё, (4.31)

-%• - а.-,.. м.?і - пі

где е и m — заряд и масса электрона, — собственная частота колебаний ос- шллятора, Г — коэффициент затухания колебаний. Решение уравнения (4.31) ищем в виде

;ц - г = х0х + у0у, (4.32)

где

x{t) = itaexp(iwi) + к. с., y(t) = iaexp(*u;i) + к. с. (4.33)

2і 2

Подставив (4.29), (4.30), (4.32), (4.33) в (4.31), получим

е А т и>$ — ш2 + гшТ'

Формулы (4.32)-(4.34) показывают, что в поле циркулярно поляризованной све­товой волны оптический электрон элементарного осциллятора вращается по окружности. Мощность, передаваемая светом электрону, есть

dW/dt = еЁт = е(Ехх + Еуу). (4.35)

Одновременно свет передает электрону момент импульса, причем скорость это­го процесса есть

djtf/dt = е [г, jjj = z0e{xEy - уЕх). (4.36)

Здесь использована известная из механики теорема моментов, согласно кото­рой скорость изменения момента импульса системы равна моменту внешних сил. Подставим (4.30), (4.33) в (4.35), (4.36) и выполним усреднение по периоду световых колебаний. Получим

{dN/dt) = Sb(l /u)(dW/dt). (4.37)

Отсюда заключаем, что в циркулярно поляризованной световой волне момент импульса N и энергия W, усредненные по периоду световых колебаний, связаны соотношением

N = zoW/u, (4.38)

где ш — частота света, zo — единичный вектор направления распространения волны.

Формула (4.38) дает искомую величину момента импульса световой вол­ны, поляризованной по кругу. Сделаем численную оценку. Световой импульс с энергией W = 1 Дж на длине волны Л = 0,5 мкм, имеющий круговую поляри­зацию, несет момент количества движения

N - W/ш = W/2i:c = 2,5 х 10_9эрг - с.

Момент импульса света можно определить экспериментально, измерив момент силы, действующий на пластинку из анизотропного кристалла при прохожде­нии через нее пучка поляризованного света. Так, четвертьволновая пластинка преобразует линейно поляризованный свет в свет с круговой поляризацией и наоборот (см. лекцию 2 и ч. IV). При таком преобразовании момент импуль­са света полностью передается пластинке, поскольку линейно поляризованный свет не обладает моментом импульса. Следовательно, на пластинку будет дей­ствовать момент силы

М = Р/ш = РА/2ТГС, (4.39)

где Р — мощность света. Например, при Р = 100 Вт, Л = 0,5 мкм получим М = 2,5 х 10-7 дин-см. Эта оценка показывает, что измерение момента импуль­са света представляет собой весьма трудную задачу. Успешные опыты были проделаны с кварцевыми пластинками, после прохождения которых свет ме­нял направление вращения вектора Е на противоположное.

Измерение момента импульса света. Впервые идею о том, что циркулярно поляризованный свет должен обладать моментом импульса, вы­сказал в 1897 г. профессор университета в Тарту А. И. Садовский. Он же пред­ложил способ измерения момента импульса света, основанный на пропускании светового пучка через анизотропную кристаллическую пластинку. “... всякий аппарат, перерабатывающий плоско поляризованный свет в поляризованный по кругу, должен стремиться придти во вращение...” — отмечал Садовский в своей работе [5]. В 1935-1936 гг. Холборн в Англии [16] и Бет в США [17] экспериментально доказали существование момента импульса у циркулярно поляризованного света. В опытах Бета циркулярно поляризованная волна два­жды пропускалась через полуволновую пластинку из кварца. Пластинка могла поворачиваться вокруг оси светового пучка. Оказалось, что пластинка приобре­тает момент импульса, пропорциональный энергии прошедшего через нее света. Эти чрезвычайно тонкие опыты не только подтвердили гипотезу Садовского, но и позволили с точностью около 10% определить величину постоянной Планка.

Фотон. Физические исследования, о которых будет рассказано ниже (см. лекцию 9), привели к представлению о том, что в некоторых отношениях свет проявляет себя как поток частиц — фотонов. Фотон представляет собой эле­ментарную неделимую порцию света с энергией, определяемой формулой План­ка

W = hu, (4.40)

где и> — частота света,

Ь. = 1,05 х 10_27эрг • с, (4.41)

h — постоянная Планка. Полученные выше соотношения между энергией, им­пульсом и моментом импульса света позволяют вычислить импульс и момент импульса фотона.

Объемную плотность энергии в световой волне можно представить в виде

TOC o "1-5" h z dW/dV = 1/с, (4.42

где I — интенсивность, с — скорость света (см. лекцию 3). Из формулы (4.42 ■ и формулы (4.1), определяющей объемную плотность импульса G = dp/d . следует, что энергия W и импульс р света связаны между собой соотношение? •

W = ре. (4.43

Подставив (4.43) в (4.40), получим следующее выражение для импульса фот( > на: ч. ,

р = Тік, (4.4 I:

где к = ш/с — волновое число. Из выражения

W = Nu, (4.45)

связывающего между собой энергию и момент импульса циркулярно поляризо­ванного света, определим момент импульса фотона. Подставив (4.45) в (4.40), получим

N = ft. (4.46)

Таким образом, момент импульса фотона оказывается равным постоянной Планка.

Понятие фотона может быть введено и в теории относительности. В этой теории импульс р и энергия W материальной точки определяются формулами

Я™ тх7 тс2 7,,

Р ~ у/1 - V*/с[7] ’ “ х/1-vVc2’

где m — масса частицы, v— ее скорость, с — скорость света. Из формул (4.47) следует, что

рс2 = гГИ^, W2 = р2 с2 + тп2с[8]. (4.48)

Полагая здесь т = 0, получим

W = рс, v = с. (4.49)

Таким образом, из теории относительности вытекает возможность существо­вания частиц с нулевой массой, имеющих скорость, равную скорости света, в любой инерциальной системе отсчета, а также энергию и импульс, связанные между собой соотношением (4.43). Такие частицы можно назвать фотонами.

Фотонный двигатель. Оценим силу тяги двигателя, в котором в ка­честве реактивной струи используется мощный пучок света. Согласно второму закону Ньютона, сила равна производной импульса по времени: F = р. Диф­ференцируя формулу (4.43) и учитывая, что производная энергии по времени есть мощность, получим

F = Р/с, (4.50)

где Р — мощность светового пучка, с — скорость света. Формула (4.50) показы­вает, что для создания значительной силы тяги нужна колоссальная мощность света. Так, полагая F = 1 Н, получим Р = 3 х 10[9] Вт. В теории относитель­ности мерой энергии покоя тела является его масса: Wo = тс2. Представим себе идеальный фотонный двигатель, в котором горючее целиком превраща­ется в свет. В этом случае для силы тяги получим выражение F = рс, где р = т — скорость расхода массы. Например, полагая р = 1 г/с, получим F = 3 х КЗ[10] дин = 30 т. Таким образом, принципиально возможен фотонный двигатель с большой силой тяги.

Оптическое охлаждение. Импульс, передаваемый атому при поглощении света, способен затормозить его тепловое движение. Этот эффект используют для оптического охлаждения вещества. Схема оптического охлаждения показа­на на рис. 4.3. Лазерный луч, частота которого настроена в резонанс с атомным переходом, направлен навстречу пучку атомов (рис. 4.3,а). Атомы поглощают лазерный свет и переизлучают его во всевозможных направлениях (рис. 4.3, б).

Суммарный импульс света, излученного атомом, равен нулю, так как все напра­вления испускания фотонов равновероятны. Вместе с тем суммарный импульс поглощенного света отличен от нуля, так как в падающем на атом лазерном пучке все фотоны имеют одно и то же направление движения. В итоге проис­ходит торможение атомов лазерным светом и понижение их температуры.

Эксперименты показывают что оптическое охлаждение позволяет достичь сверхнизких температур порядка 10-5 К. В таком состоянии атомы проявляют совершенно необычные свойства. Например, они могут образовывать упорядо­ченные кристаллоподобные структуры в макроскопическом масштабе [12]. Бы­стро прогрессирующие оптические методы локализации и охлаждения атомных частиц позволяют проводить прецизионные спектроскопические измерения, со­здавать сверхточные оптические стандарты частоты, изучать фундаменталь­ные свойства отдельных атомов и ионов.