Физическая оптика

Энергия света

Поток энергии в световой волне. Интенсивность света. Световые пучки и импульсы: энергия, мощность, интенсивность. Концентрация световой энергии во времени и в пространстве. Основные понятия фотометрии.

Способность переносить энергию — одно из основных свойств света. В лек­ции показано, как возникает понятие энергии света в теории Максвелла. Обсу­ждаются предельные возможности концентрации световой энергии во времени и в пространстве. Приводятся численные оценки.

Поток энергии в световой волне. Интенсивность света. Представле­ние об энергии светового поля непосредственно вытекает из уравнений Макс­велла. Рассмотрим сначала наводящие соображения, относящиеся к плоской световой волне, а затем обобщим результат на случай светового поля общего вида.

Пусть плоская световая волна распространяется вдоль оси 2 и имеет ком­поненты поля Ex(z, t) и Hy(z, t). Согласно формулам (2.1) в этом случае

1 дЕх _ дНу 1 дНу _ дЕх

TOC o "1-5" h z с dt dz ’ с dt dz

Умножим первое из этих уравнений на Ех, второе — на Ну и сложим. Получим соотношение

о-

1 (р ^х і 11 &Ну / dHy dEx. .

;1Е*_вГ + н»_вГ)-'Г‘'в7 + я»'э71' (зл)

Введем объемную плотность энергии ПОЛЯ

w = ~(E2x + H2v). (3.2)

87Г

Тогда соотношение (3.1) можно представить в виде

(3.3)

dw _ _dS dt dz ’

где

S = -£-ExHy. (3.4)

47Г

Выясним физический смысл параметра S. Для этого рассмотрим световое поле в некоторой ограниченной области пространства. Пусть это будет прямоугольный параллелепипед высотой z с площадью основания а, расположенный как показано на рис. 3.1. Интегрируя равенство (3.3) по объему параллелепипеда, получим

W

Рис. 3.1. К выводу закона сохранения энергии для световой волны

= J wdV, (3.6)

W — энергия светового поля, находящегося внутри параллелепипеда, V — объем параллелепипеда. Поскольку мы рассматриваем поле в вакууме, изме­нение энергии поля в некотором объеме может быть вызвано только потоком энергии через его границы. Следовательно, величина S в формуле (3.5) имеет смысл потока энергии света. Кале видно из формулы (3.3), размерность S есть эрг/(см2-с).

Для монохроматической плоской волны равенство (3.5) имеет тривиальный смысл, так как в этом случае S(t, z) = S(t, 0) и W = const. Однако для немо­нохроматической волны, в частности, светового импульса, производная dW/dt может быть отлична от нуля, так как световой импульс пересекает границы параллелепипеда в разные моменты времени.

Итак, формулу (3.3) можно интерпретировать как закон сохранения энергии для плоской световой волны в вакууме. Теперь обобщим этот закон на случай произвольного светового поля, взаимодействующего с заряженными частица­ми. Будем исходить из уравнений Максвелла

- 1 дН ~ 1ЭЁ Аж-t

TOC o "1-5" h z iotE =----------------------------------------- —, rotH = (3.7)

с at с at с

где j — плотность тока, создаваемого движением зарядов. Умножим первое уравнение скалярно на Я, а второе — на Я и вычтем одно уравнение из другого. Получим

- (е^ + Н^ +— зЁ = ErotH - HvotE. (3.8)

с V от at I с

Пользуясь формулой векторного анализа

div [я, я] =НгоЬЁ-ЁгоЪН, (3.9)

соотношение (3.8) можно переписать в виде

(3.10)

Рис. 3.2. К выводу закона сохранения энергии для системы заряженных частиц в электромагнитном поле

где

«I = ^[Е‘ + Я2), (3.11)

87Г

w — объемная плотность энергии ПОЛЯ,

[Й,#], (3.12)

S — вектор потока энергии, или вектор Пойнтинга.

dW

dt

Проинтегрируем уравнение (3.10) по некоторому объему V. Получим

+ J jEdV = - j div SdV, (3.13)

где W — полная энергия электромагнитного поля в объеме V, определяемая формулой (З. б). Предполагая, что электрические заряды представляют собой материальные точки, заменим интеграл в левой части уравнения (3.13) суммой по отдельным зарядам

I jEdV = ^2 ЄіщЕ, (3.14)

v ‘

где Vi — скорость заряда е,, суммирование ведется по всем зарядам, находя­щимся в объеме V. Интеграл в правой части уравнения (3.13) преобразуем, используя теорему Гаусса

J div SdV = j Stndcr, (3.15)

v s

где ln — единичный вектор нормали к элементу da поверхности Е, ограничи­вающей объем V (рис. 3.2).

Используя уравнение движения заряда = єіЕ, нетрудно показать, что

где

K = Yllmivi’ (317)

К — кинетическая энергия системы зарядов. Таким образом, приходим к урав­нению

~(1У + К) — - J Slndrr, (3.18)

£

которое показывает, что скорость изменения энергии электромагнитного поля и кинетической энергии системы зарядов в некотором объеме равна потоку энергии поля через поверхность этого объема.

Используя формулы (2.37), для плоской монохроматической волны можно записать

. - Е2п = —Н п. 4ж 4к

Отсюда с учетом формулы (3.11) получаем

S = cwn, S = сш, (3.19)

где п — единичный вектор направления распространения волны. Таким обра­зом, световая энергия перемещается в направлении распространения плоской волны. Скорость переноса энергии световой волной, распространяющейся в ва­кууме, равна с.

Интенсивность света. Рассмотрим плоскую гармоническую световую волну с компонентами

Ех = Acos(ujt — kz), Ну = Acos(ut - kz). (3.20)

В этом случае модуль вектора Пойнтинга

S = —И2 cos2(u>t - kz) = —А2 + —И2 cos[2(w£ - kz)}. (3.21)

47Г о7Г 07Г v

Видно, что поток энергии в световой волне содержит две составляющие: по­стоянную и осциллирующую во времени и в пространстве. В оптике частоты электромагнитных колебаний составляют около 1015 Гц. Измерительные при­боры не способны отслеживать столь быстрые изменения, поэтому на практике может быть измерен лишь средний за период световых колебаний поток энер­гии

т

I = S = - J Sdt, Т = 2тт/ш. (3.22)

о

Эта величина называется интенсивностью световой волны.

Выражение для интенсивности через напряженность электрического поля

Е волны имеет вид

где

Т

(3.24)

E2 = fJ E2(lt -

о

(3.25)

Используя данное определение, нетрудно вывести соотношения, связывающие интенсивность с действительной амплитудой А и комплексной амплитудой £ волны. Полагая

Е = Acos(wt — kz),

или

(3.26)

получим соответственно

(3.27)

И ЛII

(3.28)

Данные формулы применимы для плоской монохроматической волны в ваку­ум Обобщение на случай волны, распространяющейся в среде, дано в ч. IV. Размерность интенсивности, как и потока энергии, есть эрг/(см2-с). Наряду с гад е совой единицей измерения, используется также внесистемная единица из­мерения интенсивности Вт/см2 = 107 эрг/(см2-с).

Световые пучки и импульсы: энергия, мощность, интенсивность. В

(3.29)

отличие от плоской волны, реальный световой пучок имеет конечный попе­речный размер. Как показано в лекции 1, пучок можно описать квазиплоской волной, амплитуда которой зависит от координат в плоскости перпендикуляр­ной направлению распространения:

Е = А(х, у) cos{ut — kz).

(3.30)

Аналогичным образом поле светового импульса можно описать квазиплоской квазигармонической волной, амплитуда ко? орой зависит не только от коорди­нат, но и от времени:

Е = А(х у, i) cos(wjt — kz).

Энергетику световых пучков и импу льсов характеризуют понятиями интенсив­ности света, полной мощности пучка и полной энергии импульса. Выражения для интенсивности света в моделях квазиплоской волны и квазиплоской квази­гармонической волны получим, подставив выражения (3.29), (3.30) в формулу (3.23). При этом оказывается, что интенсивность света в пучке зависит от ко­ординат в плоскости поперечного сечения:

(3.31)

Пх, у) = т~а2(х>у)-

Интенсивность импульсного излучения зависит, кроме того, и от времени:

(3.32)

оо

Полная мощность светового пучка определяется как интеграл от интенсивности по поперечному сечению пучка:

(3.33)

ОО

Аналогичным образом полная энергия импульса есть

(3.34)

Например, для осесимметричного гауссова пучка с распределением интенсив­ности

(3.35)

1{г) = /о ехр( Г^/Tq)

оо

о

полная мощность есть

(3.36)

где Iq — интенсивность в центре пучка, го — его радиус.

Для измерения энергетических характеристик света используют его тепло­вое действие, а также явление фотоэффекта. Располагая измерительной аппа­ратурой с достаточным временным и пространственным разрешением, можно измерить поперечные распределения интенсивности непрерывного 1(х, у) и им­пульсного I(x, y,t) излучений.

Для оценок удобно использовать такие параметры как эффективная ин­тенсивность света /эф, эффективная мощность импульса Рэф, эффективная напряженность электрического поля световой волны Еэф. Эффективная ин­тенсивность непрерывного излучения определяется как отношение мощности пучка к площади его поперечного сечения

(3.37)

и Ф = P/S.

Для светового импульса

(3.38)

Рэф = W/t, /эф = W/(tS),

где W — энергия импульса, т — его длительность. Эффективная напряжен­ность светового поля определяется как

(3.39)

Рассмотрим несколько примеров.

Солнечный свет. Интенсивность солнечного света вблизи поверхности

Земли составляет около 0,1 Вт/см2. Радиус земной орбиты R = 1,5 х 108 км.

Отсюда можно определить полную мощность излучения Солнца. Она оказыва­ется равной Р = 4nR2I = 3 х 10 Вт.

Гелий-неоновый лазер. Это газовый лазер непрерывного действия, излучающий свет с длиной волны Л = 0,63 мкм. Типичная мощность излуче­ния составляет Р = 10-2 Вт. При радиусе пучка г = 0,2 см его эффективная интенсивность

h ф = Р/(пг2) = 0,1 Вт/см2. (3.40)

Это сравнительно небольшая интенсивность, она близка к интенсивности сол­нечного света на поверхности Земли. Относительно невелика и напряженность светового поля. Согласно (3.39) и (3.40)

Едф = 3 х 10_2СГСЭ = 9 В/см. (3.41)

Лазер на углекислом газе. Этот лазер генерирует инфракрасное из­лучение на длине волны А = 10,6 мкм. В непрерывном режиме мощность гене­рации составляет обычно Р — 10-100 Вт. В импульсном режиме лазер генери­рует импульсы с энергией W = 0,1 Дж при длительности импульса т = 10-7 с и обладает эффективной мощностью РЭф = Ю6 Вт.

Лазер на гранате с неодимом. Твердотельный лазер на кристалле алюмоиттриевого граната, активированного ионами неодима (YAG:Nd3+), из­лучает в ближнем инфракрасном диапазоне на длине волны А = 1,06 мкм. В непрерывном режиме с возбуждаемого излучением газоразрядной лампы ак­тивного элемента длиной 6-8 см и диаметром около 1 см удается получить мощность Р = 1-10 Вт. В импульсном режиме лазер генерирует импульс дли­тельностью т = 10_3 с с энергией W = 1 Дж (режим свободной генерации), при этом эффективная мощность излучения Рэф = 103 Вт. В режиме модули­рованной добротности лазер генерирует импульс длительностью Т = 10-8 с с энергией W = 0,1 Дж. Мощность такого (“гигантского”) импульса составляет Рэф = 107 Вт.

Концентрация световой энергии во времени и в пространстве. Из

формул (3.38), (3.39) видно, что при заданной энергии импульса мощность, ин­тенсивность и напряженность светового поля определяются поперечными раз­мерами пучка и длительностью импульса. Возникает вопрос: каковы предель­ные возможности концентрации световой энергии во времени и в пространстве?

Высокая монохроматичность и направленность лазерного излучения позво­ляют сконцентрировать его на очень малых пространственных и временных масштабах. Так, при фокусировке излучения мощностью Р = 10 Вт (ла­зер на гранате с неодимом) в пятно радиусом г = 10-2 см получим интен­сивность I = Р/тгг2 = 3 х Ю10 Вт/см2 и эффективную напряженность поля Е = 5 х 106 В/см.

В видимом диапазоне предельный диаметр фокального пятна имеет порядок длины световой волны (см. ч. III)

dmin « А и 0,5 х 10~4 см, (3.42)

а предельная длительность светового импульса определяется периодом коле­баний поля

(3.43)

Tmin ~ Т = 2г/ш » 2 х 10 15 с.

Переход к таким масштабам позволяет повысить интенсивность света при той же полной энергии еще на 8-10 порядков.

Устанавливаемые формулами (3.42), (3.43) фундаментальные пределы кон­центрации световой энергии уже достигнуты современной лазерной физикой. Интересные возможности, открывающиеся в связи с этим перед физической оптикой, мы обсудим в дальнейшем (см. ч. IV). Здесь же отметим только, что поистине к гигантским значениям интенсивности и напряженности светового поля приводит концентрация излучения мощных и сверхмощных лазерных си­стем. Так, на лазерных установках для управляемого термоядерного синтеза получены импульсы с энергией W = 104-105 Дж. При длительности т = 10-9 с такой импульс имеет мощность Р = 1013-1014 Вт. Фокусировка пучка позволяет достичь интенсивности I = 1017-1019 Вт/см2 и напряженности светового поля Е = Ю10 В/см, превышающей напряженность внутриатомного кулоновского поля

Еа = e/al = 5 х 109 В/см. (3.44)

Здесь е = 4,8 х 1(Г10 СГСЭ — заряд электрона, а0 — 0,5 х 10"8 см — боровский радиус.

Основные понятия фотометрии. Для описания света обычных (нела­зерных) источников используют фотометрические понятия и величины. К ним относятся: поток излучения, сила света, освещенность поверхности, энергети­ческая светимость поверхности, яркость источника света. В этом разделе даны определения указанных величин и рассмотрены примеры их использования.[4]

Поток излучения определяется как отношение энергии dW, переноси­мой светом через произвольную поверхность, к промежутку времени dt:

Ф = dW/dt.

Эта величина имеет размерность эрг е-1.

Сила света определяется как отношение потока излучения dФ к телес­ному углу dfi, в котором распространяется излучение:

I = dФ/dQ.

Размерность этой величины есть эрг-с_1-стерад-1.

Освещенность поверхности определяется как отношение потока излуче­ния dФ к площади dS облучаемого элемента поверхности:

є = dФ/dS.

Размерность освещенности есть эрг-с-1-см-2.

Энергетическая светимость поверхности определяется как отноше­ние потока излучения dФ к площади dSH элемента излучающей поверхности:

R = dФ/dSк.

Размерность светимости есть эрг-с_1-см~2.

Рис. 3.3. К расчету энергетических характеристик теплового излучения

Яркость источника света определяется как отношение силы света dl к площади проекции dS_ светящегося элемента поверхности на плоскость, пер­пендикулярную направлению наблюдения:

В = dl/dSjL,

где

dS_L = dSo cos в,

dSo — площадь элемента поверхности источника, в — угол между нормалью к светящейся поверхности и направлением на точку наблюдения. Размерность яркости есть эрг-с_1-стерад-1-см-2. Познакомимся с применением фотометри­ческих величин на конкретных примерах.

Излучательная способность тела и энергия теплового из­лучения. Рассмотрим в качестве примера энергетические характеристики теплового излучения. Пусть внутри нагретого тела имеется полость, заполнен­ная равновесным тепловым излучением (рис. 3.3). Не касаясь пока вопроса о спектральном составе излучения, найдем связь между энергетической свети­мостью стенок полости и объемной плотностью энергии излучения в полости.

Введем следующие обозначения: do — площадь элемента поверхности поло­сти, dP — мощность, излучаемая площадкой do во всех направлениях, dV — элемент объема полости, dW — энергия излучения в объеме dV,

р = dP/do, (3.45)

р — энергетическая светимость (излучательная способность) поверхности по­лости,

и = dW/dV, (3.46)

и — объемная плотность энергии излучения.

Запишем мощность излучения площадки do в направлении элемента объема dV в виде

(3.47)

dP(do, в, dfi) = В(в) cos 6do cffi,

Рис. 3.4. К вычислению объемной плотности энергии теплового излучения

где В (в) — яркость излучения, в — угол между нормалью к площадке da и направлением от da к dV, dft — телесный угол, под которым виден объем dV из центра площадки da (рис. 3.4). Данную формулу можно рассматривать как определение яркости В (в).

На рис. 3.4 показаны сферические координаты R, в, р элементарного объема dV относительно площадки da. Объем dV виден из центра площадки da под телесным углом

dS

(3.48)

dQ, = — = sin Odd dp. R1

В свою очередь, площадка da видна из центра объема dV под телесным углом

da± cos вda

do =

(3.49)

R2

R2

Используя (3.47), (3.48), полную мощность излучения dP площадки da (во всех направлениях) можно записать в виде

2я я/2

(3.50)

dP = da J dip J сШВ(в) cos в sin в.

Далее необходимо конкретизировать вид зависимости В (в). Для равновесного теплового излучения хорошо выполняется закон

В(в) — В = const, (3.51)

называемый законом Ламберта. Подставляя (3.51) в (3.50), получим

dP = irBda. (3.52)

Считая, что излучение поступает в объем dV со всех сторон равномерно, запи­шем

dW(dV, dt, da) = ^dW{dV, dt), (3.53)

47Г

где dW(dV, dt, da) — энергия, поступающая в объем dV за время dt со стороны площадки da, dW (dV, dt) — полная энергия, поступающая в объем dV за время dt (со всех сторон). Величины dW(dV, dt, da) и dP(da, в,dQ.) связаны между собою формулой

dW(dV, dt, da) = dP{da, в, dQ)dt. (3.54)

Объемная плотность энергии излучения

dW _dW(dV, dt)

dV dV ( '

dV = cdS dt, (3.56)

с — скорость света. Из формул (3.45)-(3.49), (3.51)-(3.56) получаем

р = |и. (3.57)

Данная формула выражает искомое соотношение между энергетической све­тимостью (излучательной способностью) р поверхности полости и объемной плотностью энергии и равновесного теплового излучения в полости нагретого тела.

Сравнительные характеристики лазерного и солнечного света. Применительно к лазерному пучку яркость В можно определить как интенсивность I, отнесенную к телесному углу пучка П:

В = 1/П.

Введем угол расходимости пучка в, как показано на рис. 3.5. Тогда

П = 1Г02,

причем считается, что в <С 1. Полагая далее

I = P/пр2,

где Р — мощность, ро — начальный радиус пучка, получим

Для лазерного пучка

2пр0 ’

где А — длина волны излучения (см. дополнение 13), следовательно

В = 4Р/А2.

Например, для гелий-неонового лазера с параметрами А = 0,63 мкм, Р = 1 мВт получаем В = 10® Вт-см_2-стерад-1.

Яркость Солнца вычислим по формуле

В = Р/(4тгЯ)2,

где Р — полная мощность излучения Солнца, R — радиус Солнца. Полагая Р — 3,83 х 1026 Вт, R — 6,96 х Ю10 см, получим В = 5 х 102 Вт-см~2-стерад-1. Таким образом, яркость лазера на несколько порядков превышает яркость Солнца.

Еще выше превосходство лазера в спектральной яркости В, которая опре­деляется как отношение яркости В к спектральной ширине ДА света

Вх = В/АХ.

Для гелий-неонового лазера ДА = 6х Ю-10 нм (что соответствует Дг/ = 500 Гц), следовательно, В = 1,5 х 1015 Вт-см-2 • стерад_1-нм-1. В то же время для Солнца ДА = 400 нм и В = 1,25 Вт см_2-стерад-1- нм-1.

Физическая оптика

Из истории физической оптики

Цитаты из оригинальных работ Франкена, Бломбергена, Ахманова, Хохлова. Питер Франкен. Генерация второй оптической гармоники. Развитие импульсных рубиновых оптических мазеров1,2 сделало возможным получение монохроматических (6943 А) световых пучков, которые при фокусировке …

Нелинейная пространственная динамика световых полей

Самоорганизация светового поля в нелинейных системах с обратной связью. Оптическая синергетика. Оптическое моделирование нейронных сетей. В течение длительного времени в нелинейной оптике исследовались про­блемы временной динамики светового поля. При этом …

Оптика фемтосекундных лазерных импульсов

Предельно короткие импульсы света и сверхсильные световые поля. Генера­ция фемтосекундных световых импульсов. Новое поколение твердотельных фемтосекундных лазеров. Фемтосекундные технологии. Фемтосекундные ла­зерные импульсы в спектроскопии. Управление амплитудой и фазой молеку­лярных колебаний …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.